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(共54张PPT)
2.1 两角和与差的三角函数
2.1.3 两角和与差的正切公式
第2章 三角恒等变换
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 两角和与差的正切公式
1 公式及推导
（ ,即
, 都存在） .
将上式中的 替换成 ,
则 .
所以，当 ， ， 均不取 时，我们得到如下两角和与差的
正切公式（分别简记为， ）：
, .
. .
. .
知识剖析 1.两角和与差的正切公式中， , , , 均不等于 ，
这是由正切函数的定义域决定的.
2.公式 也可以这样推导:
,若 ,则将上式的分子、分母
都除以 ,得 .
（【教材链接】此内容回答了教材第72页【 】中的问题）
2 公式的结构特征
公式的右侧为分式形式，其中分子为 与 的和或差，分母为1
与 的差或和.
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
知识剖析 ，，通常都叫作和角公式,，， 通常
都叫作差角公式,和差角之间的关系如图2.1.3-1所示.
图2.1.3-1
典例详解
例1-1 （1）(全国Ⅰ卷) ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由正切函数的周期性可知，
.
（2）(全国Ⅲ卷)已知，则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】由已知得,得 .
例1-2 [教材改编P76 T10]设 , 是方程 的两个根，则
的值为( )
A
A. B. C.1 D.3
【解析】由根与系数的关系可知, ，则
.
例1-3 (2025·广东省江门市期中)已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负
半轴重合．若是角 终边上一点，则 ( )
B
A. B. C. D.2
【解析】是角 终边上一点， ，
则 ．
释疑惑 重难拓展
知识点2 两角和与差的正切公式的逆用及变形
1 公式的逆向应用
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
2 公式的变形
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
教材深挖 对教材第75页【练习】第3题进行探究.由公式的变形（1）可知
,所以只要, ，
就有，即 .
类似的结论还有 .
典例详解
例2-4 [教材改编P76 T7（1）] ( )
D
A. B. C. D.1
【解析】
.
例2-5 的值为_____.
【解析】 , , , ,
,
,
…,
.
原式 .
题型解析
03
题型1 给角化简求值
例6 的值为________.
【解析】原式 （注意观察角之间的和差关系）
.
题型2 条件求值
1 给值求值
例7 (2025·湖南省长沙市长郡中学开学考试)已知, ,那么
( )
D
A. B. C. D.
【解析】, ,
.
例8 (2025·江西省赣州市期末)已知 , 为锐角，, ，则
( )
C
A.2 B. C. D.
思路点拨 利用同角三角函数基本关系求出 ，再利用两角差的正切
公式可得结果.
【解析】因为 , 为锐角，所以 .
因为 ，
所以 ，
因此 .
因为 ，
所以 .
2 给值求角
例9 (2025·福建省厦门双十中学开学考试)已知 ,， ，
，则 的值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】由已知得 ，
所以 .
因为且，所以 .
因为且，所以 .
从而，所以 .
名师点评 （1）本题是由已知条件先求出 的正切值，然后确定角的大小,解
题的关键在于确定 的范围.
（2）通过本题的解法可知,应适当缩小角的范围,若本题不缩小 , 的范围,则得
的范围为,则 可取 ，， ,导致答案出现多解.
题型3 两角和与差的正切公式在平面图形中的应用
1 在三角形中的应用
例10 在中，，，分别是角，，所对的边，且 ，
，则实数 的值为______.
【解析】由题意及正弦定理可得, ,
所以，，则，所以 .
结合余弦定理可得， ，
所以 .
2 在四边形中的应用
图2.1.3-2
例11 (2025·上海市市西中学月考)如图2.1.3-2，正方形 的
边长为1，延长至，使，连接， ，则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】由图可知， ,
所以 ，
根据同角三角函数关系式，可求出 .
题型4 三角恒等式的证明
例12 已知不是直角三角形，求证： .
【解析】在中， ,
又不是直角三角形，则 ,
,
即 .
,
故 .
对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形应用是证明与正切函数有关的恒等式
的基本方法.证明三角恒等式要注意观察角的特点与式子的结构特征，选取恰当的公
式，选择简便的变形方向.
【变式题】
在三角形中，求证： .
【答案】在三角形中，由 ，得,且,,, 都不等
于,, ,
,
,
.
新考法 情境应用
例13 (2025·辽宁省鞍山市月考)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍
历》中建立了晷影长与太阳天顶距 的对应数表，这是世界数学史上
较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距
正切值的乘积，即 ．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”
的2倍和3倍（所成角记,），则 ____.
【解析】由题可得,， ，
.
核心素养聚焦
考情揭秘
本节内容在高考中较少单独考查，若考查则是与前面所学知识或后面将要学习的知
识综合，一般考查求值和求角等，题型为选择题或者填空题，试题难度中等.
核心素养：数学运算（利用两角和与差的正切公式求值或求角）.
考向 两角和与差的正切公式的应用
例14 (2004· 新课标Ⅱ卷)已知 为第一象限角， 为第三象限角， ,
，则 _ _____.
【解析】由题知 ,即
,
又 ，
所以 .
由,,, ,得
, .
又，所以 是第四象限角，
故 .
例15 (北京高考题)若点与关于 轴对称，
写出一个 的值为_ __________________.
（答案不唯一）
【解析】由题意可得, ,所以
,
,
两式相加得 ,得
,
即 ,
所以 ,
所以, ,
可令,则,故 的一个值为 .
知识测评
04
1.[教材改编P76 T8]已知角 的终边经过点，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 角 的终边经过点, ，
.
2.(2025·福建省莆田市期中)已知 ， 均为锐角，，，则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】由于 ， 均为锐角，，，所以 ，又
,所以 .
3.[教材改编P73例8]若是的内角，满足，则 的大小是( )
C
A.30 B. C. D.
【解析】由题意知，，又 是
的内角，所以 .
4.函数的零点是 和 ，则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为函数的零点是 和 ，所以
和 是的两个实数根，所以 ，
，则 .
5. ( )
D
A. B. C.1 D.
【解析】因为，所以 ，又
，所以 .
6.［多选题］下列四个结论中，正确的是( )
BC
A.对任意角 ，
B.存在角 和 ，使得
C.存在无穷多个角 和 ，使得
D.对任意角 和 ，都有
【解析】对任意角 ， ，故A错误；
当 ,时，对于任意角 , 成立，故B
正确；
当 ,时，对于任意角 ， 成立，故
C正确；
当 ,时， 不成立，故D错误.
7.(2025·山东省聊城第一中学期中)已知，， ，
.
（1）求 的值；
【答案】因为，，所以 ，
所以 .
（2）求的值，并求出 的值.
【答案】 .
又，，所以 ，
所以 .
高考模拟
05
8.在中，已知，则 为( )
C
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】由于，所以 ，
由于，，的范围是，所以，，中必有一个钝角，故 为钝角三角形.
9.(2025·福建省安溪第八中学月考)若 ， 为锐角，且，则
的最小值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】已知 ， 为锐角，且 ，
则 ，
即 ，所以
，
又 ，
即，得，显然 ，所
以，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
10. ( )
A
A. B. C. D.
【解析】[ ，
，
.故选A.
11.(2025·天津市期中)在四边形中，,, ，
则 ____.
【解析】由题意知，则 ,
，
图D 2.1.3-1
故以,所在直线为, 轴，建立平面直角坐标系，如图D
2.1.3-1所示.
设,, ，
则,,, ，
故,, ，
由于 ，
故 ，
即即
则在中， ，
同理可得 ，
故 .
12.某人在一小斜坡（坡高）上的 点处观看对面一座大楼顶上的广告画，
如图2.1.3-1所示，画高，画所在的大楼高 ，图上所示的山坡坡
面可视为直线，为直线与水平地面的交点，，山坡的坡度为，若点
在直线上，试问：点距水平地面多高时，此人观看广告画的视角 最大？
（不计此人身高）
图2.1.3-1
图D 2.1.3-2
【答案】如图D 2.1.3-2，以,所在直线分别为轴、 轴建立
平面直角坐标系，则,, .
设点，则
（山坡坡度为，所以,即 ）
过点作于点，则 ，
设 ，由问题的实际意义知， ．
在中， ,
在中， ,
所以 .
又，当且仅当 ，即
时等号成立,所以当且仅当,时， 有最大值，为 ，且此时
角 取得最大值．
故点距水平地面 时，此人观看广告画的视角最大．
谢谢观看
湘教版A版数学必修第二册

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