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2.2 二倍角的三角函数
第2章 三角恒等变换
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点 二倍角的三角函数
1 二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦公式： .
二倍角的余弦公式： .
二倍角的正切公式： .
上述三个等式统称为二倍角公式，依次简记为，, .
其中，公式还可以进一步表示为 .
知识剖析 二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如 是 的二倍， 是 的二
倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想.
2 推导过程
（1）利用推导
对于公式 ,当 时，
,即 .
（2）利用推导
对于公式 ,当 时，
,即 .
（3）利用推导
对于公式,当 时，
,即 .
知识延伸
三倍角公式
.
（2） .
.
3 倍角公式的变形
（1）倍角公式的逆用
,, .
.
, .
（2）配方变形
.
（3）因式分解变形
.
（4）升幂公式
； .
（5）降幂公式（三角函数化简变形中应用较多.）
； ；
； .
典例详解
例1 [教材改编P79例2（1）]已知，则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 .
例2 [教材改编P78例1]已知,,则___, ___,
___.
【解析】, , ,
.
,
,
于是，（无需再套用） .
. .
例3 已知,则 ____.
【解析】 （注意诱导
公式在角度转化中的作用） .
. .
. .
例4 [多选题](2025·广东省鹤山市鹤华中学期中)下列各式中，值为 的是( )
CD
A. B. C. D.
【解析】因为 ，所以A不正确；
因为 ，所以B不正确；
因为 ，所以C正确；
因为 ，所以D正确.
题型解析
03
题型1 利用倍角公式求值、求角
1 给角求值
例5 求下列各式的值：
（1） ;
【解析】原式 .
（2） .
【解析】原式
.
名师点评 对于本例第（2）小题，因为 ,所以
,这是二倍角正切公式的变形.
致敬经典 倍角公式在解决连乘式求值问题中的妙用
例6 _ __.
【解析】 原式
.
原式 .
名师点评 本题是倍角公式应用的经典题型，此类问题经常出现在各类考试卷中.方
法1和方法2通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正
弦公式，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.在此过程中还应该看到化
简以后的分子、分母中的角是互补（余）的关系，从而求得最终的结果.
知识延伸
连乘式求值问题的一般结论
利用上述思想，我们把问题推广到一般结论：
若,则 .
2 给值求值（条件求值）
例7 若是方程的两根，则 _ ____．
【解析】是方程 的两根，
，
， ，
例8 (2025·河北省保定市期中)若,,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】,即 ，即
，移项得,解得 .
因为，所以 .
3 利用倍角公式求角
例9 已知角 ,，，，则 __.
给什么得 什么
求什么想 什么
差什么找 什么
【解析】，，解得 .
，即 ,
整理可得 ，即 ，即
，
，，，故 .
【变式题】
1.（1）求值： ____.
【解析】原式
.
（2）(2025·江苏省苏州市调研)设 为锐角，若，则 的值
为_ ____.
【解析】因为 为锐角, ,
所以,, ,所以
= .
（3）已知,,且 ,,则 ( )
C
A. B.或 C. D.或或
【解析】,且,, ,
, .
,且, ,
,（【明易错】若不由 , 的正负性，进一步缩小
的范围，而仅由 ,得,就会得到错误答案：-或或 ）
又 ，
.
. .
题型2 利用倍角公式化简与证明
1 利用倍角公式化简
例10 化简：
（1）,其中 ;
【解析】原式
.
①当时，,则 ,
此时原式 .
②当时，,则 ,
此时原式 .
（2） .
【解析】 （从“角”入手，“倍角”变“单角”）
原式
.
（从“名”入手，异名化同名）
原式
.
（从“幂”入手，利用降幂公式降次）
原式
.
（从“形”入手，利用配方法，对二次项配方）
原式
.
思路点拨 本题考查运用二倍角的正弦、余弦公式进行化简，解答第（1）小题的
关键在于使被开方式变为完全平方式，以便去掉根号，且在去根号时，要注意符号
的选取.对于第（2）小题,观察式子可以发现：①涉及的角有 , , ,
（可以利用倍角公式求解）；②函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名
称的统一）；③最高次数为2（有降次的可能）；④有平方项（可以进行配方）.
名师点评 在对三角函数式进行变形时，第（2）小题中的四种方法提供了四种变形
的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异及“形”的特征四个方面着手
研究.这也是研究其他三角问题时经常要用的变形方法.此外要熟知化简的要求.
利用倍角公式化简的常用方法及技巧
（1）化简三角函数式的常用方法：
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.
（2）化简三角函数式的常用技巧:
①特殊角的三角函数与特殊值的互化；
②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进
行约分；
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用；
④利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等；
⑤利用“1”的恒等变形，如, 等.
【变式题】
2.化简： .
【答案】原式
,
,, ,
原式 .
2 利用倍角公式证明
例11 求证：且, .
思路点拨 本题无论先化简等式哪一边，难度都相当，可考虑将同名三角函数归到
一边，再对两边分别进行化简.
【解析】由题知 ，故要证原式，只要证明
.
左边
,
右边 ,
左边右边， 原式得证.
（1）不附加条件的三角恒等式的证明：三角恒等式的证明就是通过三角恒等式的变
换，消除三角恒等式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一,证明的一般思路是
由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.
（2）附加条件的三角恒等式的证明：这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，
或仔细探求所附加的条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.
题型3 二倍角公式的综合应用
1 与三角函数性质的综合
例12 (2025·北京市清华大学附属中学月考)已知函数
，且满足的图象过点 ．
（1）求函数 的解析式及最小正周期；
【解析】因为的图象过点 ，
所以，所以 ，
所以 （
，而，利用诱导公式 进行
变形）
，最小正周期为 ．
. .
（2）若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数 的取值范围．
【解析】由，整理得 .
因为，所以 ，
由于在区间 上有两个不同解，
所以，，即， ．
要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和（差）角公式或二倍角公式化为
或的形式，进而依据 或
的性质对待求函数进行性质方面的研究.
【变式题】
3.(2025·山东师范大学附属中学检测)已知函数 ，则( )
C
A.在上单调递减 B.在 上单调递增
C.在上单调递减 D.在 上单调递增
【解析】依题意可知 .
对于A选项，因为，所以，函数 在
上单调递增，所以A选项不正确；
对于B选项，因为，所以，函数在 上
不单调，所以B选项不正确；
对于C选项，因为，所以，函数在 上单调递
减，所以C选项正确；
对于D选项，因为，所以，函数在 上不单
调，所以D选项不正确.
2 与解三角形的综合
例13 (2025·湖北省武汉市期中)在锐角三角形中，角,,的对边分别为，， ，
三角形的面积为，已知 ．
（1）证明： ；
【解析】因为,所以 ,
又,所以 ,
所以 .
（2）若，，求 的周长．
【解析】由余弦定理得, ,
由（1）得,所以 ，
即 ，
在锐角三角形中，， ，
所以或 ，
若 ，则，所以， ，与
为锐角三角形矛盾，舍去；
所以，故，即，所以 ，
解得，则 .
所以的周长为 ．
3 与向量的综合
例14 (2025·广东省深圳市南头中学期中)已知向量，，
，，且 .
（1）求及 ；
【解析】 .
.
，， .
（2）若的最小值为，求 的值.
【解析】， .
①若，则当时，取得最小值 ，这与已知矛盾.
②若，则当 时，取得最小值 ,由已知得
，解得或 （舍去）.
③若，则当时，取得最小值 .由已知得 ，解得
，这与 矛盾.
综上所述， 的值为 .
核心素养聚焦
考情揭秘
利用二倍角公式对三角函数式化简、求值是高考考查的重点，要能够灵活运用二倍
角公式及其变形.各种题型都有，试题难度中等或中等偏上.
核心素养：逻辑推理（利用公式化简），数学运算（求值）.
考向1 利用二倍角公式求值
例15（1）(2025· 全国二卷)已知 ,,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】，因为 ，所以 ，
所以 .
（2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知，，则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】依题意，得
所以，所以 ，
所以 .
（3）(2023· 新课标Ⅱ卷)已知 为锐角，，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意得， ，
，
又 为锐角，所以 ，
所以 .
考向2 二倍角公式与三角函数性质的综合
例16 (北京高考题)已知函数 ，则该函数( )
D
A.是奇函数，最大值为2 B.是偶函数，最大值为2
C.是奇函数，最大值为 D.是偶函数，最大值为
【解析】因为 ，所以函数
为偶函数.
又 ,当且仅当
时，取得最大值，所以的最大值为 .
命题探 源 本题组考查二倍角公式与三角函数性质的综合，可视为取材于教材第82
页【习题2.2】第8题.
变式探源
(全国Ⅰ卷)已知函数 ,则( )
B
A.的最小正周期为 ，最大值为3 B.的最小正周期为 ，最大值为4
C.的最小正周期为 ，最大值为3 D.的最小正周期为 ，最大值为4
【解析】易知
，则
的最小正周期为 ，当时， 取得最大值，最大值为4.
考向3 二倍角公式在解三角形中的应用
例17 [多选题](2025· 全国一卷)已知的面积为 ，
， ,则( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】对于A， ，
所以 ，故A正确.
对于B，令,,,则为 的外接圆半
径,由,得 .
若,则由余弦定理可得,所以，即 ,
即，则 ,
所以,矛盾.故 ,即
.
所以 ,
又 ,
所以 .
因为 ,
所以,所以 ,
所以 ,
所以 ，故B正确.
对于C， ,
所以 ，故C正确.
对于D， ，故D错误.
故选 .
名师点评 试题的解题思路不同于常规试题中进行适当三角变换消元后就可以通过联
立方程求解未知量，而是要通过所给的三个已知条件找到突破口，其中最关键的就
是将已知等式 进行变形.
例18 (2022·新高考全国Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知
.
（1）若,求 ；
【解析】因为 ，
所以，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为，所以 .
（2）求 的最小值.
【解析】由（1）得 ，
所以，且 ,
所以, ，
所以，解得 ，
由正弦定理得
，当且仅当 时取等号，
所以的最小值为 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·吉林省四平市第一高级中学月考)在中，角，， 的对边分
别为，，，若 ，则以下结论正确的是( )
AB
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ，故A正确.
由余弦定理得，由正弦定理得 ，
所以 ，
即，所以或 .
因为 ，若 ，则，所以，又 ，所
以，此时，，满足 ，故B正确.
由B选项可知，当，时， ，故C错误.
由B选项可知，故 ，
即，故D错误．故选 ．
2.新考法 结构不良 (2025·北京师范大学第二附属中学月考)已知函数
．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函
数 存在且唯一确定，并解答下面的问题．
（1）求 的解析式；
【答案】因为 ，
所以 ,
显然 为奇函数，故②不能选.
若选择①③，即 的最大值为1，
所以，解得，所以 ,
又，所以，即 ， ，解得
, ，
故 不能唯一确定，故舍去.
若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以 ，解得
，所以 ,
又 ，
所以，解得，所以 .
若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以 ，解得
，所以 ,
又的最大值为1，所以，解得，所以 .
（2）设，求函数在 上的单调递增区间．
① ；
② 为偶函数；
③ 的最大值为1；
④图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
【答案】由（1）可得
，
令， ，
解得， ，
所以函数的单调递增区间为， ，
又，所以在上的单调递增区间有和（0， ．
知识测评
04
1.若， ，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为， ，所以 ，所以
.
2.(2025·江西省丰城中学月考)函数 的最小正周期是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ，所以最小正周期
.
3.(2025·甘肃省酒泉市敦煌中学期中)已知，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .
，所以
.
4.(2025·安徽省阜阳市期末)已知，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】, .
5.函数 的最大值为( )
B
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】 ，
因为，所以当时，取得最大值，且 .
6.［多选题］(2025·贵州大学附属中学月考)下列各式中，值为 的是( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】对于A， ，故A正确；
对于B， ，故
B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选 ．
7.设，向量,,若，则 __.
【解析】, , .
,, , .
8.[教材改编P81练习T2]求证：
（1） ；
【答案】左边 右边．
（2） ．
【答案】左边 右边．
高考模拟
05
9.(2025·北京师范大学天津附属中学月考)若， ，则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，两边同时平方可得， ，所以
，因为 ，则 ，所以， ，故
，所以 ，故
，即 ，
所以 ．
10.已知方程的两根为 ， ，且 ，
，则 的值是( )
B
A. B. C. D.或
【解析】由题意知
，， ，
，
， .
， .
11.[多选题](2025·江苏省南京外国语学校期中)已知的内角，， 的对边分
别为，，，且，则 的值可以为( )
ABC
A. B. C. D.
【解析】因为 ，所以
，即 .
由正弦定理得，则 ，
当且仅当时等号成立，故选 .
12.已知 , 均为锐角，且,,则 ___.
【解析】 为锐角，且,, ,
则 .
,.由 , 为锐角，可得
.,,,, ,
又,
. .
. .
13.(2025·江苏省南通市天星湖中学月考)已知， ，则
_____．
【解析】 ．
， .
又， ．
．
[ =
．
[ =
，
可得 ．
．
14.新考法 结构不良 在， ， 中任
选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知，____， .
（1）求 的值；
（2）求 .
【答案】选条件①，因为，所以 ．
由，解得或
因为，所以
（1） .
（2）因为，所以由 ，解得
．
因为，所以，所以 ，
所以 ,
由，故 .
选条件②,因为 ，
所以 .
因为，所以，所以 ．
由平方关系，解得 ．
因为，所以 ．
以下同①的解法．
选条件③,因为，所以 ．
由平方关系，得 ．
因为，所以 ．
以下同①的解法．
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湘教版A版数学必修第二册

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