资源简介

(共91张PPT)
2.3 简单的三角恒等变换
第2章 三角恒等变换
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 半角公式
1 三角恒等变换
将一个三角函数式变为与之恒等的其他三角函数式的变换过程，称为三角恒等变换.
2 半角公式
，, .
以上三个公式统称为半角公式（半角公式和倍角公式实质是对同一公式的不同
变形），分别简记为,, .半角
公式的符号需要根据角 的终边所在的象限来判断.
. .
3 半角公式的推导
（1） .
（2） .
（3） .
特别提醒
1.有了半角公式，只需知道 的值及相关的角的条件便可求出 的正弦值、
余弦值、正切值.
2.对于和,,但是使用时，要保证 .
4 半角正切公式的有理化
借助同角三角函数基本关系式和二倍角公式，可以得到：
, ,即
.
上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理形式.
（这是对教材第84页【例2】的拓展概括）
5 万能公式
当 时，有
;
;
.
由以上可知，角的所有三角函数值都可以用 来表示，
因此以上公式简称为“万能公式”.
特别提醒 万能公式的好处在于把三角函数式转化为用 表示的式子，若设
,则 的三角函数式可转化为关于 的代数式.
典例详解
例1-1 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 是第一象限角，
所以,符号是确定的，由半角的余弦公式可知 .
例1-2 [教材改编P84例1]已知，，求，， .
【解析】 ，
.
，
，
， ，
.
例1-3 求值： ________.
【解析】原式
例1-4 [教材改编P91习题2.3 T2]已知 是第二象限角，,则
______.
【解析】 是第二象限角， ,
，
可得 ,
.
.
. .
知识点2 和差化积与积化和差公式
1 和差化积公式
设两个角分别为， ，则
.
由于, ,
令 , ,则, ．
（这里运用了“换元”思想）
于是 ，
即 .#1.1.2
又 ，
同理可得 .
类似地可以证明
,
.
将上述和差化为积的公式称为和差化积公式.#1.4
2 积化和差公式
（1）和 两边相加得
,即 ①.
类似地，和 两边相减，
可得 ②.
（2）和 两边相加，
可得 ③.
和 两边相减，
可得 ④.
公式①②③④中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函
数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式.
典例详解
例2-5 下列关系式中正确的有____（填序号）.
;
;
;
;
⑤
【解析】①右边应是 ，
②右边应是 ，
③右边应是 ，
④应是 ,
⑤正确.
例2-6 [教材改编P91习题2.3 T3] _ _.
【解析】
.
例2-7 [教材改编P92 T10]函数 的最小值是____.
【解析】 ，
.
释疑惑 重难拓展
知识点3 辅助角公式
要使,且成立，则只需选取, ，
使即
由可得，即 ．
因此，当, 时，
成立，其中 ．
这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数的积的和收缩为
一个三角函数，上述公式称为辅助角公式.#1.5
知识剖析 辅助角公式中 的值也可由确定， 的终边所在的象限由点
来确定.
也可作如下变形：
（令 ）,
或（令 ）,
或（令 ）.#1.7.3
. .
典例详解
例3-8 [教材改编P92 T11](2025·甘肃省民乐县第一中学检测)函数
的最小正周期为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，（后续熟悉后，此步可省
略）
故函数的最小正周期为 .
. .
【想一想丨归纳总结】
常见辅助角结论
;
;
;
;
;
.
题型解析
03
题型1 三角恒等变换的简单应用
1 化简
例9 化简：
（1） ;
【解析】原式 .
（2） ;
【解析】原式
.
，, ,
原式 .
（3） ；
【解析】原式
．
（4） .
【解析】原式
.
化简三角函数式的基本思路
①三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
.一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，
从而正确使用公式；
.二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化
弦”；
.三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“通分”
“去根号”“降幂”等．
②化简的要求：
.能求出值的应求出值；
.尽量使三角函数种数最少；
.尽量使项数最少；
.尽量使分母不含三角函数；
.尽量使被开方数不含三角函数．
【变式题】
1.化简求值： ．
【答案】 .
2 求值
例10 已知 , 是方程 的两根，则
的值为__.
【解析】由题意有, ,
,
.
名师点评 在本例中，用 代替所求值的三角函数式的分母
“1”，将所求值的三角函数式用 表示，进而快速求解.这样用某些三角函数
值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化
简得以顺利进行.我们把这种代换称为常值代换.
例11 已知 为钝角， 为锐角，且,,求与 的值.
【解析】因为 为钝角， 为锐角，,,所以, ，
所以 .
因为 ,且 ,
所以 ,即 ，
所以 .
由,得 ,
所以 .
由 , ,得
.
所以 .
三角函数求值问题的解题思路
①给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从
而化为特殊角的三角函数．
②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可以
适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便
于将已知式对应的函数值代入，从而达到解题的目的．
③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值（一般与特殊角对应），再结合
该角所在区间上三角函数的图象确定符合题意的角的个数，从而达到解题的目的．
【变式题】
2.已知，，且,，则
的值为__.
【解析】,即 ,
整理得 ，
即 .
, ,
.
, .
3 证明
例12 求证： .
【解析】左边 右边.
名师点评 当待证式中既含有正弦、余弦，又含有正切时，利用同角三角函数的基本
关系式将正切化为正弦和余弦，这就是“化切为弦”的思想方法，这样做的好处是减
少了三角函数名称.
例13 已知, ,求证：
.
给什么得什么
求什么想什么 所证式为平方形式，欲用条件式，必须通过降幂公式进行降次.
差什么找什么
【解析】由已知，得 ①,
②.
和差化积，得 ③,
④.
当时，，不满足题意, .
,得 .
.
,得,即 ,
.
名师点评 本题用到了和差化积公式、万能公式及两角和、差的三角函数公式等.化
积后两式相除得，继而得出 ；平方相加，得
,这是解决本题的关键步骤.
证明三角恒等式的基本思路
三角恒等式的证明与代数恒等式的证明一样，主要证明方法有：从左证到右；从右
证到左；左右归一或变更命题.选择哪一种证法的依据是“化繁为简”.在确定了“化繁
为简”的目标后，还应注意以下几点：
（1）强化“目标意识”，就是在证明过程中，应盯住目标，逐步向它靠拢；
（2）强化“化异为同”的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这
就需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异，并寻找它们之间的联系，
再利用三角公式进行恒等变换，使之相互转化，其常用方法有直推法、代入法、换
元法等.
题型2 三角恒等变换的综合应用
1 在三角形中的应用
例14 已知在中，，求证： 是直角三角形.
【解析】 在中， ，
.
利用和差化积公式，得
,
（由二倍角公式可得） ,
显然,故 .
. .
即 ，
（加绝对值是为了将和 归为同一单调区间）
由于，,因此, ，
所以 ，
显然（否则 ）.
当时，, .
当时，, .
故 为直角三角形.
. .
即 ,
所以 ，即
,
所以或 ,
即或，又，,所以，,故或 .
故或.故 为直角三角形.
2 研究三角函数的性质
例15 (2025·四川省德阳市期中)已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
【解析】因为
，所以函数
的最小正周期 .
由 ，得 ， ，所以函数
的单调递增区间是[ ,, .
（2）当，时，求函数 的值域．
【解析】当，时,，， ,
所以函数的值域为， .
【变式题】
3.已知函数,的最大值为2, ,
是集合中的任意两个元素，的最小值为 .
（1）求, 的值；
【答案】,其中 .
由题意知，，则 .
由题意知的最小正周期为 ，则 ，故 .
（2）若，求 的值.
【答案】由（1）知 .
由知 ,
即 .
.
核心素养聚焦
考情揭秘
三角恒等变换作为一个“工具”经常出现在与三角函数有关的试题中，强调的是对三
角函数图象和性质的有关研究，有时也会与解三角形知识综合考查.各种题型都有，
以中等难度试题为主.
核心素养：数学运算（求值等），逻辑推理（利用三角恒等变换化归三角函数式等）.
考向 辅助角公式的应用
例16 (2025·北京)设函数，若 恒成立，
且在上存在零点，则 的最小值为( )
C
A.8 B.6 C.4 D.3
【解析】函数 ，
设函数的最小正周期为 ，
由可得 ，
所以，即 .
又函数在 上存在零点，
且当时， ，
所以 ，即 .
综上， 的最小值为4.
例17 (2024·全国甲卷)函数在， 上的最大值是___.
2
【解析】由题意知，当 时，
，,，于是，故在， 上
的最大值为2.
命题 探源 本题取材于教材第90页【例6】，亦为一类经典考题，解题的关键是灵活运
用辅助角公式将函数解析式换成“同一函数”的形式，这既是教材中的热点问
题，又是高考中的热点问题.
提分 探源
续表
变式探源
(2022·北京)若函数的一个零点为,则___; ______.
1
【解析】依题意得，解得 ，所以
，所以 .
例18 (2025·全国一卷)已知函数, .
（1）求 ；
【解析】因为,且 ，
所以 .
（2）设函数,求 的值域和单调区间.
【解析】
.
所以的值域为 .
令，得，所以 的
单调递增区间为 .
令，得，所以 的
单调递减区间为 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·河北省石家庄市期末)设，其中， ，
.若对一切 恒成立，则结论正确的是( )
AC
A.
B.
C. 既不是奇函数也不是偶函数
D.的单调递增区间是
【解析】由题得
，
因为对一切， 恒成立,
所以 ,
故或 .
故 ，
或 .
对于A，当时， ，
当时， ，所以
，故A正确；
对于B， ，
，
所以 ，故B错误；
对于C，由，或知, 既
不是奇函数也不是偶函数，故C正确；
对于D，当时，是 的单调递
减区间，故D错误.故选 .
2.新考法 结构不良 (2025·湖北省荆州市期末)在下列三个条件中任选一个，补充在
下面问题中，并解答．
①函数 ．
②函数 ；
③函数对任意都有
成立.
已知____（填所选条件序号），函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
【答案】若选①函数 ,
则
，
又函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
则，即 ，
由 ，得，则 ．
若选②函数 ,
则 ,
又函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 .
则,即 ,
由 ,得,则 .
若选③函数对任意 都有
成立，则函数图象关于点 对称，
又函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 .
则,即 ,
由 ,得,则 .
由 ,得, ,
,
当时，,即 .
（1）求 的值；
【答案】, .
（2）求函数 的单调递增区间和图象的对称中心、对称轴．
【答案】由,,得, ,
即,,即函数的单调递增区间为, ;
由,,得, ,
即,,即函数图象的对称轴为直线, ;
由 ,,得, ,
即,，即函数图象的对称中心为, .
知识测评
04
1.若,则 ( )
C
A.1 B. C.0 D.
【解析】因为 ,所以
.
2.若, ,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为 ,所以 .
因为,所以,，所以 ,
，
所以.所以 .
3.［多选题］(2025·广东省珠海市期中)下列关于函数 的说法
正确的是( )
ABD
A.最小正周期为 B.最大值为1，最小值为
C.函数图象关于直线对称 D.函数图象关于点 对称
【解析】 ，
其最小正周期 ，故A正确；
其最大值为1，最小值为 ，故B正确；
当时，，所以其图象不关于直线 对称，故C错误；
当时，，所以函数图象关于点 对称，故D正确.
4.若,则 的值为__.
【解析】
.
5.函数 的最小正周期是___，单调递减区间是_________
_________________.
【解析】由题意知， ，所以
最小正周期 .
令，解得 ，故单
调递减区间为 .
6.(2025·甘肃省酒泉市期末)已知等腰三角形的顶角的正弦值为 ,则它的底角的余弦
值为_ _________.
或
【解析】设等腰三角形的顶角为 ,则底角为 ,
由题意可知,所以 ，
所以 ,
所以或 .
7.(2025·广西柳州高级中学开学考试)已知函数
．
（1）求 的最小正周期；
【答案】
,
.
（2）求函数取得最大值时 的集合；
【答案】当取得最大值时，,有 ,即
, 所求的集合为, }.
（3）求函数 的单调递增区间.
【答案】由得，, ,
故函数的单调递增区间为, .
高考模拟
05
8.[教材改编P92 T10]函数 的最小值是( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为
（利用积化和差公式化简函数解析式）
.
9.(2025·安徽省滁州市质检)设函数
的最小正周期为 ,且
,则( )
A
A.在上单调递减 B.在， 上单调递减
C.在上单调递增 D.在 上单调递增
【解析】 ,由最小正周期为
得，由可知为偶函数，又,所以 ，所以
,易知在 上单调递减.
10.[多选题](2025·西北师范大学附属中学期中)已知, ,
, ，则( )
BD
A. B.
C. D.
【解析】对于A，因为 ， ，
所以 ,故A错误；
（注意 ,半角公式的符号为负）
对于B，, ，则 .
又，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，由 ，，可得 ，
，
又 ，所以 ，故C错误；
对于D，根据C选项知 ，
所以（积化和差公式） ,故D正
确.故选 ．
. .
11.(2025·河南省安阳市期中)若,则 的取值范围是_____.
,
【解析】
因为 ,所以
.
所以 .
12.[教材改编P92 T7]如图2.3-1，已知半径为，圆心角为 的扇形，为 上的
动点，,,求四边形 面积的最大值.
图2.3-1
【答案】如图D 2.3-1，连接，设 ，则 .
图D 2.3-1
（利用扇形的半径，
由三角函数表示出阴影四边形的面积）
（由二倍角公式及和差化积公式化简）
，
当 ，即 时，,故四边形 面积的最大
值为 .
谢谢观看
湘教版A版数学必修第二册

展开更多......

收起↑