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章末总结
第2章 三角恒等变换
湘教版A版数学必修第二册
目录
知识梳理
03
01
02
专题归纳
命题点分析
知识梳理
01
专题归纳
02
专题1 三角恒等变换的常用策略
1 变角——角的代换或转化
当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般
先寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．
例1 (2025·河北省秦皇岛市模拟)已知，,则 的值
为_____.
思路点拨 题目中涉及三种不同的角： , , ，又
, .所以，可先进行角的转化，再合理地选择三
角公式进行恒等变形，最后计算得解.
【解析】 ,
.
2 变名——函数名称变换
对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，正确选用
三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，从而提高解题效率．
例2 (2025·吉林省长春外国语学校测试)当时，函数 的
最小值是___.
4
思路点拨 注意到函数表达式的分子与分母都是关于与 的二次齐次式，所
以，分子与分母同时除以便可将原函数转化为关于 的函数进行求解．
【解析】因为，所以 ，
又 ,
所以（观察分母结构，套用二次函数模型） ，
当且仅当时等号成立,故 的最小值为4.
. .
3 变幂——升幂与降幂变换
分析三角函数中的次幂，应是低次的升幂，还是高次的降幂，要充分结合题目中的
要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到解决问题的目的．
例3 已知 为第二象限角，且，则 的值为______.
【解析】 ，
又 为第二象限角，且,所以 ,所以
.
例4 (2025·河南省濮阳市外国语学校期末)已知函数
,，求函数 的最大值及取得最大值时自
变量 的集合.
【解析】 ,
当，，即，时，取得最大值 .
取得最大值时自变量的集合是, }.
三角函数式的化简，主要有以下几类：①对于和式，基本思路是降幂、消项和逆用
公式；②对于分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数
值；③对于二次根式，则需要运用倍角公式的变形.在具体过程中体现的则是化归的
思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化（“函数名”的“化同”）、角的变换
（“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”）等方法.
专题2 三角函数最值的常见求法
三角函数的最值是函数最值问题的重要组成部分，也是历年高考命题的重点.三角函
数的最值问题，不仅可以考查三角函数自身的基础知识，也与一次函数、二次函数、
不等式等重要知识有密切的联系.这类问题综合很多知识点，解题方法灵活多样，下
面我们来探讨一下三角函数最值的常见求法.
1 二次函数模型
对于 的最值，我们可以采用换元法转化为一元
二次函数来求解.事实上，令，则 ，显然原函数可
化为一元二次函数，问题转化为求二次函数在某一区间上的最值.注意 的取值范围应
与 的取值范围保持一致.
例5 若，求函数的最值及取得最值时相应的
的值.
【解析】 ，
令，则 .
， ，
.
从而原函数化为 ，
问题转化为求关于的一元二次函数在区间 上的最值.
显然，由二次函数的性质知,当，即 时函数取得最小
值,为 ；
当，即时函数取得最大值,为 .
名师点评 当与 同时存在于一个式子里时，我们经常用上面的
方法来得到一元二次函数，从而求得最值.注意设时， 是有取值范
围的，这是很多学生容易忽略的，必须引起足够的重视.
2 化为某个角的一种三角函数的一次式
对于三角函数的性质，我们一般将原函数化为 或
的形式，然后利用正、余弦函数的性质研究.我们采用的方法有：
①对于 型的函数，利用公式
, ；②对于
型的函数，利用降幂公式，将高次的式子转化
为低次的；③对于 型的函数，我们利用和差化积来解
决；④对于 型的函数，我们利用积化和差来解决.
例6 已知函数 .
（1）求 的最小正周期和最小值;
【解析】 ,
故的最小正周期为 ,最小值为 .
（2）将函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函
数的图象.当,时，求 的值域.
【解析】由条件可知， .
当,时，有，从而，则 的取值
范围为, .
故在区间,上的值域是, .
名师点评 对于和式或者其他高次形式的三角函数式，我们需要通过各种方法转化为
某个角的一种三角函数的一次式.从而可以利用正、余弦函数的性质来研究我们要求
的三角函数的性质.
3 利用有界性求最值
对于形如 的函数，我们可以反解，然后利用三角函数的有界性得到最值.
例7 函数 的最大值为_ __.
【解析】去分母整理可得， ，
所以 ，
故 .
由，可得 .
下面验证等号可以取到.
当,即时,可取，令 ，则
成立.
故时，函数有最大值, .
名师点评 注意观察式子的特点，将这种类型的式子反解之后，可以利用辅助角公式
将含有正、余弦的式子化为一个式子，从而利用有界性得到函数的最值.
一题一课
一题看尽三角恒等变换背景下的解三角形最值或范围问题
例8 在中，,,分别为三个内角,, 的对边，且满足
.
（1）若，，求 的面积.
【解析】由,,得, .
由正弦定理得,解得 ,
.
（2）若，求 的面积的最大值.
【解析】由余弦定理得 ,
,当且仅当时取等号， ,
故面积的最大值为 .
（3）若，求 的周长的最大值.
【解析】由余弦定理得, ,即
,即 ,
当且仅当时等号成立，则 .
的周长为 ,
故 周长的最大值为6.
（4）若,求 的最大值.
【解析】 ,
, ,
,即, ,
故的最大值为 .
（5）若为锐角三角形，求 的范围.
【解析】 ,
为锐角三角形， ,
又,, ,
,即, .
（6）若，求 的最大值.
【解析】由正弦定理得， ,
, .
（由（5）可知， ,代入
即可）,其中 .
故的最大值为 .
. .
说明 题干中的已知条件本身就是非常经典的试题的背景，在第2.1.2节题型3中的
例8我们已经详细讲解过（得出 ），由题干及第（1）问我们可以发现在解三角
形的过程中，往往需要已知三个条件才能得出一个定值（如面积能直接求解出来），
若是只给出了两个已知条件，则会产生最值或取值范围问题，我们不妨研究一下，
借此体会数学问题中一题多变的奥秘.
一章一练
例9 新定义 友好角 (2025·北京市清华大学附属中学测试)若
，则称 为 的“友好角”.已知 为锐角，则 在,
内的“友好角”的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由 ，
可得 ，
则有 ，
所以 .（倍角公式的应用）
因为 为锐角，所以也为锐角，所以 ，
所以 ①.
又 ，
当或 ，即或 时， ，则①式成立，满足题意；
当且 ，即或 时， ，
则由①可得， ，
因为,, 均不等于零，
所以，所以 ，
因为，所以 ，
所以，即 .
综上，, , ，共有3个取值.
例10 新定义 切比雪夫多项式 [多选题](2025·山东省A9联盟开学考试)由倍角公式
可知，可以表示为 的二次多项式．一般地，存在一
个次多项式 ，使得
，这种多项式 称为切比雪夫多项式．运用探究切比雪夫多项
式的方法可得( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】对于A，
.
由切比雪夫多项式可知， ，
即 ，
令,可知 ，故A正确.
对于B， ．
由切比雪夫多项式可知， ，
即 ，
令,可知 ，故B正确.
对于D，因为 ， ，由 ,可得
， ．
又 ，所以 ，
所以 ．
令，可知 ，
展开即得 ，
所以，解得 .
因为 ，
所以，所以 ，所以
，故D正确.
对于C，假设，因为 ，
，所以假设不正确，故C错误．故选
．
命题点分析
03
命题点1 三角恒等变换
例11 (2025·北京大学强基计划)若 , 是 的两解，且
，求 .
【解析】, ，
两式作差可得， ,
即， ，
所以或 ，
即或 ，
当时， ， ，
与 矛盾，舍去；
当时， .
故 .
例12 (2025·山东大学强基计划)已知,，， ，
求 的值.
【解析】， ，
平方求和 ，
化简得 ，
，
，即
，
所以 .
例13 (2025·全国高中数学联赛A卷一试)在 中，已知
，求 的值.
【解析】由条件知， ，
则或 ，即或 .
假设，则，则，但 ，相互矛盾，
因此只能是 ，
由，可得，所以， ，
所以 ，
又，所以化简得，解得 .
例14 (2023·浙江大学强基计划) ___.
【解析】原式
.
注意到 .
故原式 .
命题点2 三角恒等变换与解三角形的综合
例15 (2025·山东大学强基计划)在中，， ，最长边的边长为
1，求最短边的边长.
【解析】记中角,,的对边分别为,, .
由，可知 ，
所以，因为，所以 ，
即 是最短边，
因为， ，
解得 ，由正弦定理得 ，
即，所以 .
例16 (2022 ·全国高中数学联赛重庆市初赛)已知，，分别为三个内角，， 的
对边，，且，若为的中点，求 长
的最小值.
【解析】由正弦定理可知
即为
.
再由和差化积公式可知 ，即
，
再由积化和差公式可知
，即，即，则 ，
此时 ，
再由余弦定理和基本不等式可知
，即 ，此时
，
所以,当且仅当时，等号成立.故长的最小值为 .
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湘教版A版数学必修第二册

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