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第一章 三角形的证明
1.1 三角形内角和定理（1）
三角形内角和定理的证明，全等三角形的判定与性质
北师大版八年级下册数学
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题:
一个几何命题被提出来的过程对证明它有什么帮助
在证明一个几何命题时，你是如何获得证明思路的
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条：
基本事实
3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2. 两点之间线段最短。
1. 两点确定一条直线。
4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行)。
5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
在八年级上册"命题与证明"一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
8. 三边分别相等的两个三角形全等。
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
SAS
ASA
SSS
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它
我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关.
思考：有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
锐角三角形
度量法
480
720
600
600＋480＋720＝1800
（学生运用学科工具—量角器测量演示）
我们借助数学几何画板进一步验证三角形内角和是1800
拼一拼
(1) 如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论吗
如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的.
我们知道，三角形三个内角的和等于180°。如何证明这个结论呢？
尝试·交流
如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果
如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线
将等角进行转移.
如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到
将∠A转移到∠1的位置的效果.
(2) 你能说说这个结论的证明思路吗 请试着写出证明过程.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA，
则∠1=∠A，∠2=∠B
∵ 点B，C，D在同一条直线上
∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°
D
E
2
1
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
三角形三个内角的和等于180°.
三角形内角和定理：
符号语言：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
1、在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
2、△ABC中，∠A=80°，∠B =∠C，则∠B= .
3、一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
练一练
102°
50°
(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗 如果可行，你能写出证明过程吗
∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等)
又∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)
∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换)
可行.
∵ PQ∥BC(已知)
思考·交流
(2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗
A
B
C
1
2
3
M
N
证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC
交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N，
则 ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A
又∵∠1+∠2+∠3=180°
∴ ∠C+∠A+∠B=180°
D
思考·交流
为了证明三个角的和为180°,将其转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
作辅助线
思路总结
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
B
C
A
D
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵ ∠B=38°，∠C=62°
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°
∵ AD平分∠BAC
在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵ ∠B=38°，∠BAD=40°
∴ ∠ADB=180°-38°- 40°=102°
例题讲解
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗
证明推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
尝试·思考
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
∠D＋∠E＋∠F＝180°
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)
∠F＝180°－(∠D＋∠E)
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E
∴∠C＝∠F
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
∠C = ∠F(已证)
BC=EF(已知)
∠B = ∠E(已知)
∴△ABC≌△DEF（ASA）
在△ABC 和△DEF中，
∵
A
B
C
D
E
F
符号语言：
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为角角边（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
∠A = ∠D
BC=EF
∠B = ∠E
∴△ABC≌△DEF（AAS）
在△ABC 和△DEF中中，
∵
全等三角形的判定定理 (要理解记忆)：
1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为边边边（SSS）。
2.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为边角边（SAS）。
3.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为角边角（ASA）。
4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为角角边（AAS）.
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
（1)____
（2)____
（4)___
（3)____
A
D
A
D
D
A
D
A
B
B
E
E
B
B
E
E
C
C
F
F
C
C
F
F
全等三角形的判定定理：
根据下列图形分别说出两个三角形全等的符号语言（全等五行）.
1. 如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数.
解：∵ BD与CE是△ABC的高
∴ ∠ADB=90°，∠BEC=90°
∵ ∠A=50°
∴ ∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-50°-90°=40°
∴ ∠BOE=180°-∠BEC-∠ABD=180°-90°-40°=50°
∴ ∠COD=∠BOE=50°
随堂练习
2. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC上，且 DE∥BC. 求证：∠ADE=50°.
证明：在△ABC中，∵ ∠A=60°，∠C=70° (已知)
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50°
(三角形内角和定理)
∵DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B=50°(两直线平行，同位角相等).
随堂练习
谈谈本节课你的收获
一、证明三角形内角和定理的方法
（借助平行线将三角形的三个内角拼成一个平角）
课堂小结
二、全等三角形的判定定理
1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为边边边（SSS）。
2.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为边角边（SAS）。
3.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为角边角（ASA）。
4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为 角角边（AAS）。
三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
基础作业：习题1.1 第1, 2, 6题
拓展作业：习题1.1 第7题
布置作业
1．直角三角形的两锐角之和是多少度？
A
B
C
2．正三角形的一个内角是多少度？
A
B
C
巩固应用
直角三角形的两锐角互余.
正三角形的每一个内角都是60°.
3．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且∠1＝∠2，∠B＝∠E，AF＝DC.求证：AB＝DE.
证明：∵AF＝DC，
∴AF＋CF＝DC＋CF
即AC＝DF
∴△ABC≌△DEF(AAS)
∴AB＝DE
巩固应用
4.如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C.(1)求证：△ABD≌△EDC；
(2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度数．
(1)证明：∵AB∥CD
∴∠B＝∠BDC
又∵AB＝ED，∠1＝∠C
∴△ABD≌△EDC(AAS)
(2)解：∵△ABD≌△EDC
∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°
∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°
∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°
巩固应用
下 课
Thanks!
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