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北师大版（2024）八年级下册 第一章 三角形的证明 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（　　）
A.0.4米 B.0.5米 C.0.6米 D.0.7米
【答案】A
【解析】在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2＝22﹣1.22＝2.56（平方米），
∴AC＝1.6米，
∵BD＝0.4米，
∴CD＝1.6米．
在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝22﹣1.62＝1.44（平方米），
∴EC＝1.2米，
∴AE＝AC﹣EC＝1.6﹣1.2＝0.4（米）．
故选：A．
2.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　）
A.有两个角相等的三角形是等腰三角形
B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D.不是等腰三角形的两个角不相等
【答案】A
【解析】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形，
故选：A．
3.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　　)
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元
【答案】B
【解析】延长CA且过点B作CA延长线的垂线，垂中为点D.
当∠CAB=150°时，∠BAD=30°，
在△BDC中，∠D=90°，∠BAD=30°， ∴BD=AB=×20=10（m），
∴×10×30=150(m2)，
∵每平米售价a元，所以共售价为150a元.∴选B.
4.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　）
A.勾股定理
B.勾股定理的逆定理
C.三角形内角和定理
D.直角三角形的两锐角互余
【答案】B
【解析】∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
故选：B．
5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）
A.35° B.40° C.45° D.50°
【答案】A
【解析】∵在△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，
∵AD=CD，∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°．故选：A．
6.有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（　　）
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；正确；
（2）一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5或；错误；
（3）“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理，正确．
其中，正确的个数是2个，
故选：B．
7.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为 （ ）
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
【答案】D
【解析】连接AD，如图，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAE=120°，
∴∠B=∠C= (180°-120°)=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=2DE=2(cm)．
∵∠BAD=120°-30°=90°，
∴BD=2AD=4(cm)．
8.下列命题为真命题的是（　　）
A.相等的角是对顶角
B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C.和为180°的两个角互为邻补角
D.邻补角互补
【答案】D
【解析】A.相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C.和为180°的两个角不一定是互为邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D.邻补角互补，是真命题，符合题意；
故选：D．
9.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A.7.5 B.8 C.15 D.无法确定
【答案】A
【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴DE = AD =3．又∵BC=5，∴S△BCD=BC DE=×5×3=7.5．
10.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上
【答案】D
【解析】如图在OA，OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，∠PEM=∠PON，EP=OP，∠EPM=∠OPN，
∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△POM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．故选D．
11.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.△BEC≌△DEC D.AB=BD
【答案】D
12.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（-4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A，B，O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（　　）
A.9 B.7 C.5 D.3
【答案】A
【解析】如图，分别以OA，OB，AB为边作与Rt△ABO全等的三角形各有3个，则所有符合条件的三角形个数为9，故选A．
二、填空题
13.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ．
【答案】50°或80°
【解析】①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为180°﹣100°=80°，则其底角为（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为50°或80°．故答案为50°或80°．
14.用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是： ．
【答案】等腰三角形的底角都是直角或钝角
15.直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是 .
【答案】35
【解析】设较小锐角的度数为x,则较大锐角的度数为x+20°，
根据题意得x+x+20°=90°，
解得x=35°，
∴较小锐角的度数为35°，
故答案为35．
16.如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上．
（1）判断∠BCD是否为直角：　 　.（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 　 　．
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
【答案】解 （1）∵CD＝=，
BC＝＝，
BD＝＝4，
∴BD2≠BC2+CD2，
∴∠BCD≠90°，
∴∠BCD不是直角．
（2）四边形ABCD的面积＝5×5﹣×1×5﹣×2×5﹣×1×3﹣1×1﹣×1×2＝14．
（3）如图，四边形ABED即为所求（答案不唯一）．
17.在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点 P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ．
【答案】6或2 或4
【解析】如图1，
当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2，
当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；
如图3，
当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°﹣30°=30°，
∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，
∴PC=PB=2；
如图4：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=4．
三、解答题
18.如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上．
求证：（1）CE=AC+DC；
（2）∠ECD=60°．
【答案】证明 （1）∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，∴BD=EC，
∵BD=BC+CD=AC+CD，
∴CE=BD=AC+DC．
（2）由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD=60°，
∴∠ECD=180°﹣∠ACB﹣∠ACE=60°．
19.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数．
【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABE=40°，∴∠EBC=∠ABC
﹣∠ABE=60°﹣40°=20°，∵BE=DE，
∴∠D=∠EBC=20°，
∴∠CED=∠ACB﹣∠D=40°．
20.已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D．求证：OE是CD的垂直平分线．
【答案】证明　∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，
又OE=OE，
∴Rt△DOE≌Rt△COE，
∴OD=OC，
∴OE是CD的垂直平分线．
21.如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？
【答案】解 BD=CD，
理由：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义），
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）
22.如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
(1)如图1，已知扇形AOB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
(2)如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰Rt△MNP；
(3)如图3，已知扇形AOB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．(以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)
【答案】解 (1)如图，直线OP即为所求．
(2)如图，△MNP即为所求．
(3)如图，即为所求．北师大版（2024）八年级下册 第一章 三角形的证明 单元测试
一、选择题
1.如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（　　）
A.0.4米 B.0.5米 C.0.6米 D.0.7米
2.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　）
A.有两个角相等的三角形是等腰三角形
B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D.不是等腰三角形的两个角不相等
3.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　　)
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元
4.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　）
A.勾股定理
B.勾股定理的逆定理
C.三角形内角和定理
D.直角三角形的两锐角互余
5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）
A.35° B.40° C.45° D.50°
6.有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（　　）
A.3 B.2 C.1 D.0
7.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为 （ ）
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
8.下列命题为真命题的是（　　）
A.相等的角是对顶角
B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C.和为180°的两个角互为邻补角
D.邻补角互补
9.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A.7.5 B.8 C.15 D.无法确定
10.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上
11.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.△BEC≌△DEC D.AB=BD
12.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（-4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A，B，O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（　　）
A.9 B.7 C.5 D.3
二、填空题
13.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ．
14.用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是： ．
15.直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是 .
16.如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上．
（1）判断∠BCD是否为直角：　 　.（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 　 　．
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
17.在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点 P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ．
三、解答题
18.如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上．
求证：（1）CE=AC+DC；
（2）∠ECD=60°．
19.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数．
20.已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D．求证：OE是CD的垂直平分线．
21.如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？
22.如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
(1)如图1，已知扇形AOB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
(2)如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰Rt△MNP；
(3)如图3，已知扇形AOB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．(以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)

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