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19.2 二次根式的乘法与除法
19.2.1二次根式的乘法
第十九章 二次根式
R·八年级数学下册
学习目标
1.理解和掌握二次根式的乘法法则.
2.理解和掌握积的算术平方根的性质. 体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系.
3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简
情境导入
学校教学楼后有一矩形空地（长宽如图所示），现在学校根据需要，想把它改建为草坪.若全部铺满，预算一下：需购买多少平方米的草皮呢？
探索新知
计算下列各式：
（1） = _______， = _______；
（2） = _______， = _______；
（3） = _______， = _______；
2×3=6
4×5=20
6×7=42
观察计算结果，你能发现什么规律？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式:
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
归纳小结
一般地，二次根式的乘法法则是
二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.
语言描述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
a、b 必须都是非负数！
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
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例1 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：（1）
=
= ；
（2）
=
= = 3 ；
（3）
=
= = .
想一想：
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则.
解：
只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即：
想一想：
可类比单项式乘单项式的法则计算.
解：
当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即：
一般地，
由等式的对称性，反过来，就得到
这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”.
语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例2 化简：
解：(1)
(2)
被开方数4a2b3含有偶数次因数4（4=22）和因式a2，b2，它们是开得尽平方的因数和因式，被开方后可以移到根号外.
例2 变式化简：
解：
化简二次根式初步达到求简意识：
（1）被开方数进行因数或因式分解;
（2）分解后把能开尽方的开出来.
化简二次根式的步骤
1.把被开方数分解因式（或因数） ；
2. 把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式
(a≥0)把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简.
思考与交流：
这位同学的做法对吗？如果不对，请改正.
×
不对.被开方数的两个因数是负数，不能直接套用积的算术平方根的性质.
改正：
例3 计算：
解：
二次根式的性质
例3 变式计算：
解：
学校教学楼后有一矩形空地（长宽如图所示），现在学校根据需要，想把它改建为草坪.若全部铺满，预算一下：需购买多少平方米的草皮呢？
随堂练习
1.分组答题.
【部分选自教材第7页 练习 第1、2题】
点击标签1、2触发动画
15
6
2
63
1
2
2.一个长方形的长和宽分别是 和 . 求这个长方形的面积.
解：长方形的面积 S
【选自教材第7页 练习 第3题】
3.化简二次根式 .
解：根据题意，知 ，
所以x＜0.
所以原式=
易错提醒： 中，a，b必须是非负数！
拓展提升
设x，y是有理数，且x，y满足等式x+2y - =17+ ，则 的平方根是多少？
解：因为x，y为有理数，所以x+2y为有理数，
又因为x+2y- =17+ ，
所以 ，解得 .
所以 的平方根是±1．
课堂小结
二次根式乘法：
正用：计算
逆用：化简
简单应用
A类：习题19.2 1 、 3（1）(2)
B类：习题19.2 3(1)(2) 7(1)(2)
课后作业

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