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7.1.2两直线垂直
（四大常考题型突破）
参考答案
题号 1 2 3 7 8 10 11 12 13 19
答案 C D D A A A D A D C
题号 20 21 25
答案 C C B
1．C
本题考查了角度的计算及垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．
根据垂直的定义及角度的计算、对顶角相等进行判断即可．
解：A、∵，
∴，故该选项不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴，故该选项不符合题意；
C、，不能判定，故该选项符合题意；
D、 ∵，
∴，
∴，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．D
本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得．
解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
3．D
本题考查垂线的定义、对顶角相等，由垂线的定义可得，求得，再根据对顶角相等求解即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4．
本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
由垂直的定义得，然后结合平角即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
5．60或120
本题主要考查了对顶角、垂直的意义，角的和差计算，解题的关键是注意分类讨论的思想．
由垂直得到，由对顶角得到，再由角的和差计算求解即可．
解：由题意，需讨论以下两种情况：
①如图1
∵，
∴，
∵与是对顶角，
∴，
∴．
②如图2
∵，
∴；
∵与是对顶角，
∴，
∴．
综上：或．
故答案为：或．
6．
本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答．
解：，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
7．A
本题考查了平面内垂线的基本性质，掌握在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．
根据平面内垂线的基本性质，判断过直线外一点作已知直线垂线的数量．
解：在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；
因此，只能画出1条垂线．
故选：A．
8．A
本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断．
解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段，
故选：A．
9．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案．
解：∵，，为垂足，
∴，，三点在同一直线上，
理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
10．A
本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可．
解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故选A．
11．D
本题考查了对几何基本事实的理解．
逐一分析各选项对应的原理，找出体现“垂线段最短”的选项即可．
解：A选项拉紧的墨线是直的对应几何基本事实两点确定一条直线；
B选项走笔直公路比弯曲小路更近对应几何基本事实两点之间，线段最短；
C选项至少两颗钉子固定木条对应几何基本事实两点确定一条直线；
D选项测量跳远成绩取落点到起跳线的垂直距离，直接体现了垂线段最短这一基本事实；
故选：D．
12．A
本题考查了垂线段最短．
根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可．
解：∵，，点D可以在直线上自由移动，
∴，
只有A选项不在范围内．
故选：A．
13．D
本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．
根据题意和垂线段最短的性质判断即可．
解：该女生获得满分但未加分，
，
选项A、B不符合题目要求，选项D符合题目要求，
又，
选项C错误，不符合题目要求．
故选：D．
14．垂线段最短
根据题意可直接进行求解．
本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意．
解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
15．
此题考查垂线段最短，关键是根据垂线段最短解答．根据垂线段最短解答即可．
解：∵，垂足是点D，，
∴长的范围是，
当点E由A向B运动时，所得的整数值线段长度分别为：8、7、6、5、4、5、6，
∴符合题意的共有7条，
故答案为：．
16． C 点到直线，垂线段最短
本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可．
解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
故答案为垂线段最短．
17． ① 垂线段最短
本题主要考查了距离垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；因此此题可根据垂线段最短进行求解即可．
解：由图可知：从书店到公路最近的是①号路线，理由是垂线段最短；
故答案为：①，垂线段最短．
18．(1)见解析
(2)见解析
本题考查两点之间线段最短、垂线段最短：
（1）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，此时的值最小；
（2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，只需作于点N即可；
（1）解：如图所示，点M即为所求：
（2）解：如图所示．
19．C
本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键．
根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段．
解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离；
选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
故选：C．
20．C
本题主要考查平面直角坐标系的特点，先明确距离坐标的含义，即到直线距离为2、到直线距离为3的点，再根据“到一条直线距离为定值的点在两条平行于该直线的直线上”，分析两组直线的交点个数即可．
解：∵到直线距离为2的点，在两条平行于的直线上，
到直线距离为3的点，在两条平行于的直线上，
又∵与相交，
∴上述两组直线共有4个交点，
∴距离坐标为的点的个数是4个，
故选：C．
21．C
本题考查了点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题关键．根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可得．
解：∵于点，
∴点到直线的距离是线段的长度．
故选：C．
22．
本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解．
解：因为，
所以点C到直线的距离是线段的长度．
故答案为：
23． 4 3
此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中．
根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可．
解：∵，
∴A，B两点之间的距离为，
∵，，
∴点A到直线的距离为的长，即，
∵，，
∴点C到直线的距离为的长，即．
故答案为：4；；3
24．
本题考查了点到直线的距离，点到边的距离就是过作的垂直线，即．
点到边的距离为的长．
点到边的距离为．
故答案为：．
25．B
本题考查了用垂线段性质的说理过程．熟练掌握垂线段性质，是解答此题的关键．过点A作，交于点，则有，即，再逐一判断．
解：如图，过点A作，交于点，则有，即，
A、过点作的垂线，不正确；
B、过点作的垂线，正确；
C、过点作的垂线，不正确；
D、过点作的垂线，不正确．
故选：B．
26．
根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度．
解：根据垂线段最短可知，当时，最短．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度．
27．(1)
(2)，理由见解析
(3)当在内部时，存在；当在外部时，存在．
本题主要考查了角的和差、角平分线的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）先根据已知条件可得，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）由（1）可知，，再根据角的和差得到即可解答；
（3）分当在内部和当在外部两大类，再将在外部分平分、平分、平分三种情况，分别画出图形并分别运用角平分线的定义、角的和差求解即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵平分．
∴．
（2）解：，理由如下：
由（1）可得，，
∵点在同一直线上，
∴，即．
（3）解：如图：当在内部时，平分，平分，
∴，，
∴，即符合题意；
当在外部时，
①如图：当平分时，此时，显然不符合题意；
②如图：当平分时，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴不平分，也不平分，不符合题意；
③如图：当平分时，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴平分，符合题意．
综上，当在内部时，存在；当在外部时，存在．7.1.2两直线垂直
（四大常考题型突破）
题型一：垂线的定义
1．已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线相交于点O，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为 ．
5．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则 ．
6．如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ．
题型二：画垂线
7．如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
8．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
9．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ．
题型三：垂线段最短
10．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短 B．线段可以度量
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
11．下列生活现象中，能直接体现“垂线段最短”这一基本事实的是（ ）
A．工人师傅用墨斗弹墨线时，拉紧的墨线是直的
B．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近
C．把一根木条固定在墙上，至少需要两颗钉子
D．体育课上，测量同学的跳远成绩时，测量的是落点到起跳线的垂直距离
12．如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（ ）
A．可能为 B．可能为
C．可能为 D．可能为
14．如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ．
15．如图，，垂足是点D，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的长为整数值的线段有 条．
16．如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ．
17．如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ．
18．如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店．
(1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小；
(2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）．
题型四：点到直线的距离
19．下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ）
A．B．C．D．
20．定义：平面内的直线与相交于点，对于该平面内任意一点，点到直线，的距离分别为，，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”根据上述定义，距离坐标为的点的个数是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，在中，．于点，则点到直线的距离是（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
22．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度．
23．如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ．
24．如图，在中，，，，，则点到边的距离为 ．
25．阅读下列“”的说理过程：
如图1，在和中，，．接下来说明和完全重合．
如图2，由可知，如果使点与点重合，并且使射线与重合，那么射线与重合．再由，可知点与点重合，接下来说明点与点重合．
设点在直角边（不包括端点），连接，则，是钝角．若过点且垂直于的直线与线段交于点，则有．设点在线段的延长线上，连接，同理可得，因此，在射线上，与点的连线长度等于的点只有一个．再由点在射线上，，即可证明点与点重合．这样，的三个顶点与的三个顶点分别重合，与能够完全重合．
为能够同理说明，需要作的垂线是（ ）
A．过点作的垂线 B．过点作的垂线
C．过点作的垂线 D．过点作的垂线
26．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ．
27．如图，点在同一直线上，，，平分．
(1)求的度数；
(2)猜想吗？请说明理由；
(3)是否存在射线，使得分别为以为一边的两个角的平分线？如果存在，直接写出的度数，如果不存在，说明理由．

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