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§19.3.1 二次根式的加法与减法
第十九章
人教版八年级数学下册
学习目标及重难点
学习目标
学习重难点
1.理解同类二次根式的概念；
2.了解二次根式的加法与减法的运算法则.
学习重点：了解二次根式的加法与减法的运算法则.
学习难点：会用二次根式的加法与减法法则进行计算.
3.会用二次根式的加法与减法法则进行计算.
复习回顾
问题1：在二次根式的运算中，最后结果化简，化简的要求是什么？
复习回顾
化简后被开方数相同
问题2：化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点
问题引入
问题3 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm 和18dm 的正方形木板？
分析:由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
解：大正方形木板的边长为 dm.
∵ ，∴这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为
7.5dm
5dm
课本P14例3
这两个二次根式还可以合并吗？
探究新知
课本P13
探究：观察下图并计算结果.
＋
＝
这是已经学过合并同类项的法则.
＋
＝
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
由图，得：3a＋2a＝5a.
当a＝ 时，得
（乘法分配律）
当a＝ 时，得
探究新知
课本P13
探究：观察下图并计算结果.
＋
＝
这是已经学过合并同类项的法则.
＋
＝
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
由图，得：3a＋2a＝5a.
当a＝ 时，得
当a＝ 时，得
…
归纳得
【巩固练习】
探究新知
课本P13
二次根式的加法与减法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
探究新知
课本P13
＋
＝
＋
探究：观察下图并计算结果.
＋
＝
a
a
a
b
b
＋
a
a
a
b
b
由图，得：3a＋2b＝3a＋2b.
当a＝ ，b＝ 时，得
这两个二次根式可以合并吗？
探究新知
课本P13
＋
＝
＋
探究：观察下图并计算结果.
由图，得：3a＋2b＝3a＋2b.
当a＝ ，b＝ 时，得
＋
＝
＋
＝
7个
(化成最简二次根式)
(利用分配律合并)
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
二次根式的加法与减法法则
这两个二次根式可以合并吗？
二次根式需要化简后才能知道它的庐山真面目.
温故知新
整式的加减
二次根式的加减
合并同类项
本质
本质
合并同类二次根式
同类二次根式
要求
同类项
要求
问题4：回顾整式的加减的学习思路，类比得到二次根式的加减的学习思路.
类比，得
复习回顾
问题2：化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点
同类二次根式可以合并.
【注意】判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫作同类二次根式.
巩固练习
1.下列与 是同类二次根式的是( )
2.若 与最简二次根式 能合并，则m=_____.
3.下列二次根式，不能与 合并的是( )
C
1
B
例题讲解
例1 计算:
解：(1)原式
(2)原式
(3)原式
课本P13例1
变式练习
[课本P14第2题(2)]
变式1 计算:
解：(1)原式
(2)原式
(3)原式
例题讲解
例2 计算:
解：(1)原式
(2)原式
化为最简二次根式.
去括号.
课本P13例2.
(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
归纳：多个二次根式加减法的运算步骤：
变式练习
课本P14第2题(3)，(4).
变式2 计算:
解：(1)原式
(2)原式
例题讲解（问题解决）
例3 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm 和18dm 的正方形木板？
分析:由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
解：大正方形木板的边长为 dm.
∵ ，∴这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为
(dm).
∴两个正方形木板的边长的和小于
这块木板的长.
答：可以在这块木板上截出两个分别是8dm 和18dm 的正方形木板.
7.5dm
5dm
课本P14例3
变式练习
变式3 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3.求圆环的宽度d(π取3.14).
d
解：大圆的半径为 ，
小圆的半径为 .
∴d=
课本P14第3题.
辨析
二次根式的乘除与二次根式的加减的区别
项目 二次根式的乘除 二次根式的加减
根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
化简 结果化为最简二次根式，且分母不含根式. 先化简每个二次根式，再合并同类二次根式.
拓展练习
拓展1 若最简根式 与 可以合并，求 的值.
解：由题意得
解得
确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2,列关于待定字母的方程求解.
拓展变式
拓展变式1 已知最简二次根式 与 能合并，若要使
式子 有意义，求x的取值范围.
解：由题意得 3n-9=16-2n，
解得 n=5.
解得5＜x≤10.
课堂小结
作业布置
基础练习：课本P16第1、2题；
能力提升：课本P16第4题；
拓展延伸：课本P16第8题.

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