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北师大版八年级数学下册
第一章 三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
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问题:在八年级上册“证明”一章中,给出了八条基本事实,并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.七年级时,是如何探索三角形三个内角的和的
通过撕角拼图
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如图,如果只把∠A移动到∠1的位置,那么你能说明三角形三个内角的和等于180°吗
根据两直线平行,同旁内角互补能说明三角形三个内角的和等于180°.
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如果不移动∠A,那么还有什么方法可以达到同样的效果
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通过撕角拼图活动,我们得出了三角形三个内角的和等于180°的直观结论,但尚未进行严谨的逻辑证明.
今天我们就运用已学的基本事实、定义和定理来证明三角形内角和定理及其应用.
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环节一:证明三角形内角和定理
问题:我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你能证明这个结论吗
已知:如图,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
从上面的操作过程中,你能发现证明的思路吗
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已知:如图,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:如图,延长BC至点D,过点C作射线CE,使CE∥BA,则∠1=∠A,∠2=∠B.
∵点B,C,D在同一条直线上,
∴∠1+∠2+∠ACB=180°.
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.
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三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
对于三角形内角和定理,还有其他证明方法吗
证明:(方法一)如图,过点A作PQ∥BC.
∵PQ∥BC,
∴∠PAB=∠B,∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°,
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
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三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
证明:(方法二)如图,过点A作AD∥BC.
∴∠C=∠1(两直线平行,内错角相等),
∠B+∠BAD=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠B+∠BAC+∠1=180°.
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
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多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么
为了证明三角形三个内角的和等于180°,可将其转化为一个平角或一组互补的同旁内角,这种转化思想是数学中常用的方法.
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环节二:运用三角形内角和定理解决问题
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环节三:尝试·思考——推导全等三角形定理“AAS”
我们学过的三角形全等的判定定理有哪些
SSS,SAS,ASA,AAS.
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)”这个结论,你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗
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已知:如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证:△ABC≌△DEF.
分析:①由三角形内角和定理,得∠C=∠F;
②结合BC=EF,用“ASA”证明两个三角形全等.
证明：在△ABC和△DEF中,
∠A+∠B+∠C=180°,∠D +∠E+∠F=180°.
因为∠A=∠D,∠B=∠E,所以∠C=∠F.
又BC=EF ,所以△ABC≌△DEF（ ASA ）.
根据全等三角形的定义,我们可以得到,全等三角形的对应边相等、对应角相等.
1.(人教8上P16)如图，三角形的两个内角分别为55°和75°，则它的第三个内角的度数是(　　)
A.70° B.60° C.50° D.40°
C
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2.(人教8上P16、北师7下P92改编)如图，该图形中的x的值为(　　)
A.60　 B.65 C.70　 D.75
A
3.(2024长沙)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC，则
∠1的度数为(　　)
A.50° B.60° C.70° D.80°
C
4.如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，
AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为　　　　.
85°
5.(跨学科融合)如图，甲船在A处测得灯塔B的方向是北偏东54°，再沿正东方向行驶到C处，在C处测得灯塔B的方向是北偏东18°，则∠B的度数
是　　　　.
36°
6.【例1】(北师7下P94改编)如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=
63°，DE∥AB，则∠DEC等于(　　)
A.63°
B.113°
C.55°
D.62°
D
小结：根据平行线的性质将三个角转化到同一个三角形中.
7.(2024汕头一模)如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE=120°，∠DFG=115°，则∠C=　　　　°.
55
8.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为(　　)
A.35° B.40°
C.70° D.110°
B
9.【例3】如图，在△ABC中，AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC.
(1)若∠C=70°，∠BAC=60°，则∠BED的度数是　　　　；
55°
证明：(2)结论：∠BED=90°-∠C，证明如下：
∵AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠ABE=∠ABC，∠BAE=∠BAC，
∴∠BEA=180°-(∠ABE+∠BAE)=180°-(∠ABC+∠BAC)
=180°-(180°-∠C)=90°+∠C，
∴∠BED=180°-∠BEA=180°-=90°-∠C.
(2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论.
小结：熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义，并能进行推理计算是解决问题的关键.
★10.(思维能力)(人教8上P17改编)
(1)如图1，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.
①当∠A=60°时，∠D的度数是　　　　；
②猜想∠A与∠D有什么数量关系？证明你的结论；
120°
解：(1)②∠D=90°+∠A，证明如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A，
∴∠D=180°-=90°+∠A.
(2)如图2，BD平分∠CBP，CD平分∠BCQ，(1)中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论(不用写出证明过程).
(2)不正确.结论：∠D=90°-∠A.
课堂总结
1.通过本节课的学习,你有哪些收获
2.本节课中,蕴含了哪些数学思想 你还有什么疑惑
作业设计
基础性作业:教材随堂练习第2题,教材习题1.1第1题.
提高性作业:教材习题1.1第2题.
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