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第一章 三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第3课时 多边形的内角和
导入新课
观察广场图案、水立方外观、蜂巢结构,能发现它们都包含着不同的多边形,它们的内角和是多少呢
今天我们就来探索多边形的内角和规律.
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活动一:探究四边形的内角和
我们已经知道三角形三个内角的和是180°,那么四边形的内角和是多少呢
请各小组用测量、拼角、分割等不同方法探索四边形的内角和,并尝试得出结论.
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①测量法:用量角器测量四边形的四个内角的度数后求和,但因测量工具精度、操作误差,测量结果会接近360°但不完全一致,由此可知测量法具有局限性.
②拼角法:将四边形的四个内角剪下后,能直观拼合成周角360°,但剪纸、拼合的操作精度有限.
是否还有其他的方法能够探索四边形的内角和
分割法
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四边形的内角和是多少呢
如图,连接四边形的一条对角线,把四边形分成两个三角形,利用“三角形三个内角的和等于180°”,推导出四边形的内角和为2×180°=360°.
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活动二:探究五边形、六边形的内角和
问题1:这个广场中心的边缘是一个五边形,
你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴进
行交流.
你能否类比探索四边形内角和的方法,求出五边形的内角和
测量法和拼角法.
运用分割法求五边形的内角和.
你是如何进行分割的呢
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问题2:小明、小亮分别利用图1和图2求出了五边形五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗 你还有其他的方法吗
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尝试·思考
(1)按照教材图1-11的方法,六边形能分成多少个三角形 n(n是大于或等于3的自然数)边形呢 你能确定n边形的内角和吗
(2)按照教材图1-12的方法再试一试.
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四边形从一个顶点出发,能引出1条对角线,分成2个三角形;
五边形从一个顶点出发,能引出2条对角线,分成3个三角形.
那么六边形从一个顶点出发,能引出几条对角线 这些对角线把六边形分成了多少个三角形
六边形从一个顶点出发,能引出3条对角线,将六边形分成了4个三角形.
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n(n是大于或等于3的自然数)边形呢 请以表格的形式呈现.
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活动三:归纳多边形内角和公式
观察表格数据,你能发现什么规律 能用公式表示n边形的内角和吗
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多边形的内角和定理:
n边形的内角和等于(n-2)·180°.
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活动四:运用新知，例题讲解
这个例题说明,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.
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问题:(1)正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度
正三角形的内角和等于180°,且各内角相等,所以正三角形的每个内角分别是180°÷3=60°;
正四边形的内角和等于(4-2)× 180°=360°,且各内角相等,所以正四边形的每个内角分别是360°÷4=90°;
正五边形的内角和等于(5-2)× 180°=540°,且各内角相等,所以正五边形的每个内角分别是540°÷5=108°;
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问题:(1)正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度
正八边形的内角和等于(8-2)× 180°=1 080°,且各内角相等,所以正八边形的每个内角分别是1 080°÷8=135°.
(2)怎样计算正多边形每个内角的度数
n边形的内角和等于(n-2)·180°,n为边数,n是大于或等于3的自然数,且正多边形的各内角相等,所以正多边形每个内角的度数为(n-2)·180°÷n.
课堂评价
十一边形
48°
课堂评价
540°
65°
课堂总结
1.多边形内角和公式是如何推导的
2.多边形内角和定理是什么
3.运用多边形内角和定理能解决哪些问题
作业设计
基础性作业:教材随堂练习第1题.
提高性作业:教材“思考·交流”栏目问题.
拓展性作业:
(1)实践操作:用硬纸板制作一个正八边形,测量每个内角的度数,验证与用多边形内角和公式计算的结果是否一致;若测量有误差,则思考“如何更严谨地验证正八边形的内角和 ”.
作业设计
(2)探究推理:我们在课堂上用“从一个顶点引对角线分三角形”的方法推导出了多边形内角和公式,尝试用“在多边形内部取一点,与各顶点连接分三角形”的方法,重新推导公式,并比较两种“转化”方法的异同.
(3)实际生活中的许多建筑、物品都用到了正多边形(如正六边形的蜂巢、正三角形的警示牌等).请选择一种正多边形,调查它在实际生活中的应用案例,并从“内角和、密铺可能性(可选)”等角度,分析其应用的合理性.
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