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北师大版八年级数学下册
第一章 三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
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如图,小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时,跑步方向改变的角是哪些角
这节课我们就来探究与这个问题有关的知识.
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活动一:明确多边形外角及外角和的定义
问题:如图,小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.
(1)小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时,跑步方向改变的角是哪些角 在图上标出这些角.
如图,跑步方向改变的角是∠1,∠2,
∠3,∠4,∠5.
(2)他每跑完一圈,跑步方向改变的角的总
和是多少度 说说你的理由,并与同伴进行交流.
1
2
3
4
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(2)∵∠1+∠EAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEA=180°,
∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=180°×5=900°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.
∴跑步方向改变的角的总和是360°.
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如图,延长边CB至点D.像∠ABD这样,在多边形的顶点处,多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,就是多边形的外角.
每个顶点只取一个外角,这个外角与相邻的内角是什么关系
互为邻补角,和为180°.
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活动:请在你自己画的四边形、五边形上,每个顶点画出一个外角并进行标注.
同桌互相检查:是否每个顶点只画了一个外角 外角与内角是否相邻
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四边形、五边形各有几个外角 n边形有几个外角
四边形有4个外角,五边形有5个外角,n边形有n个外角.
你能否给外角下一个定义
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角,叫作这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫作这个多边形的外角和.
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活动二:探究三角形、四边形的外角和（操作猜想）
问题:三角形和四边形的外角和分别是多少
活动:以小组为单位探究三角形、四边形的外角和.
选择度量法和剪拼法.
三角形、四边形的外角和均为360°.
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三角形、四边形的外角和均为360°,那么五边形、六边形、八边形呢 会不会所有多边形的外角和都是360°
活动:以小组为单位进行探究,分析五边形、六边形、八边形的外角和.
五边形、六边形、八边形的外角和也都是360°.
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活动三:证明三角形、四边形的外角和（逻辑证明）
问题:你能证明三角形、四边形的外角和分别是360°吗
三角形的内角和是180°,且每个外角与内角互为邻补角(和为180°),能不能用这两个知识证明三角形的外角和是360°
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如图,设△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C的对应外角分别为∠1,∠2,∠3,
则∠1=180°-∠A,∠2=180°-∠B,∠3=180°-∠C.
求和得∠1+∠2+∠3=3×180°-(∠A+∠B+∠C)=540°-180°=360°.
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你能否模仿三角形的外角和证明过程,证明四边形的外角和
如图,设四边形ABCD的四个内角∠A,∠B,∠C,∠D的对应外角分别为∠1,∠2,∠3,∠4,
则∠1=180°-∠A,∠2=180°-∠B,
∠3=180°-∠C,∠4=180°-∠D.
求和得∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-(∠A+∠B+∠C+∠D)=720°-360°=360°.
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五边形、六边形、八边形的外角和,你能证明吗
这种证明方法的关键是什么
将外角和转化为n个邻补角的总和减去内角和的形式,用已知的内角和公式推导未知的外角和,这是转化思想的应用.
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活动四:推广到n边形的外角和，总结核心结论
问题:n边形的外角和是多少
三角形、四边形、五边形、六边形、八边形的外角和都是360°,那么n边形(n≥3)的外角和呢 是不是也是360° 请大家类比前面的证明方法,尝试推导.
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问题:n边形的外角和是多少
多边形的外角和定理:多边形的外角和等于360°.
无论n是3,4,5,还是100,n边形的外角和恒为360°,这与多边形的内角和(随n的增大而增大)完全不同.
例如,九边形的外角和是360°,十边形的外角和也是360°.
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辨析以下说法或结论:
①多边形的外角和是所有外角的和. ( )
正解:每个顶点只取一个外角,不是所有外角.
②多边形的边数越多,外角和越大. ( )
正解:多边形的外角和恒为360°,与边数无关.
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活动五:运用新知，例题讲解
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课堂总结
通过本节课,你学到了什么
作业设计
基础性作业:教材习题1.1第7,8题.
提高性作业:教材习题1.1第14题.
拓展性作业:1.观察生活中的正多边形物体(如蜂巢、正十二边形钟表盘),记录物体名称,计算其一个外角与内角的度数.
2.用硬纸板制作一个正六边形,尝试用多个正六边形拼接,说明“为什么能无缝拼接”.
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