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(共25张PPT)
§20.1.1 勾股定理及其应用
第二十章
人教版八年级数学下册
学习目标及重难点
学习目标
学习重难点
1.经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的一些文化历史背景；
2.通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，感受中国古代数学研究的辉煌；
学习重点：探索并证明勾股定理.
学习难点：勾股定理的探究和证明.
3.能应用勾股定理计算直角三角形的边.
温故知新
课本P23
问题1： 直角三角形作为一种特殊的三角形，它有什么性质呢？
问题2： 对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢
a
b
c
A
B
C
(1)有一个角是直角，如∠C＝90°；
(2)其余两个角是互余，如∠A＋∠B＝180°.
本章引言
课本P22
直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五.
资料拓展
勾
股
我国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.
弦
课堂导入
课本P23
在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
商高所指的面积关系可以用图形表示.
这个直角三角形的三边满足:
两条直角边长的平方和等于斜长的平方.
3
4
5
9
16
25
9＋16＝25
其它直角三角形的三边是否也满足上述数量关系
商高
(约公元前11世纪)
A1面积
B1面积
C1面积
A2面积
B2面积
C2面积
A3面积
B3面积
C3面积
A，B，C的面积关系
探究新知
课本P23
B1
A1
C1
B2
A2
C2
B3
A3
C3
如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系 A2，B2，C2呢 A3，B3，C3呢
1
4
5
4
9
13
9
25
34
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.
探究新知
课本P23
问题：以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系 由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗
由此我们猜想：
a
b
c
A
B
C
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.那么a ＋b ＝c .
A
B
C
A面积
B面积
C面积
A，B，C的面积关系
8
18
26
证明猜想
课本P17
三千多年来，人们对这个猜想的证明颇感兴趣。不仅因为这个猜想重要、 基本，还因为其贴近人们的实际生活. 以至古往今来有大量的数学工作者与爱好者在研究这个猜想的证定明方法，证明的方法越来越多. 下面我们来了解这个猜想的证明方法.
证明猜想
课本P24
赵爽
中国
(约182-250年)
毕达哥拉斯
古希腊
(约公元前570-490年)
欧几里得
古希腊
(公元前330-275年)
梅文鼎
中国
(1633-1721年)
商高
中国
（约公元前11世纪)
达芬奇
意大利
(1452-1519年)
刘徽
中国
(约公元250-295年)
詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德
美国
(1831-1881年)
…
赵爽的证明思路
课本P24
黄实
朱实
朱实
朱实
朱实
A
B
C
a
b
c
如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).
赵爽弦图
课本P24
赵爽证明的思路:
c
a
a
b
利用SAS得全等三角形.
c
b
a
c
b
a
c
b
a
边长分别为a和b的两个正方形分割成4个全等的直角三角形（红）和一个正方形（黄）.
以c为边长的正方形.
面积：a ＋b
c
赵爽的证明思路——拼图法
＝
探究新知
课本P25
通过拼图法的证明，我们猜想成立.
如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c.那么a ＋b ＝c .
勾股定理
a
b
c
A
B
C
符号语言：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2
a，b，c中，只要知道其中两个，就能求出第三个.
课本P25
c
b
a
赵爽弦图证明方法
探索：如图，根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图面积推导出勾股定理吗？
证明：S大正方形＝c ，S小正方形＝(b－a) ，
∵S大正方形＝S小正方形＋4S三角形，
∴c ＝(b－a) ＋4× ab＝a ＋b .
赵爽弦图怎样画呢？
例题讲解
课本P25
例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
A
B
C
8
6
15
17
E
F
D
(1)
(2)
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴82＋62＝AB2.
∴AB＝10.
(2)∵在Rt△DEF中，∠E＝90°，
∴DE2＋EF2＝DF2.
∴DE2＋152＝172.
∴DE＝8.
变式练习
课本P25
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a＝6，c＝10，求b；
(2)已知a＝5，b＝12，求c；
(3)已知b＝15，c＝25，求a.
解：(1)由勾股定理，得
∴a2＋b2＝c2.
∴62＋b2＝102.
∴b＝8.
(2)由勾股定理，得
∴a2＋b2＝c2.
∴52＋122＝c2.
∴c＝13.
(3)由勾股定理，得
∴a2＋b2＝c2.
∴a2＋152＝252.
∴a＝ .
课本P26
2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形.四边形都是正方形.巴知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
E
B
A
D
C
F
G
解：如图，由勾股定理，得
SE＝SF＋SG，
SF＝SA＋SB，
SG＝SC＋SD.
∴SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝12＋16＋9＋12＝49.
变式练习
课本P26
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0)和B(0，4).求这两点间的距离.
A
B
5
6
x
y
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
解：∵A(5，0)和B(0，4)，
∴OA ＋OB ＝AB .
∴5 ＋4 ＝AB .
∵在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝5，OB＝4.
∴AB＝ .
变式练习
C
课本P26
拓展1 如图，在平面直角坐标系中有两点A(x1，y1)和B(x2，y2).这两点间的距离如何表示.
新知拓展
A
B
5
6
x
y
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
分析：如图，过点A作AC∥x轴与过点B与y轴平的行线交于C.
|x1－x2|
|y1－y2|
∴AC ＋BC ＝AB .
∴(x1－x2) ＋(y1－y2) ＝AB .
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝ .
例题讲解
例2 如图，等边三角形ABC的边长为6，求：
(1)高AD的边长；
(2)等边三角形ABC的面积.
A
B
C
D
解：(1)∵△ABC是等边三角形.
∴AB＝BC＝AC＝6.
又∵AD是高.
∴BD＝ BC＝3.
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°.
∴AD ＋BD ＝AB .
∴AD ＋3 ＝6 .
∴AD＝ .
(2)S△ABC＝ BC×AD
＝ ×6×
＝ .
课本P29练习2
新知拓展
拓展2 如图，等边三角形ABC的面积与边长的关系.
A
B
C
D
解：∵△ABC是等边三角形.
∴设AB＝BC＝AC＝x.
又∵AD是高.
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°.
∴AD ＋BD ＝AB .
∴AD＝ .
S△ABC＝ BC×AD
∴BD＝ BC＝ x.
∴AD ＋ ＝x .
＝ ·x·
＝
变式练习
变式2 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝5，BC＝8，求等腰三角形ABC的面积.
A
B
C
解：过点A作AD⊥BC于D.
D
∵△ABC是等腰三角形.
∴AB＝BC＝5.
又∵AD是高.
∴BD＝ BC＝4.
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°.
∴AD ＋BD ＝AB .
∴AD ＋4 ＝5 .
∴S△ABC＝ BC×AD
＝ ×8×3
∴AD＝3.
＝12.
拓展练习
[20-21江苏无锡月考]
拓展3 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC＝a,BC＝b.若图1中的大正方形的面积为61，小正方形的面积为1.
(1)求(a＋b) ;
(2)若将图1中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长为______.(图中实线部分)
A
B
C
图1
图2
A
B
C
D
弦图耀史
课本P25
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出人相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
课堂小结
作业布置
基础练习：课本P30第1，3题，P43第1题；
能力提升：课本P31第8，12（甲）题；
拓展延伸：课本P31第13题.

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