资源简介

9.1 二次根式及其性质
课时1 认识二次根式
第九章 二次根式
01
理解二次根式的概念，能准确识别形如 ????(a≥0) 的式子为二次根式.
?
02
掌握二次根式有意义的条件，会求二次根式中字母的取值范围.
03
理解二次根式的非负性，即 ?????≥0?(a≥0)，并能运用该性质进行简单推理.
?
1.什么是算术平方根？
若一个正数x的平方等于a，即????2=a，则x叫做a的算术平方根，记作x=????
?
2.算术平方根有什么性质？
双重非负性（被开方数a≥0，算术平方根????≥0）
?
3.你能写出几个算术平方根的例子吗？
（如4?，0，5）
?
学校向同学们征集一块矩形花坛的设计方案.小莹用正 方形和圆 形 组 合,设计出寓 意 “天 圆 地 方”的 图 案，如图
(1)若正方形部分的面积为40????2,则其边长是_________m; 若正方形部分的面积为S ????2,则其边长是__________m.
?
(2)若圆形部分的面积为18????2,则其半径是__________m;若圆形部分的面 积为k ????2,则其半径是___________m.
?
40
?
????
?
18????
?
????????
?
这些式子分别表示什么意义？
40
?
????
?
18????
?
????????
?
这些代数式都表示某一个数或式的 算术平方根
这些式子有什么共同特征？
这些代数式都表示某一个数或式的 算术平方根.因为负数没有算术平方根, 所以要求被开方的数、式大于或等于零.
形如????(a≥0)的式子叫作二次根式,其中“”叫作二次根号,a叫作被开方式.
?
二次根号
被开方式
读作“根号a”
二次根式
表示非负数 a 的算术平方根，
形如 的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点：
1.含有二次根号“ ”（根指数为 2）；
2.被开方式必须是非负数.

问题：代数式 是二次根式吗？
答:是的，二次根式的被开方式可以是整式或分式.
1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
√
√
√
√
√
正数a的算术平方根????是正数，0的算术平方根是0.因此，????(a≥0)是一个非负数，即
????≥0（a≥0）
?
二次根式具有双重非负性
当x 为何值时, 2?????1在实数范围内有意义?
?
解 在实数范围内，二次根式 2?????1有意义的条件是2x-1≥0
解不等式,得x ≥ 12，所以当x ≥ 12时, 2?????1在实数范围内有意义.
?
2.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
a≥1
a≤0
a≤5
a ≥ -32
?
3.下列各式一定有意义的是?(????　)
A.?　　????B.?　　????C.?　　????D.?
C
解析　选项A,-7<0,所以?没有意义;选项B,当x<0时,?没
有意义;选项C,x2+1>0,所以?有意义;选项D,当x≤0时,
?没有意义.故选C.
二次根式的定义
形如 √a (a≥0) 的式子，我们称之为二次根式.
有意义的条件
对于二次根式 √a，被开方数 a 必须大于或等于 0.
重要性质
双重非负性：a ≥ 0 且 √a ≥ 0.
数学思想
从具体到抽象，分类讨论的思想.
1.使式子? 有意义,则x的取值范围为?(　　)
A.x>5　　????B.x≠5　　????C.x≥5　　????D.x≤5
C
[变式1](改变取值范围的表现形式)二次根式?在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为?(　　)
A　　? ?B
C　　? ?D
C
[变式2](添加分母,求字母的取值范围)
若代数式?有意义,则实数x的取值范围是?(　　)
A.x≠2????B.x≥0????C.x≥2????D.x≥0且x≠2
D
解析　根据二次根式有意义的条件和分母不为0,得x≥0且x-
2≠0,∴x≥0且x≠2,故选D.
2.若y=?+? +4,则xy的算术平方根是　　　????.
2
解析　由二次根式有意义的条件,得 ? 所以1-x=0,解得x=1,所以y=4,所以xy=4,所以xy的算术平方根为2.
3.已知n为正整数, 也是正整数,那么满足条件的n的最小值是　　　????.
2
解析????n为正整数,?也是正整数,则18n是一个完全平方
数.因为18n=2×32n=32·2n,所以2n是一个完全平方数,所以正
整数n的最小值是2.

展开更多......

收起↑