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专题(七)与平行四边形的性质有关的计算与证明
【教材母题】(教材P88作业题第5题)
已知:如图,在 ABCD中,过AC的中点O 的直线分别交CB，AD 的延长线于点 E，F。求证:BE=DF。
【思想方法】平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分的性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件。
【变式1】(条件与结论互换)
1.已知:如图,在 ABCD 中,延长 DA 至点 E,延长BC至点F,使得AE=CF,连结EF,与对角线 BD 相交于点O。求证:OE=OF。
【变式2】(变图形，变结论)
2.如图,在 ABCD中,点 E,F 分别在边AB,CD上,且 BE=DF,EF 与AC 相交于点 P。求证:P 是□ABCD 对角线的交点。
【变式3】(在变式2的基础上变为动态型问题)
3.如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,BC=5,点 P 从点 A 出发,沿 AD 以每秒1个单位的速度向终点 D 运动。连结 PO并延长，交BC 于点 Q。设点 P 的运动时间为t秒。
(1)求BQ的长(用含 t的代数式表示)。
(2)当四边形 ABQP 是平行四边形时，求 t的值。
拓展性任务
1.如图，O为 ABCD 的对角线AC 的中点，过点O作直线 MN，分别交边 AB，CD于点 M，N，点E，F在直线MN上，OE=OF，连结AE，CF。
(1)求证:∠EAM=∠FCN。
(2)写出图中所有的全等三角形。
2.如图，四边形 ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交 CD于点 F，交 BC的延长线于点 E。
(1)求证:BE=CD。
(2)连结 BF，若 BF⊥AE，∠E=60°，AB=4，求 ABCD的面积。
3.如图，已知在 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，AC⊥AB，E，F分别在线段OD，OB上，且OE=OF，连结 CE，AF。
(1)求证:CE=AF。
(2)若∠DBA=45°，AB=1。
①求 BC的长。
②求直线 AD与 BC之间的距离。
4.【问题呈现】如图，将 ABCD绕点C按顺时针方向旋转得到 FECG，点 B落在 AD边上的点E处，连结 BE，点 A，D的对应点分别是点F，G。
【初步发现】(1)如图1，五边形 BCGFE的内角和的度数为 °，外角和的度数为 °。
【求知探究】(2)求证:EB平分∠AEC。
【拓展延伸】(3)如图2，AB=4，BC=6，当 B，E，F三点在同一条直线上时，求△BCE的面积。
【教材母题】略
1.略 2.略
3.(1)BQ=5-t (2)
拓展性任务
1.(1)略 (2)图中的全等三角形有△ABC 与△CDA,△AOM与△CON,△AME与△CNF,△AOE与△COF
2.(1)略
3.(1)略 (2)①
4.(1)540 360 (2)略(3)8

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