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安徽省 F7 教育联盟 2026 年九年级中考第一次模拟测试
数学
注意事项:
1.本卷共 8 大题,计 23 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。
2.试卷包括"试题卷"(4 页)和"答题卷"(4 页)两部分。
3.请务必在“答题卷"上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)
每小题都给出代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中只有一个是正确的.
1.－5 的绝对值是( )
A. 5 B. －5 C. D.
2.火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55 000 000 km，将数字55 000 000
用科学记数法表示为( )
A. 550×105 B. 55×106 C. 5.5×107 D. 0.55×108
3.如图，该几何体的主视图是( )
4.下列各式中，计算结果等于 9a6 的是( )
A. (－3a3)2 B. (－3a3)3 C. (－9a3)2 D. (3a3)3
5. 如图，△ABC 是等边三角形，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于
点 E，延长 BC 和 ED 交于点 F，若 BC=4，则 BE 的长为( )
A. B. 3 C. D.
6.如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为 30 cm 的丝带按图中打结的方式连接起来，
每打一个结，丝带总长度减少 5 cm，则打结连接后的丝带总长度 y 与用到的丝带数量 x 的
关系式为( )
A. y=30x－5 B. y=30x＋5 C. y=25x－5 D. y=25x＋5
7. 已知 A(4，a)和 B(－1，b)是一次函数 y=kx－4(k≠0)图象上的两点，若 a＜b，则该一次函
数的图象还可能经过的点是( )
A. (－4，0) B. (4，0) C. (0，4) D. (1，－3)
8. 已知两个不为零的实数 a，b 满足 a＋b= ，其中 b≠1，则( )
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A. 当 =1 时，a2－4b＞0 B. 当 =1 时，a2－4b＜0
C. 当 =－1 时，a2－4b＞0 D. 当 =－1 时，a2－4b＜0
9. 如图，已知在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，△ABC 与△ADC 的面积相
等.BD 平分∠ABC，AB=2BC，下列结论不成立的是( )
A. BO=DO B. AO=CO C. AD=2CO D. AD=AO
第 9 题图 第 10 题图 第 13 题图
10. 如图，AC 是菱形 ABCD 的对角线，把菱形 ABCD 沿着对角线 AC 方向平移，得到菱形 A
′B′C′D′，A′B′，A′D′分别交 BC，CD 于点 G，H，连接 GH，若 AA′=x(0＜x＜AC)，GH=y，则
y 与 x 之间的关系大致可以用函数图象表示为( )
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
11. 若分式 有意义，则实数 x 的取值范围是 .
12. 魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得
二次根式的值，如 ≈a＋ ，其中 a 取正整数且|r|最小，则用该方法计算 的
值约为 .
13. 如图，AB 是⊙O 的直径，OC 垂直弦 AD 于点 C，CO 的延长线交⊙O 于点 E，连接 BE，
若 AB=10，AD=8，则 BE 的长为 .
14. 新定义：我们把二次函数 y=ax2＋bx＋c(其中 abc≠0)与 y=ax2＋cx＋b 称为“相关函数”. 例
如：二次函数 y=x2＋2x＋3 的“相关函数”为 y=x2＋3x＋2. 已知二次函数 C1：y=ax2＋(4a＋1)
x＋4a(a≠0)的“相关函数”为 C2.
(1)二次函数 C2 的对称轴为直线 ；
(2)已知二次函数 C1 的图象与 x 轴交于点 M，N，二次函数 C2 的图象与 x 轴交于点 P，Q，
若 MN=PQ，则二次函数 C1 与 C2 对称轴之间的距离为 .
三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)
15.解方程:x2-2x=3
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16. 随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产.无人机喷
洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、更加均匀、节约农药使用量等优势，
因此受到了广大农户的欢迎.某公司目前有 A，B 两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，
据了解 3 架 A 款植保无人机和 2 架 B 款植保无人机每小时可为 440 亩土地进行农药喷洒，2
架 A 款植保无人机和 3 架 B 款植保无人机每小时可为 460 亩土地进行农药喷洒，求 A，B 两
款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？
四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分)
17. 如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交
点)为顶点的四边形 ABCD 以及点 O.
(1)作四边形 ABCD 关于点 O 中心对称的四边形 A′B′C′D′(A′，B′，C′，D′分别是点 A，B，C，
D 的对应点)；
(2)在(1)的条件下，连接 A′C′，仅用无刻度的直尺画出△A′D′C′的中线 D′E.(保留作图痕迹)
18. 观察以下等式：
第 1 个等式：152=100×2＋25，
第 2 个等式：252=100×6＋25，
第 3 个等式：352=100×12＋25，
第 4 个等式：452=100×20＋25，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 6 个等式： ；
(2)写出你猜想的第 n 个等式： (用含 n 的等式表示)，并证明.
五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分)
19.在很多景区，我们都可以看到类似图①这种凉亭，供游人休憩，小明想利用太阳光线与
地面的夹角来测量凉亭顶点 A 到地面的距离.如图②，已知∠BAC=120°，AB=AC，且 B，C
两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为2.8 m，当太阳光恰好能照射到石桌中心点E
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处，此时太阳光与桌面的夹角为 53°.已知石桌位于凉亭正中心(即 A，E，D 三点共线)，高
度 DE 为 0.5 m，M，N 为凉亭柱子与地面的交点(A，B，C，D，E，M，N 在同一竖直平面
内)，求凉亭顶点 A 到地面的距离.(结果精确到 0.1 m，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈
0.60，tan 53°≈1.33， ≈1.73)
20. 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，E 是 AB 上一点，连接 CE 并延长交 AD
于点 F，延长 AD，CB 交于点 G， = ，∠BCE=∠G，连接 AC.
(1)求证：CF⊥AB；
(2)若 EF=2，AG=14，求⊙O 的半径长.
六、(本题满分 12 分)
21.综合与实践
【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理
老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力.在开设心理健康课前
后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了 50 名学生，对他们的两
次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果.
【数据收集与整理】收集这 50 名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分
(满分 100 分，用 x 表示学生的分数)进行分组，分组如下：
组别 A B C D E
x 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
整理 1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：
…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，…
整理 2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试
成绩绘制成如图②的扇形统计图.
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整理 3：这 50 名学生在心理健康课前测试成绩优良率(测试成绩大于或等于 80 分为优良)为
20%.
【数据处理和应用】
任务 1：心理健康课前测试成绩在 C 组的有 人，并补全频数分布直方图；
任务 2：心理健康课后这 50 名同学测试成绩的中位数是 ，D 组对应扇形的圆心角
是 °；
任务 3：已知心理健康课后的这 50 名同学的平均分为 82.3 分；心理健康课前测试成绩在 A，
B，C，D，E 五组中的平均分分别为 55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心
理健康课前高出 15%，就认为开设心理健康课的效果显著.请你通过计算说明该校开设的心
理健康课是否达到“效果显著”？
七、(本题满分 12 分)
22.如图 1, ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 M,N 分别在边 AD,BC 上,且 AM=CN. 点
E, F 分别是 BD 与 AN,CM 的交点.
(1)求证:OE=OF;
(2)连接 BM 交 AC 于点 H,连接 HE,HF.
(ⅰ)如图 2,若 HE∥AB,求证:HF∥AD;
(ⅱ)如图 3,若 ABCD 为菱形,且 MD=2AM,∠EHF=60°,求 的值.
图 1 图 2 图 3
八、(本题满分 14 分)
23. 综合与探究
如图，抛物线 y x2+2x﹣6 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，
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连接 AC，BC．
（1）求 A、B，C 三点的坐标并直接写出直线 AC，BC 的函数表达式．
（2）点 P 是直线 AC 下方抛物线上的一个动点，过点 P 作 BC 的平行线 l，交线段 AC 于点
D．
①试探究：在直线 l 上是否存在点 E，使得以点 D，C，B，E 为顶点的四边形为菱形，若存
在，求出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线 l 交于点 M，与直线 AC 交于点 N．当 S△DMN＝S△AOC 时，请直
接写出 DM 的长．
第 6 页 共 6 页安徽省 F7 教育联盟 2026 年九年级中考第一次模拟测试数学答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)
ACCAB
DACBD
10.【解析】如解图，记 GH 交 A′C 于点 O，易得 GH⊥AC，设 AC=m，则 A′C=m－x，设∠
BAC=α，则由平移的性质可知，∠GA′C=∠BAC=α，∴tan∠GA′C=tan α= ，∴OG=OA′·
tan α，∴GH=2OG=2OA′·tan α=A′C·tan α=(m－x)tan α，∴y=GH=(m－x)tan α=(－tan α)·x＋m·
tan α，∵α为定值，m 为定值，∴－tan α为定值，且小于 0，m·tan α为定值，且大于 0，∴y
是关于 x 的一次函数，且 y 随 x 的增大而减小，∴D 选项符合题意.
第 10 题解图
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
11. x≠－3
12. 5.2
13. 2 【解析】如解图，延长 OC 交⊙O 于点 F，连接 AF，∵AB 是⊙O 的直径，
AB=10，∴AO=OF=5，∵OF 是⊙O 的半径，OC⊥AD，∴AC= AD=4，在 Rt△ACO 中，OC=
=3，∴CF=OF－OC=2，在 Rt△ACF 中，AF= =2 ，∵∠
EOB=∠FOA，∴BE=AF=2 .
第 13 题解图
14. (1)x=－2；(2)6 【解析】∵C1：y=ax2＋(4a＋1)x＋4a，∴二次函数 C1 的对称轴为直线
x=－ ，由(1)得二次函数 C2 的对称轴为直线 x=－2，∴二次函数 C1 与 C2 对称轴之间的
距离为|－ －(－2)|=|－ |，∵二次函数 C1 的图象与 x 轴交于点 M，N，令 ax2＋(4a＋1)
x＋4a=0，解得 x= ，∴MN=|xM－xN|=| |，同理可求得 PQ=| |，
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∵MN=PQ，∴MN2=PQ2，即 = ，解得 a=－ ，∴二次函数 C1 与 C2 对称轴之间的距
离为|－ |=6.
三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)
15..解:原方程可化为 x2-2x-3=0,
因为Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,
所以方程有两个不等的实数根 x1= =3,x2= =-1.
16. 解：设 A 款植保无人机每小时可为 x 亩土地进行农药喷洒，B 款植保无人机每小时可为
y 亩土地进行农药喷洒，
由题意得
解得
答：A 款植保无人机每小时可为 80 亩土地进行农药喷洒，B 款植保无人机每小时可为 100
亩土地进行农药喷洒.
17. 解：(1)如解图，四边形 A′B′C′D′即为所求作；
(2)如解图，D′E 即为所求作.
第 17 题解图
18. 解：(1)652=100×42＋25；
(2)猜想第 n 个等式为(10n＋5)2=100×n(n＋1)＋25，
证明：左边=(10n＋5)2=100n2＋100n＋25，
右边=100n2＋100n＋25，
∴左边=右边，
∴等式成立.
19. 如解图，连接 AE，BC 交于点 O，则 AE⊥BC，BC∥MN，∴∠OBE=53°，
∵AB=AC，
∴OB= BC=1.4(m)，∠OAB= ∠BAC=60°，
在 Rt△AOB 中，AO= ，
在 Rt△OBE 中，OE=OB·tan ∠OBE，
∴AD=AO＋OE＋ED= ＋OB·tan∠OBE＋0.5= ＋1.4·tan 53°＋0.5≈3.2(m).
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答：凉亭顶点 A 到地面的距离约为 3.2 m.
20. (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠CAD＋∠G=90°，
∵ = ，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE＋∠G=90°，
∵∠BCE=∠G，
∴∠CBE＋∠BCE=90°，
∴∠CEB=90°，即 CF⊥AB；
(2)解：∵∠ACG=90°，
∴∠ACE＋∠BCE=90°，∠CAG＋∠G=90°，
∵∠BCE=∠G，
∴∠CAG=∠ACE，CF=FG，
∴AF=CF=FG= AG=7，
∵EF=2，∴CE=CF－EF=7－2=5，
在 Rt△AEF 中，AE= = =3 ，
在 Rt△AEC 中，AC= = = ，
∵∠CAB=∠EAC，∠ACB=∠AEC=90°，
∴△CAB∽△EAC，
∴ = ，即 = ，
∴AB= ，
∴AO= ，
即⊙O 的半径长为 .
21.解：任务 1：12，补全频数分布直方图如解图；
【解法提示】∵达到优良的人数为 50×20%=10(人)，∴C 组人数为 50－10－18－10=12(人)，
D 组的人数为 10－4=6(人).
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任务 2：80.5，115.2；
【解法提示】∵一共抽取 50 名学生，∴A 组：50×8%=4(人)，B 组：50×12%=6(人)，E 组：
50×20%=10(人)，D组：16人，∴C组的人数为50－4－6－10－16=14(人)，将成绩按从低到
高顺序排列，中位数为 80 和 81 的平均数，即 =80.5，D 组对应扇形的圆心角是 ×
360°=115.2°.
任务 3：心理健康课前测试成绩的平均分为：
= ×(55×10＋65×18＋75×12＋85×6＋95×4)=70.2，
∵ ×100%≈17.2%＞15%，
∴该校开设的心理健康课达到了“效果显著”.
22.(1)证明:由题意知,AD∥BC,AM∥CN,OA=OC.
由于 AM=CN,则四边形 AMCN 是平行四边形,
从而 AN∥CM,所以∠OAE=∠OCF.
在△AOE 与△COF 中,因为 OA=OC,∠OAE=∠OCF,∠AOE=∠COF.
所以△AOE≌△COF.故 OE=OF.
(2)(ⅰ)证明:因为 HE∥AB,所以 .
又 OB=OD,OE=OF,则 .
由于∠HOF=∠AOD,故△HOF∽△AOD.
于是∠OHF=∠OAD,所以 HF∥AD.
(ⅱ)解:因为 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD.
又 OE=OF,∠EHF=60°,所以∠EHO=∠FHO=30°,于是 OH= OE,
因为 AM∥BC,MD=2AM,所以 ,即 HC=3AH,
从而 OA+OH=3(OA-OH),所以 OA=2OH.
又因为 BN∥AD,MD=2AM,AM=CN,所以 ,即 3BE=2ED,
从而 3(OB-OE)=2(OB+OE),所以 OB=5OE.
故 ,即 的值是 .
23.解：（1）当 y＝0 时， x2+2x﹣6＝0，解得 x1＝﹣6，x2＝2，
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∴A（﹣6，0），B（2，0），当 x＝0 时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线 AC 的函数表达式为 y＝﹣x﹣6，
∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线 BC 的函数表达式为 y＝3x﹣6；
（2）①存在：设点 D 的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，∴当 DE＝BC 时，以点 D，C，B，E 为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当 BD＝BC 时，四边形 BDEC 为菱形，
∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴点 D 的坐标为（﹣4，﹣2），∴点 E 的坐标为（﹣6，﹣8）；
如图，当 CD＝CB 时，四边形 CBED 为菱形，
∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2 ，m2＝2 （舍去），
∴点 D 的坐标为（﹣2 ，2 6），
∴点 E 的坐标为（2﹣2 ，2 ）；
综上，存在点 E，使得以点 D，C，B，E 为顶点的四边形为菱形，点 E 的坐标为（﹣6，﹣
8）或（2﹣2 ，2 ）；
②设点 D 的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
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∵A（﹣6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线 x＝﹣2，
∵直线 BC 的函数表达式为 y＝3x﹣6，直线 l∥BC，
∴设直线 BC 的解析式为 y＝3k+b，
∵点 D 的坐标（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣4m﹣12），
∵抛物线的对称轴与与直线 AC 交于点 N．∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC，∴ （﹣4m﹣8）（﹣2﹣m） 6×6，
整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），
∴点 D 的坐标为（﹣5，﹣1），∴点 M 的坐标为（﹣2，8），
∴DM 3 ，
答：DM 的长为 3 ．
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