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19.1 二次根式及其性质
二次根式的性质
第十九章 二次根式
R·八年级数学下册
1.经历二次根式的三条性质的探究概括过程，学会类比的数学观念，掌握二次根式的基本运用.
2.利用二次根式的性质进行计算和化简，培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯．
学习目标
二次根式的定义
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式.
a叫作被开方数.
复习回顾
我们知道，二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
性质1：二次根式的双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
探索新知
1.已知实数m，n满足|m+3|+ =0，则
m=_____，n=_____.
2.已知(x 2)2+ =0，则 xy 的值为_____.
3
1
练习
问题1：如图，一块正方形的方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
正方形的边长为 .
用边长表示正方形的面积为 .
又因为面积为a.
所以 =a.
这个式子对所有的二次根式都成立吗？
探究
问题2：验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
0
0.5
3
…
0
…
( )2
0
0.5
3
…
算术平方根
平方运算
根据问题2直接写出结果，然后根据问题2的探究过程说明理由：
=____；
=____；
=____；
=____.
3
0.5
0
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
一般地， .
性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
例2 计算：
（1）( )2； （2）( )2.
解：（1）( )2=1.5；
（2）( )2
积的乘方：(ab)2=a2b2
=22×( )2
=4×5=20.
1.计算.
【选自教材第4页 练习 第1题】
（1）( )2； （2）( )2.
解：（1）( )2=3；
（2）( )2=32×( )2=9×2=18.
练习
2.在实数范围内分解因式：
（1）x2-7； （2）x4-4x2+4.
解：（1）x2-7=(x+ )(x- )；
（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( )2]2=(x+ )2(x- )2.
这里逆用了( )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
问题3：填一填，你发现了什么？
a(a≥0)
2
0.1
0
…
a2
4
0.01
0
…
2
0.1
0
…
平方运算
算术平方根
观察两者有什么关系？
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
a(a＜0)
2
0.1
3
…
a2
4
0.01
3
…
2
0.1
3
…
平方运算
算术平方根
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
性质3：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
归纳小结
例3 化简：
（1） ； （2） .
解：（1）
=
=4；
（2）
=
=5.
化简：
【选自教材第4页 练习 第2题】
（1） ； （2） ；
0.3
练习
（3） ； （4） .
﹣π
讨论：如何区别 与 ？
运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方
取值范围 a≥0 a取任何实数
运算结果 a ｜a｜
表示意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根
1.化简 的结果是( ).
A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4
2.当1A.3 B. 3 C.1 D. 1
C
D
随堂练习
3.a，b，c为三角形的三边长，化简： .
解：由三角形两边之和大于第三边得：
a+b-c>0，a+c-b>0.
所以 =a+b-c+(a+c)-b=2a.
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
=_____.
解析：由实数a，b在数轴上的对应点的位置可得 1＜a＜0，1＜b＜2，所以a+1＞0，b 1＞0，a b＜0，
所以 =a+1 (b 1)+(b a)=2.
2
拓展提升
二次根式的性质
拓展
a为全体实数
【双重非负性】
课堂小结
下 课
Thanks!
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