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四川省绵阳市平武县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
1．（2025九上·平武期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·平武期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　）
A．， B．，
C．， D．以上答案都不对
3．（2025九上·平武期中）用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·平武期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（　　）
A． B． C． D．5
5．（2025九上·平武期中）当关于的二次函数的最大值为时，的值为(　　)
A． B． C．或 D．或
6．（2025九上·平武期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·平武期中）如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·平武期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论：①，②，③，④中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025九上·平武期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·平武期中）如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025九上·平武期中）如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上的任意一点，过点作轴交抛物线于点，若，则点到轴的距离为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2025九上·平武期中）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
13．（2025九上·平武期中）一元二次方程的解是　 　．
14．（2025九上·平武期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 　 　．
15．（2025九上·平武期中）如果关于x的一元二次方程有解，那么系数a，b的符号关系是　 　．
16．（2025九上·平武期中）在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为　 　．
17．（2025九上·平武期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△，若∠AOB=10°，则∠AOB'的度数　 　.
18．（2025九上·平武期中）已知点，点B在直线上运动，把点A绕点B逆时针旋转，点A的对应点为点C，我们发现点C随点B变化而变化．若点C在运动变化过程中始终在抛物线的上方，设点B的横坐标为m，则m的取值范围是　 　．
19．（2025九上·平武期中）下面是李华用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程：：
解：原方程可以化简为第一步
两边同时除以得第二步
系数化为，得第三步
任务：
（1）李华的解法是不正确的，他从第　 　步开始出现了错误．
（2）请完成这个方程的正确解题过程．
20．（2025九上·平武期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上．
（1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
（3）写出经过怎样的旋转可直接得到．
21．（2025九上·平武期中）阅读与思考
观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题：
方程及其根 方程及其根
方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根
， ，
， ，
（1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征．
（2）方程和是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征．
（3）请以一元二次方程（，）为例证明关联方程根的关系特征．
22．（2025九上·平武期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）若，求t；
（2）若，写出m，n，c的大小关系；
（3）设点，（）在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围．
23．（2025九上·平武期中）体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的在作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为，第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，在点处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物钱，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同．
（1）求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式；
（2）若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点．
①求k的值；
②在距离原点处，水平放置一个距离地面高度为的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由；
（3）如图2为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线出进行训练，为斜坡与的交点，在点处设置可调节支撑杆；且轴．当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出的取值范围．
24．（2025九上·平武期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上．该抛物线与y轴交点的纵坐标为，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求的面积；
（3）当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围；
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（含点A和点P）的图象为G，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线l，当该抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
故选：D.
【分析】根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程，
∴m-2≠0，|m|=2
∴m=-2
∴方程为：-4x2-2x+1=0，
b2-4ac=(-2)2-4×(-4)×1=20
∴
∴，
故选：D.
【分析】根据一元二次方程的定义求出m，求出方程的b2-4ac，代入进行计算即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2-4x-6=0，
移项得2x2-4x=6，
配方得2(x2-2x+1-1)=6，
2(x-1)2-2=6，
2(x-1)2=6+2
2(x-1)2=8.
故选：B.
【分析】先将常数项移到等号右边，再提取二次项系数，然后在括号内进行配方，最后整理得到配方后的方程.
4．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于原点对称
∴a=-3，b=-2，
则a+b的值为：-3-2=-5.
故选：C.
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a.b的值，进而得出答案.
5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(a-1)x2+a2+4a的最大值为5
∴a2+4a=5，
∴a2+4a-5=0.
解得a=-5，a=1
∵a-1≠0，
∴a=-5
故选：B.
【分析】根据顶点式二次函数解析式可得a2+4a=5，再求解即可.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由抛物线解析式可知二次函数开口向上，对称轴为y轴，距离y轴越远函数值越大
∴y3>y2>y1，
故选：A.
【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据距离大小比较函数值的大小.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△ADE，
∴AB=AD，∠B=∠ADE，∠BAD=α，
∴∠ADB=∠B=∠ADE，
∵DE⊥AC，∠CAD =25°，
∴∠ADE=90°-25°=65°
∴∠ADB=∠B=65°，
∴α=∠BAD=180°-65°-65°=50°
故选 B.
【分析】根据旋转的性质，得到AB=AD，∠B=∠ADE，进而得到∠ADB=∠B=∠ADE，三角形内和定理，求出∠ADE，再利用三角形内角和求出∠BAD即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：对称轴为x=1，即，即2a+b=0，因此①正确；
当x=-1时，y=a-b+c<0，即a+c由抛物线的顶点的位置可知，，而a<0，所以4ac-b2<4a，即4ac-4a因为a-b+c<0，2a+b=0，所以3a+c<0，因此④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：C.
【分析】根据二次函数的图象和性质，即抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标以及最大值(最小值)逐项进行判断即可.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：当a取0时，此方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B：方程可化简为x2-x-7=0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C：因为有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D：方程可化简为5x+1=0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B.
【分析】根据一元二次方程的定义(含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)，对选项逐个判断，含未知数的要分类讨论，整理化解后再进行判断.
10．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，草坪的面积为(62-x)(42-x)m2
故所列方程为(62-x)(42-x)=2400
故选：A.
【分析】可借助平移性质得到长为(62-x)m、宽为(42-x)m的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可.
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵AB//x轴，y=-(x-h)2+5
∴A、B关于对称轴直线x=h对称
∴yA=yB，
∵AB=4.
∴xA=h-2，
∴yA=-(h-2-h)2+5
=-4+5
=1.
∴yB=yA=1
∴B到x轴的距离为1.
故选：A.
【分析】根据抛物线的对称轴以及AB的长度，求出点B的横坐标，再代入抛物线解析式求出纵坐标，进而得到点B到x轴的距离.
12．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得
2(x+y)=40
∴x+y=20
∴y=20-x，
即y与x是一次函数关系
∵S=xy
=x(20-x)
=-x2+20x，
∴矩形面积满足的函数关系为S=-x2+20x，即满足二次函数关系，
故选：A.
【分析】矩形的周长为2(x+y)=10，可用x来表示y，代入S=xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式.
13．【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
方程的两边都乘了，得(x+3)2=3
∴
∴
∴，.
故答案为：，.
【分析】方程的两边先都乘以3，把(x+3)看成一个整体，利用直接开平方法求解即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2(x-3)2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y=2(x-3+2)2+1-3，即y=2(x-1)2-2.
故答案为：y=2(x-1)2-2.
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
15．【答案】ab≤0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+b=0有解
∴Δ=02-4ab≥0.
∴ab≤0.
故答案为：ab≤0.
【分析】利用根的判别式求得即可.
16．【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令y=0，则，
解得x=8或x=-2(舍去)
∴实心球从起点到落地点的水平距离为8m，
故答案为：8.
【分析】把y=0代入，即可求出x的值即可得到结果.
17．【答案】35°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'
∴∠A'OA=45°，∠AOB=∠A'OB'=10°
∴∠AOB'=∠A'OA-∠A'OB'=45°-10°=35°
故答案为：35°.
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可.
18．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设直线y=2交y轴于点E，过点C作CF垂直于直线y=2于点F，
则△AEB≌△BFC(AAS)，
则点C(m-1，2-m)，
即点C在直线y=-x+1上运动，而点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方，
当2x2=-x+1时，即x=-1或时，
即
故答案为：.
【分析】证明△AEB≌△BFC(AAS)，则则点C(m-1，2-m)，即点C在直线y=-x+1上运动，而点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方，当2x2=-x+1时，即x=-1或时，，即可求解.
19．【答案】（1）二
（2）解：，
，
，
或，
所以，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)他从第二步开始出现了错误，
故答案为：二.
【分析】(1)第二步不符合等式的性质；
(2)先移项得到3x(3x-1)+(3x-1)=0，再利用因式分解法把方程转化为3x-1=0或3x-1=0，然后解两个一次方程.
20．【答案】（1）解：如图，即为所求；点的坐标；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求；点B2的坐标（-3，-3）；
（3）解：△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】(1)根据对称的性质即可画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)根据旋转的性质即可画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
(3)根据旋转的性质即可写出△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°后可得到△A2B2C2.
21．【答案】（1）解：由表格可知：一元二次方程和关联方程的系数特征是：二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，
一元二次方程和关联方程的根的关系特征是：对应根互为相反数；
（2）解：方程和是关联方程，理由如下：
方程和的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征，故它们是关联方程；
方程的根是：，，
方程的根是：，，
它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征；
（3）证明：一元二次方程（，）的根是：，
它的关联方程的根是：，
它们的两个根对应互为相反数．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相反数的意义与性质
【解析】【分析】(1)通过观察表格信息即可发现并得出一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征；
(2)根据一元二次方程和关联方程的系数特征进行判断即可；利用公式法求解两个方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可；
(3)利用公式法解一元二次方程及其关联方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可.
22．【答案】（1）解：∵，，在抛物线上，抛物线的对称轴为．
∴点A与点B关于抛物线的对称轴为对称．
∴．
即；
（2）解：由题意，作图，
∴；
（3）由题意，由抛物线的对称轴为，得，
∴．
∴．
∵，在抛物线上，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点与是对称点，
∴．
∴．
∴．
综上可得，，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的对称变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)由题意，根据m=n得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解；
(2)依据抛物线的对称性，把三点A、C、B的对称点放在对称轴的同侧，再利用函数的增减性即可得解；
(3)由题意得，将A、B两点代入解析式，进而结合c23．【答案】（1）解：依题意，设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为y=a（x-1）2+0.4，代入（0，0）得，
0=a+0.4，
解得：a=-0.4，
∴嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为y=-0.4（x-1）2+0.4；
（2）解：①∵第一个蛙跳在点处落地，
∴当时，，
解得：，
∴，
∵第二个蛙跳路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同．
∵在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
∴第二个蛙跳路线为抛物线为；
②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由如下，
当时，，
∵，
∴嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆；
（3）解：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：(3)∵第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，∴的顶点的纵坐标为，
当时，联立，
解得：或（舍去），
∴，
∵抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等，
∴的解析式为，
代入得，，
解得：（舍去）或，
当时，联立，
解得：或（舍去），
∴，
∵抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等，
∴的解析式为，
代入得，，
解得：（舍去）或，
综上所述，当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，．
故答案为：.
【分析】(1)依题意设小李第一个蛙跳的路线抛物线L的函数解析式为y=a(x-1)2+0.4，代入(0，0)，待定系数法求解析式，即可求解；
(2)①先求得A(2，0)，根据在距离第一次蛙跳的起跳点2.6m时，到达最高点得出第二个蛙跳路线为抛物线为y=-0.4(x-2.6)2+k代入A(2，0)，即可求解；
②将x=3代入第二个蛙跳路线为抛物线，进而与0.12比较，即可求解；
(3)分别求得，时，点P的坐标，进而将P的坐标代入L2的解析式为y=-0.4(x-h)2+0.4，求得h的值，结合图象，即可求解.
24．【答案】（1）解：抛物线与y轴交点的纵坐标为，
即当时，，代入，
，
把点代入，
解得： ，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
抛物线对称轴为直线，
点，点A与点P关于该抛物线的对称轴对称，
，
，
；
（3）解：抛物线对称轴为直线，且开口向上，
时，函数值y先随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，
当时，，
由对称性可知当时，，
当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，
；
（4）解：或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(4)抛物线的最低点坐标为，
过点A作垂直于y轴的直线l，则直线l表达式为，
抛物线的最低点到直线l的距离是，
点P到直线l的距离，
抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，
，即，
是该抛物线上一动点，其横坐标为m，
，
或，
解得：或，
函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，
，
或．
故答案为：或.
【分析】(1)用待定系数法求表达式即可；
(2)根据对称性先求P(3，2)，进而求面积；
(3)根据二次函数的增减性确定范围即可；
(4)先求抛物线的最低点到直线 的距离和点P到直线的距离，进而得到方程，解方程即可解决.
1 / 1四川省绵阳市平武县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
1．（2025九上·平武期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
故选：D.
【分析】根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．（2025九上·平武期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　）
A．， B．，
C．， D．以上答案都不对
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程，
∴m-2≠0，|m|=2
∴m=-2
∴方程为：-4x2-2x+1=0，
b2-4ac=(-2)2-4×(-4)×1=20
∴
∴，
故选：D.
【分析】根据一元二次方程的定义求出m，求出方程的b2-4ac，代入进行计算即可得到答案.
3．（2025九上·平武期中）用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2-4x-6=0，
移项得2x2-4x=6，
配方得2(x2-2x+1-1)=6，
2(x-1)2-2=6，
2(x-1)2=6+2
2(x-1)2=8.
故选：B.
【分析】先将常数项移到等号右边，再提取二次项系数，然后在括号内进行配方，最后整理得到配方后的方程.
4．（2025九上·平武期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于原点对称
∴a=-3，b=-2，
则a+b的值为：-3-2=-5.
故选：C.
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a.b的值，进而得出答案.
5．（2025九上·平武期中）当关于的二次函数的最大值为时，的值为(　　)
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(a-1)x2+a2+4a的最大值为5
∴a2+4a=5，
∴a2+4a-5=0.
解得a=-5，a=1
∵a-1≠0，
∴a=-5
故选：B.
【分析】根据顶点式二次函数解析式可得a2+4a=5，再求解即可.
6．（2025九上·平武期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由抛物线解析式可知二次函数开口向上，对称轴为y轴，距离y轴越远函数值越大
∴y3>y2>y1，
故选：A.
【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据距离大小比较函数值的大小.
7．（2025九上·平武期中）如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△ADE，
∴AB=AD，∠B=∠ADE，∠BAD=α，
∴∠ADB=∠B=∠ADE，
∵DE⊥AC，∠CAD =25°，
∴∠ADE=90°-25°=65°
∴∠ADB=∠B=65°，
∴α=∠BAD=180°-65°-65°=50°
故选 B.
【分析】根据旋转的性质，得到AB=AD，∠B=∠ADE，进而得到∠ADB=∠B=∠ADE，三角形内和定理，求出∠ADE，再利用三角形内角和求出∠BAD即可.
8．（2025九上·平武期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论：①，②，③，④中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：对称轴为x=1，即，即2a+b=0，因此①正确；
当x=-1时，y=a-b+c<0，即a+c由抛物线的顶点的位置可知，，而a<0，所以4ac-b2<4a，即4ac-4a因为a-b+c<0，2a+b=0，所以3a+c<0，因此④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：C.
【分析】根据二次函数的图象和性质，即抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标以及最大值(最小值)逐项进行判断即可.
9．（2025九上·平武期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：当a取0时，此方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B：方程可化简为x2-x-7=0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C：因为有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D：方程可化简为5x+1=0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B.
【分析】根据一元二次方程的定义(含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)，对选项逐个判断，含未知数的要分类讨论，整理化解后再进行判断.
10．（2025九上·平武期中）如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，草坪的面积为(62-x)(42-x)m2
故所列方程为(62-x)(42-x)=2400
故选：A.
【分析】可借助平移性质得到长为(62-x)m、宽为(42-x)m的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可.
11．（2025九上·平武期中）如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上的任意一点，过点作轴交抛物线于点，若，则点到轴的距离为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵AB//x轴，y=-(x-h)2+5
∴A、B关于对称轴直线x=h对称
∴yA=yB，
∵AB=4.
∴xA=h-2，
∴yA=-(h-2-h)2+5
=-4+5
=1.
∴yB=yA=1
∴B到x轴的距离为1.
故选：A.
【分析】根据抛物线的对称轴以及AB的长度，求出点B的横坐标，再代入抛物线解析式求出纵坐标，进而得到点B到x轴的距离.
12．（2025九上·平武期中）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得
2(x+y)=40
∴x+y=20
∴y=20-x，
即y与x是一次函数关系
∵S=xy
=x(20-x)
=-x2+20x，
∴矩形面积满足的函数关系为S=-x2+20x，即满足二次函数关系，
故选：A.
【分析】矩形的周长为2(x+y)=10，可用x来表示y，代入S=xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式.
13．（2025九上·平武期中）一元二次方程的解是　 　．
【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
方程的两边都乘了，得(x+3)2=3
∴
∴
∴，.
故答案为：，.
【分析】方程的两边先都乘以3，把(x+3)看成一个整体，利用直接开平方法求解即可.
14．（2025九上·平武期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2(x-3)2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y=2(x-3+2)2+1-3，即y=2(x-1)2-2.
故答案为：y=2(x-1)2-2.
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
15．（2025九上·平武期中）如果关于x的一元二次方程有解，那么系数a，b的符号关系是　 　．
【答案】ab≤0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+b=0有解
∴Δ=02-4ab≥0.
∴ab≤0.
故答案为：ab≤0.
【分析】利用根的判别式求得即可.
16．（2025九上·平武期中）在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为　 　．
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令y=0，则，
解得x=8或x=-2(舍去)
∴实心球从起点到落地点的水平距离为8m，
故答案为：8.
【分析】把y=0代入，即可求出x的值即可得到结果.
17．（2025九上·平武期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△，若∠AOB=10°，则∠AOB'的度数　 　.
【答案】35°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'
∴∠A'OA=45°，∠AOB=∠A'OB'=10°
∴∠AOB'=∠A'OA-∠A'OB'=45°-10°=35°
故答案为：35°.
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可.
18．（2025九上·平武期中）已知点，点B在直线上运动，把点A绕点B逆时针旋转，点A的对应点为点C，我们发现点C随点B变化而变化．若点C在运动变化过程中始终在抛物线的上方，设点B的横坐标为m，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设直线y=2交y轴于点E，过点C作CF垂直于直线y=2于点F，
则△AEB≌△BFC(AAS)，
则点C(m-1，2-m)，
即点C在直线y=-x+1上运动，而点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方，
当2x2=-x+1时，即x=-1或时，
即
故答案为：.
【分析】证明△AEB≌△BFC(AAS)，则则点C(m-1，2-m)，即点C在直线y=-x+1上运动，而点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方，当2x2=-x+1时，即x=-1或时，，即可求解.
19．（2025九上·平武期中）下面是李华用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程：：
解：原方程可以化简为第一步
两边同时除以得第二步
系数化为，得第三步
任务：
（1）李华的解法是不正确的，他从第　 　步开始出现了错误．
（2）请完成这个方程的正确解题过程．
【答案】（1）二
（2）解：，
，
，
或，
所以，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)他从第二步开始出现了错误，
故答案为：二.
【分析】(1)第二步不符合等式的性质；
(2)先移项得到3x(3x-1)+(3x-1)=0，再利用因式分解法把方程转化为3x-1=0或3x-1=0，然后解两个一次方程.
20．（2025九上·平武期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上．
（1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
（3）写出经过怎样的旋转可直接得到．
【答案】（1）解：如图，即为所求；点的坐标；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求；点B2的坐标（-3，-3）；
（3）解：△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】(1)根据对称的性质即可画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)根据旋转的性质即可画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
(3)根据旋转的性质即可写出△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°后可得到△A2B2C2.
21．（2025九上·平武期中）阅读与思考
观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题：
方程及其根 方程及其根
方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根
， ，
， ，
（1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征．
（2）方程和是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征．
（3）请以一元二次方程（，）为例证明关联方程根的关系特征．
【答案】（1）解：由表格可知：一元二次方程和关联方程的系数特征是：二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，
一元二次方程和关联方程的根的关系特征是：对应根互为相反数；
（2）解：方程和是关联方程，理由如下：
方程和的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征，故它们是关联方程；
方程的根是：，，
方程的根是：，，
它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征；
（3）证明：一元二次方程（，）的根是：，
它的关联方程的根是：，
它们的两个根对应互为相反数．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相反数的意义与性质
【解析】【分析】(1)通过观察表格信息即可发现并得出一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征；
(2)根据一元二次方程和关联方程的系数特征进行判断即可；利用公式法求解两个方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可；
(3)利用公式法解一元二次方程及其关联方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可.
22．（2025九上·平武期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）若，求t；
（2）若，写出m，n，c的大小关系；
（3）设点，（）在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，在抛物线上，抛物线的对称轴为．
∴点A与点B关于抛物线的对称轴为对称．
∴．
即；
（2）解：由题意，作图，
∴；
（3）由题意，由抛物线的对称轴为，得，
∴．
∴．
∵，在抛物线上，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点与是对称点，
∴．
∴．
∴．
综上可得，，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的对称变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)由题意，根据m=n得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解；
(2)依据抛物线的对称性，把三点A、C、B的对称点放在对称轴的同侧，再利用函数的增减性即可得解；
(3)由题意得，将A、B两点代入解析式，进而结合c23．（2025九上·平武期中）体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的在作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为，第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，在点处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物钱，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同．
（1）求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式；
（2）若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点．
①求k的值；
②在距离原点处，水平放置一个距离地面高度为的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由；
（3）如图2为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线出进行训练，为斜坡与的交点，在点处设置可调节支撑杆；且轴．当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：依题意，设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为y=a（x-1）2+0.4，代入（0，0）得，
0=a+0.4，
解得：a=-0.4，
∴嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为y=-0.4（x-1）2+0.4；
（2）解：①∵第一个蛙跳在点处落地，
∴当时，，
解得：，
∴，
∵第二个蛙跳路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同．
∵在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
∴第二个蛙跳路线为抛物线为；
②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由如下，
当时，，
∵，
∴嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆；
（3）解：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：(3)∵第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，∴的顶点的纵坐标为，
当时，联立，
解得：或（舍去），
∴，
∵抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等，
∴的解析式为，
代入得，，
解得：（舍去）或，
当时，联立，
解得：或（舍去），
∴，
∵抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等，
∴的解析式为，
代入得，，
解得：（舍去）或，
综上所述，当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，．
故答案为：.
【分析】(1)依题意设小李第一个蛙跳的路线抛物线L的函数解析式为y=a(x-1)2+0.4，代入(0，0)，待定系数法求解析式，即可求解；
(2)①先求得A(2，0)，根据在距离第一次蛙跳的起跳点2.6m时，到达最高点得出第二个蛙跳路线为抛物线为y=-0.4(x-2.6)2+k代入A(2，0)，即可求解；
②将x=3代入第二个蛙跳路线为抛物线，进而与0.12比较，即可求解；
(3)分别求得，时，点P的坐标，进而将P的坐标代入L2的解析式为y=-0.4(x-h)2+0.4，求得h的值，结合图象，即可求解.
24．（2025九上·平武期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上．该抛物线与y轴交点的纵坐标为，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求的面积；
（3）当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围；
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（含点A和点P）的图象为G，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线l，当该抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，直接写出m的值．
【答案】（1）解：抛物线与y轴交点的纵坐标为，
即当时，，代入，
，
把点代入，
解得： ，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
抛物线对称轴为直线，
点，点A与点P关于该抛物线的对称轴对称，
，
，
；
（3）解：抛物线对称轴为直线，且开口向上，
时，函数值y先随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，
当时，，
由对称性可知当时，，
当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，
；
（4）解：或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(4)抛物线的最低点坐标为，
过点A作垂直于y轴的直线l，则直线l表达式为，
抛物线的最低点到直线l的距离是，
点P到直线l的距离，
抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，
，即，
是该抛物线上一动点，其横坐标为m，
，
或，
解得：或，
函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，
，
或．
故答案为：或.
【分析】(1)用待定系数法求表达式即可；
(2)根据对称性先求P(3，2)，进而求面积；
(3)根据二次函数的增减性确定范围即可；
(4)先求抛物线的最低点到直线 的距离和点P到直线的距离，进而得到方程，解方程即可解决.
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