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浙江省台州市玉环市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题（11月）
1．（2025九上·玉环期中） “垃圾分一分，环境美十分”，下列四种垃圾回收标识为中心对称图形的是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．（2025九上·玉环期中）已知方程. 的一个根为x=3，则c的值为 (　　).
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=3代入x2-4x+c=0，得32-4×3+c=0
解得c=3.
故答案为：C.
【分析】把x的值代入方程，列出关于c的新方程，通过解新方程可以求得c的值.
3．（2025九上·玉环期中）已知⊙O的半径为3，有一点P与⊙O在同一平面内.若OP=4，则点 P 与⊙O的位置关系是(　　) .
A．点P 在⊙O外 B．点P 在⊙O上
C．点 P 在⊙O内 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：☉O的半径为3，OP=4，
∵4>3
∴点P在☉O圆外
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系，进行判断即可.
4．（2025九上·玉环期中）抛物线 的顶点坐标是(　　).
A．(0， 1) B．(0， - 1) C．(1， 0) D．(-1， 0)
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由y=x2+1得顶点坐标是(0，1)，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标.
5．（2025九上·玉环期中）正n边形的一个外角为40°，则n的值为(　　).
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：360°÷40°=9，
故答案为：D.
【分析】根据多边形外角和的性质即可求解.
6．（2025九上·玉环期中）某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，单价由每盒64元下调至36元，求平均每次下调的百分率.设平均每次下调的百分率为x，根据题意列方程得 (　　).
A．64(1-x)2=36 B． C．64(1-2x)=36 D．36(1+2x)=64
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得64(1-x)2=36.
故答案为：A.
【分析】利用该种药品经过两次下调后的价格=该种药品的原价×(1-平均每次下调的百分率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
7．（2025九上·玉环期中） 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， 以AC边上一点O为圆心，OC为半径作⊙O，与AB相切于点D，与AC交于点E，连结DE， 若∠ADE=25°， 则∠B 的度数为 (　　) .
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB与☉O相切于D，
∴半径OD⊥AB
∴∠ADO=90°
∴∠ADE=25°
∴∠ODE=90°-25°=65°
∵OD=OE
∴∠OED=∠ODE=65°
∴∠AOD=180°-65°-65°=50°
∵∠ACB=∠ADO=90°，∠OAD=∠BAC
∴∠B=∠AOD=50°
故答案为：B.
【分析】连接OD，由切线的性质推出∠ADO=90°，求出∠ODE=90°-25°=65°，由等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE=65°，求出∠AOD=180°-65°-65°=50°，由三角形内角和定理得到进而即可求解.
8．（2025九上·玉环期中）把一张四边形纸片分别进行如下操作，下列操作结果能判定它是正方形的是 (　　).
A．沿一条对角线所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合
B．沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合
C．绕对角线交点旋转90°，能与自身重合
D．绕对角线交点旋转180°，能与自身重合
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.沿一条对角线所在直线翻折，两旁的部分能互相重合，可能是菱形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
B.沿一条边的垂直平分线翻折，两旁的部分能互相重，可能是矩形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
C.绕对角线交点旋转90°，能与自身重合，是正方形，故该选项正确，符合题意；
D.绕对角线交点旋转180°，能与自身重合，是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解.
9．（2025九上·玉环期中）一元二次方程 有两个不相等的实数根m，n，抛物线. 上有两点A (x1， y1) ， B (x2， y2) . 下列条件中， 一定能判断 的是(　　) .
A．x1=m+2， x2=n+2 B．x1=m-2， x2=n-2
C．x1=m+2， x2=n-2 D．x1=2m，x2=2n
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根m，n，
∴
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线
∴点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，当时，y1=y2，
∴选项C符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称性判断即可.
10．（2025九上·玉环期中）如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 对角线BD 恰好是⊙O的直径， AC=AD. 若AB=1，BC=2， 则BD的长为 (　　) .
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AE⊥CD于E，
∵AC=AD
∴CE=DE.
∴AE垂直平分CD.
∴AE过圆心，
∵OB=OD，CE=DE
∴，
∵BD是☉O的直径，
∴∠BAD =90°
∵AE⊥CD
∴∠CEA=90°
∴∠BAD=∠CEA
∵∠ABD=∠ACD
∴△ABD~△ECA.
∴
∴AD2=BD·AE，
设圆的半径为r，则OA=OB=OD=r，
∴BD=2r，AE=OA+OE=r+1，
∴AD2=2r(r+1)=2r2+2r，
在Rt△BAD中，BD2=AB2+AD2，
∴(2r)2=12+2r2+2r，
整理得4r2-4r-2=0，即BD2-2BD-2=0
∴
故答案为：D.
【分析】作AE⊥CD于E，由等腰三角形三线合一的性质以及垂径定理证得AE过圆心，利用三角形中位线定理求得，然后通过证得△ABD~△ECA得到AD2=BD·AE，设圆的半径为r，则BD=2r，AE=OA+OE=r+1，则AD2=2r(r+1)=2r2+2r，根据直径所对的圆周角为直角可得出△ABD是直角三角形，由勾股定理可得出(2r)2=12+2r2+2r，解方程求得2r即可求得BD的长.
11．（2025九上·玉环期中）在平面直角坐标系中，点P (一4，2)关于原点对称的点的坐标为　 　.
【答案】(4，-2)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A(-4，2)关于原点对称的点的坐标是：(4，-2)，
故答案为：(4，-2).
【分析】根据原点对称点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，即可得出答案.
12．（2025九上·玉环期中） 已知点 (一2， y1) ， (3， y2) 在抛物线. 上， 则有y1　 　y2.
【答案】>
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点(-2，y1)，(3，y2)在抛物线y=-3x2+k上，
∴当x=-2时y1=-3×(-2)2+k=-12+k
当x=3时，y2=-3×32+k=-27+k
∵y1-y2 =15
∴y1>y2.
故答案为：>.
【分析】由二次函数的解析式，分别把x=-2和x=3代入计算求出y1，y2的值，再进行比较即可.
13．（2025九上·玉环期中） 将长为6cm的线段AB 绕端点A.旋转90°， 则线段 AB 扫过的面积为　 　cm2. (结果保留π)
【答案】6π
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，线段AB扫过的部分是半径为6cm，圆心角为60°的扇形，
∴面积为(cm2)
故答案为：6π.
【分析】根据旋转的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可.
14．（2025九上·玉环期中）在欧几里得的《原本》中，记载了形如. 的一元二次方程的图解法。如图，以0.5a和b为直角边作 Rt△ABC，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，与斜边AB 所在的直线交于点 D，E.已知该方程的正根等于线段AD 的长，而它的负根的绝对值也等于图中某条线段的长，则该线段是　 　.
【答案】AE
【知识点】勾股定理；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+ax=b2(a>0，b>0)
∴x2+ax-b2=0
解得：，
∵方程的正根等于线段AD的长
∴
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
由题意可知，
∴
∴该方程的负根的绝对值等于图中线段AB的长
故答案为：AE.
【分析】解方程x2+ax=b2(a>0，b>0)，得，，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题.
15．（2025九上·玉环期中）我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边形逼近圆，从而估算π范围.如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为6r，4 r，可得 即3<π 若利用两个正六边形的面积，则可得π的范围为　 　 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；正多边形的性质；圆的面积；“割圆术”
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
则△AOB是正三角形
∴AB=OA=r
∴
∴
在Rt△POD中，OD=r，∠OPD=60°，
∴
∴
∴，
∴
∵圆的面积为πr2
∴
即
故答案为：.
【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系求出△AOB、△POQ的底和高，进而求出正六边形ABCDEF，正六边形MNPQRS的面积，有两个正六边形的面积与圆面积的大小关系得出答案.
16．（2025九上·玉环期中）小明用“试根法”探索关于x的一元二次方程的解.当x的值分别取0，1，2，3时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为　 　.
x的值 … 0 1 2 3 　
等号左边的值 … 0 2 5 9 　
等号右边的值 　 1 3 5 7 　
【答案】x=2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格可得：该方程的解为x=2，
故答案为：x=2.
【分析】根据方程的解的定义，即可解答.
17．（2025九上·玉环期中）解一元二次方程：
【答案】解：(x-4)(x-1)=0
x-4=0或x-1=0
x1=4，x2=1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
18．（2025九上·玉环期中）如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度.小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①(30-x)(24-x)=520， 得到x1=4， x2=50； ②(30+2x)(24+2x)=520，得到x1=-2， x2=-25.
（1）请分别判断小明所列的两个方程是否正确
（2）请推测小路的宽度(要求写出推理过程).
【答案】（1）解：设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为(30-2x)米，宽为(24-2x)米
由题意得：(30-2x)(24-2x)=520
∴小明所列的两个方程都不正确
（2）解：设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为(30-2y)米，宽为(24-2y)米，
由题意得：(30-2y)(24-2y)=520
整理得：y2-27y+50=0
解得：y1=2，y2=25(不合题意，舍去)，
答：小路的宽度为2米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为(30-2x)米，宽为(24-2x)米，即可解决问题；
(2)设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为(30-2y)米，宽为(24-2y)米，根据剩余绿地面积为520平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.
19．（2025九上·玉环期中） 如图的平面直角坐标系中， △ABC的顶点分别是A (1， 0) ， B (5， 1) ， C (4， 4) .
（1） 画出△ABC绕点P(0， 1) 逆时针旋转90°所得的△A1B1C1， 写出点 C1的坐标.
（2）在(1)的旋转过程中，求点B 的运动路径长.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）解：点B的运动路径长为
【知识点】弧长的计算；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可；
(2)利用弧长公式计算即可.
20．（2025九上·玉环期中）某体育用品商店销售某款足球，若将销售价格定为x元/个，则销售利润为(x-50)元/个，年销售量为(600-5x)个.
（1）当x=70时，该商店销售该款足球的年利润为多少元
（2）为获得与(1)一样的年利润，能否将销售单价定为另外一个数量 若能，请求出该数量；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：(70-50)×(600-5×70)
=20×250
=5000(元)
即当x=70时，该商店销售该款足球的年利润为5000元
（2）解：(x-50)(600-5x)=5000.
整理得：x2-170x+7000=0.
因式分解得：(x-70)(x-100)=0
解得：x1=70，x2=100
∵x-50=100-50=50>0，600-5x=600-500=100>0.
∴可以将销售单价定为另外一个数量，即100元/个
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据题意列式计算即可；
(2)根据题意列得关于x的一元二次方程，解方程并判断即可.
21．（2025九上·玉环期中）小明在求抛物线 的顶点坐标过程中，初步感受到当自变量x取顶点横坐标的值时，二次项ax2与一次项 bx的值可能存在特殊关系，于是开展了如下探究活动.
（1）绘制表格，呈现特殊结果(请帮小明完成表格)
解析式 顶点横坐标x
-2 4 -8
2 -4 8
　 　 　
（2）猜想：当x取顶点横坐标的值时，m，n的值有何关系
（3）请证明你的猜想.
【答案】（1），，
（2）解：由表格可知，
当x取顶点横坐标的值时，m，n的值的关系为n=-2m
（3）解：令一元二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，
则顶点的横坐标为
∴，
∵
∴n=-2m.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(1)因为二次函数解析式为y=-2x2+x，
∴顶点的横坐标为，则，
故答案为：，，.
【分析】(1)根据所给函数解析式，完成表格的填写即可；
(2)根据所填表格，猜想m，n值得关系即可；
(3)完成(2)中猜想的证明即可.
22．（2025九上·玉环期中） 如图， AB为⊙O直径， 以AB为腰作等腰△ABC， 底边BC交⊙O于点D， 连结AD.
（1） 如图1， 若BD=AD， 求证： AC是⊙O的切线.
（2） 如图2， CA 的延长线交⊙O于点E， DE+AD=8， AB=6， 求△ABC的面积.
【答案】（1）证明：∵以AB为腰作等腰△ABC，底边BC交☉O于点D，
∴AB=AC
∵AB为☉O的直径
∴∠ADB=90°
∵BD=AD
∴∠B=∠DAB=45°
∴∠C=∠B=45°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°
∵OA是☉O的半径，且AC⊥OA
∴AC是☉O的切线
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC
∴，
∵∠B=∠C，∠B=∠E，
∴∠C=∠E
∴DE=DC
∴DB=DE
∵DE+AD=8，AB=6，∠ADB=90°
∴DB+AD=DE+AD=8，DB2+AD2=AB2=62=36
∴(DB+AD)2=82
∴DB2+AD2+2DB·AD=64.
∴，
∴
∴△ABC的面积为14.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】(1)因为以AB为腰作等腰△ABC，底边为BC，所以AB=AC，由AB为☉O的直径，得∠ADB=90°，而BD=AD，由∠C=∠B=∠DAB=45°，求得∠BAC=90°，即可证明AC是☉O的切线；(2)AB=AC，AD⊥BC，得，由∠B=∠C，∠B=∠E，推导出∠C=∠E，则DE=DC，所以DB=DE，由DE+AD=8，AB=6，得DB+AD=DE+AD=8，DB2+AD2=AB2=36，由(DB+AD)2=82，得DB2+AD2+2DB·AD=64，进而即可求解.
23．（2025九上·玉环期中）某种弹性小球从地面某处竖直向上弹起，到达最高点后落回原处，再弹起、落回…小球离地的高度h(单位：m)是运动时间t(单位：s)的函数.若0≤t≤2，h是t的二次函数，部分对应数据如下表；若t>2，t取任意值时的小球高度一定是(t—2)s时的
t/s 0 0.5 1 1.5 2
h/m 0 1.5 2 1.5 0
（1） 若0≤t≤2， 求h关于 t的函数解析式.
（2） 若2①当h=1.2m时， 求t的值.
②判断2（3）直接写出：小球第几次弹起后的最大高度最接近1m
【答案】（1）解：当0≤t≤2时，由表格数据可知，二次函数图象的对称轴为直线
∴二次函数的顶点坐标为(1，2)，
∴二次函数的解析式为h=a(t-1)2+2
把(0，0)代入函数解析式得：a+2=0
解得a=-2.
∴二次函数的解析式为h=-2(t-1)2+2=-2t2+4t(0≤t≤2)
（2）解：①∵t>2，t取任意值时的小球高度一定是(t-2)s时的
∴2当h=1.2时，
整理得：4t2-24t+35=0
解得t1=3.5，t2=2.5.
∴当h=1.2m时，t的值为2.5或3.5.
②由①可知，
∴h关于t的函数是二次函数
（3）解：第四次
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(3)第一次弹起时(0≤t≤2)，h=-2(t-1)2+2，最大高度为2m；
第二次弹起时(2第三次弹起时(4第四次弹起时(6∴小球第四次弹起后的最大高度最接近1m，
故答案为：第四次.
【分析】(1)由表格数据，用待定系数法求出函数解析式；
(2)①根据t>2，t取任意值时的小球高度一定是(t-2)s时的，求出函数解析式；
②根据①的解析式判断即可；
(3)求出第一次，第二次，第三次，第四次最高高度即可判断.
24．（2025九上·玉环期中） 如图， ⊙O的直径AB=6， 点P在AB上， 点P 与直径MN构成△PMN.
（1）如图1，当点 P 与A 重合时，求.
（2）如图2， PA=1.
①当PM⊥AB时， 分别求PM， PN的长.
②在点M，N的运动过程中， 是否定值 若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
③当△PMN的周长为13时， 求|PM-PN|.
【答案】（1）解：∵☉O的直径AB=6，MN为☉O的直径，
∴MN=6.
∵当点P与A重合时
∴∠MPN =90°
∴PM2+PN2=MN2=62=36
（2）解：①当PM⊥AB时，过点N作NQ⊥AB于点Q，如图，
∵PA=1，OA=OB=OM=ON=3，
∴OP=2，
∴PM2=OM2-OP2=32-22=5
∴
在△MPO和△NQO中
∴△MPO≌△NQO(AAS)
∴OP=OQ=2，PM=QN
∴PQ=4，QN2=PM2=5，
∴PN2=PQ2+QN2=16+5=21，
∴
②在点M，N的运动过程中，PM2+PN2是定值，该定值为26.
理由：
过点P作PH⊥MN于点H，如图，
由题意得：OM-ON=3，OP=2，
设OH=x，则MH=3-x，NH=3+x，PH2=OP2-OH2=22-x2=4- x2
∴PM2+PN2=PH2+MH2+PH2+NH2
=4-x2+(3-x)2+(3+x)2+4-x2
=8-2x2+x2-6x+9+x2+6x+9
=8+9+9
=26.
∴在点M，N的运动过程中，PM2-PN2是定值，该定值为26.
③当△PMN的周长为13时，
∵MN =6
∴PM+PN=7
∴(PM+PN)2=49
∴PM2+2PM·PN+PN2=49，
由②知：PM2+PN2是定值，该定值为26，
∴2PM·PN=23.
∵(PM-PN)2=PM2-2PM·PN+PN2
=26-23 -3，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理和勾股定理解答即可；
(2)①过点N作NQ⊥AB于点Q，利用勾股定理即可求得PM，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求得PN；
②过点P作PH⊥MN于点H，设OH=x，则MH=3-x，NH=3+x，PH2=OP2-OH2=22-x2=4-x2，再利用勾股定理和完全平方公式解答即可；
③利用三角形的周长的意义求得PM+PN=7，利用完全平方公式求得2PM·PN=23，再利用完全平方公式解答即可得出结论.
1 / 1浙江省台州市玉环市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题（11月）
1．（2025九上·玉环期中） “垃圾分一分，环境美十分”，下列四种垃圾回收标识为中心对称图形的是(　　).
A． B．
C． D．
2．（2025九上·玉环期中）已知方程. 的一个根为x=3，则c的值为 (　　).
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025九上·玉环期中）已知⊙O的半径为3，有一点P与⊙O在同一平面内.若OP=4，则点 P 与⊙O的位置关系是(　　) .
A．点P 在⊙O外 B．点P 在⊙O上
C．点 P 在⊙O内 D．无法确定
4．（2025九上·玉环期中）抛物线 的顶点坐标是(　　).
A．(0， 1) B．(0， - 1) C．(1， 0) D．(-1， 0)
5．（2025九上·玉环期中）正n边形的一个外角为40°，则n的值为(　　).
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2025九上·玉环期中）某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，单价由每盒64元下调至36元，求平均每次下调的百分率.设平均每次下调的百分率为x，根据题意列方程得 (　　).
A．64(1-x)2=36 B． C．64(1-2x)=36 D．36(1+2x)=64
7．（2025九上·玉环期中） 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， 以AC边上一点O为圆心，OC为半径作⊙O，与AB相切于点D，与AC交于点E，连结DE， 若∠ADE=25°， 则∠B 的度数为 (　　) .
A．45° B．50° C．55° D．60°
8．（2025九上·玉环期中）把一张四边形纸片分别进行如下操作，下列操作结果能判定它是正方形的是 (　　).
A．沿一条对角线所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合
B．沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合
C．绕对角线交点旋转90°，能与自身重合
D．绕对角线交点旋转180°，能与自身重合
9．（2025九上·玉环期中）一元二次方程 有两个不相等的实数根m，n，抛物线. 上有两点A (x1， y1) ， B (x2， y2) . 下列条件中， 一定能判断 的是(　　) .
A．x1=m+2， x2=n+2 B．x1=m-2， x2=n-2
C．x1=m+2， x2=n-2 D．x1=2m，x2=2n
10．（2025九上·玉环期中）如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 对角线BD 恰好是⊙O的直径， AC=AD. 若AB=1，BC=2， 则BD的长为 (　　) .
A．2 B．3 C． D．
11．（2025九上·玉环期中）在平面直角坐标系中，点P (一4，2)关于原点对称的点的坐标为　 　.
12．（2025九上·玉环期中） 已知点 (一2， y1) ， (3， y2) 在抛物线. 上， 则有y1　 　y2.
13．（2025九上·玉环期中） 将长为6cm的线段AB 绕端点A.旋转90°， 则线段 AB 扫过的面积为　 　cm2. (结果保留π)
14．（2025九上·玉环期中）在欧几里得的《原本》中，记载了形如. 的一元二次方程的图解法。如图，以0.5a和b为直角边作 Rt△ABC，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，与斜边AB 所在的直线交于点 D，E.已知该方程的正根等于线段AD 的长，而它的负根的绝对值也等于图中某条线段的长，则该线段是　 　.
15．（2025九上·玉环期中）我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边形逼近圆，从而估算π范围.如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为6r，4 r，可得 即3<π 若利用两个正六边形的面积，则可得π的范围为　 　 .
16．（2025九上·玉环期中）小明用“试根法”探索关于x的一元二次方程的解.当x的值分别取0，1，2，3时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为　 　.
x的值 … 0 1 2 3 　
等号左边的值 … 0 2 5 9 　
等号右边的值 　 1 3 5 7 　
17．（2025九上·玉环期中）解一元二次方程：
18．（2025九上·玉环期中）如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度.小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①(30-x)(24-x)=520， 得到x1=4， x2=50； ②(30+2x)(24+2x)=520，得到x1=-2， x2=-25.
（1）请分别判断小明所列的两个方程是否正确
（2）请推测小路的宽度(要求写出推理过程).
19．（2025九上·玉环期中） 如图的平面直角坐标系中， △ABC的顶点分别是A (1， 0) ， B (5， 1) ， C (4， 4) .
（1） 画出△ABC绕点P(0， 1) 逆时针旋转90°所得的△A1B1C1， 写出点 C1的坐标.
（2）在(1)的旋转过程中，求点B 的运动路径长.
20．（2025九上·玉环期中）某体育用品商店销售某款足球，若将销售价格定为x元/个，则销售利润为(x-50)元/个，年销售量为(600-5x)个.
（1）当x=70时，该商店销售该款足球的年利润为多少元
（2）为获得与(1)一样的年利润，能否将销售单价定为另外一个数量 若能，请求出该数量；若不能，请说明理由.
21．（2025九上·玉环期中）小明在求抛物线 的顶点坐标过程中，初步感受到当自变量x取顶点横坐标的值时，二次项ax2与一次项 bx的值可能存在特殊关系，于是开展了如下探究活动.
（1）绘制表格，呈现特殊结果(请帮小明完成表格)
解析式 顶点横坐标x
-2 4 -8
2 -4 8
　 　 　
（2）猜想：当x取顶点横坐标的值时，m，n的值有何关系
（3）请证明你的猜想.
22．（2025九上·玉环期中） 如图， AB为⊙O直径， 以AB为腰作等腰△ABC， 底边BC交⊙O于点D， 连结AD.
（1） 如图1， 若BD=AD， 求证： AC是⊙O的切线.
（2） 如图2， CA 的延长线交⊙O于点E， DE+AD=8， AB=6， 求△ABC的面积.
23．（2025九上·玉环期中）某种弹性小球从地面某处竖直向上弹起，到达最高点后落回原处，再弹起、落回…小球离地的高度h(单位：m)是运动时间t(单位：s)的函数.若0≤t≤2，h是t的二次函数，部分对应数据如下表；若t>2，t取任意值时的小球高度一定是(t—2)s时的
t/s 0 0.5 1 1.5 2
h/m 0 1.5 2 1.5 0
（1） 若0≤t≤2， 求h关于 t的函数解析式.
（2） 若2①当h=1.2m时， 求t的值.
②判断2（3）直接写出：小球第几次弹起后的最大高度最接近1m
24．（2025九上·玉环期中） 如图， ⊙O的直径AB=6， 点P在AB上， 点P 与直径MN构成△PMN.
（1）如图1，当点 P 与A 重合时，求.
（2）如图2， PA=1.
①当PM⊥AB时， 分别求PM， PN的长.
②在点M，N的运动过程中， 是否定值 若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
③当△PMN的周长为13时， 求|PM-PN|.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=3代入x2-4x+c=0，得32-4×3+c=0
解得c=3.
故答案为：C.
【分析】把x的值代入方程，列出关于c的新方程，通过解新方程可以求得c的值.
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：☉O的半径为3，OP=4，
∵4>3
∴点P在☉O圆外
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系，进行判断即可.
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由y=x2+1得顶点坐标是(0，1)，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标.
5．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：360°÷40°=9，
故答案为：D.
【分析】根据多边形外角和的性质即可求解.
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得64(1-x)2=36.
故答案为：A.
【分析】利用该种药品经过两次下调后的价格=该种药品的原价×(1-平均每次下调的百分率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB与☉O相切于D，
∴半径OD⊥AB
∴∠ADO=90°
∴∠ADE=25°
∴∠ODE=90°-25°=65°
∵OD=OE
∴∠OED=∠ODE=65°
∴∠AOD=180°-65°-65°=50°
∵∠ACB=∠ADO=90°，∠OAD=∠BAC
∴∠B=∠AOD=50°
故答案为：B.
【分析】连接OD，由切线的性质推出∠ADO=90°，求出∠ODE=90°-25°=65°，由等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE=65°，求出∠AOD=180°-65°-65°=50°，由三角形内角和定理得到进而即可求解.
8．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.沿一条对角线所在直线翻折，两旁的部分能互相重合，可能是菱形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
B.沿一条边的垂直平分线翻折，两旁的部分能互相重，可能是矩形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
C.绕对角线交点旋转90°，能与自身重合，是正方形，故该选项正确，符合题意；
D.绕对角线交点旋转180°，能与自身重合，是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根m，n，
∴
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线
∴点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，当时，y1=y2，
∴选项C符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称性判断即可.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AE⊥CD于E，
∵AC=AD
∴CE=DE.
∴AE垂直平分CD.
∴AE过圆心，
∵OB=OD，CE=DE
∴，
∵BD是☉O的直径，
∴∠BAD =90°
∵AE⊥CD
∴∠CEA=90°
∴∠BAD=∠CEA
∵∠ABD=∠ACD
∴△ABD~△ECA.
∴
∴AD2=BD·AE，
设圆的半径为r，则OA=OB=OD=r，
∴BD=2r，AE=OA+OE=r+1，
∴AD2=2r(r+1)=2r2+2r，
在Rt△BAD中，BD2=AB2+AD2，
∴(2r)2=12+2r2+2r，
整理得4r2-4r-2=0，即BD2-2BD-2=0
∴
故答案为：D.
【分析】作AE⊥CD于E，由等腰三角形三线合一的性质以及垂径定理证得AE过圆心，利用三角形中位线定理求得，然后通过证得△ABD~△ECA得到AD2=BD·AE，设圆的半径为r，则BD=2r，AE=OA+OE=r+1，则AD2=2r(r+1)=2r2+2r，根据直径所对的圆周角为直角可得出△ABD是直角三角形，由勾股定理可得出(2r)2=12+2r2+2r，解方程求得2r即可求得BD的长.
11．【答案】(4，-2)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A(-4，2)关于原点对称的点的坐标是：(4，-2)，
故答案为：(4，-2).
【分析】根据原点对称点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，即可得出答案.
12．【答案】>
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点(-2，y1)，(3，y2)在抛物线y=-3x2+k上，
∴当x=-2时y1=-3×(-2)2+k=-12+k
当x=3时，y2=-3×32+k=-27+k
∵y1-y2 =15
∴y1>y2.
故答案为：>.
【分析】由二次函数的解析式，分别把x=-2和x=3代入计算求出y1，y2的值，再进行比较即可.
13．【答案】6π
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，线段AB扫过的部分是半径为6cm，圆心角为60°的扇形，
∴面积为(cm2)
故答案为：6π.
【分析】根据旋转的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可.
14．【答案】AE
【知识点】勾股定理；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+ax=b2(a>0，b>0)
∴x2+ax-b2=0
解得：，
∵方程的正根等于线段AD的长
∴
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
由题意可知，
∴
∴该方程的负根的绝对值等于图中线段AB的长
故答案为：AE.
【分析】解方程x2+ax=b2(a>0，b>0)，得，，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；正多边形的性质；圆的面积；“割圆术”
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
则△AOB是正三角形
∴AB=OA=r
∴
∴
在Rt△POD中，OD=r，∠OPD=60°，
∴
∴
∴，
∴
∵圆的面积为πr2
∴
即
故答案为：.
【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系求出△AOB、△POQ的底和高，进而求出正六边形ABCDEF，正六边形MNPQRS的面积，有两个正六边形的面积与圆面积的大小关系得出答案.
16．【答案】x=2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格可得：该方程的解为x=2，
故答案为：x=2.
【分析】根据方程的解的定义，即可解答.
17．【答案】解：(x-4)(x-1)=0
x-4=0或x-1=0
x1=4，x2=1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
18．【答案】（1）解：设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为(30-2x)米，宽为(24-2x)米
由题意得：(30-2x)(24-2x)=520
∴小明所列的两个方程都不正确
（2）解：设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为(30-2y)米，宽为(24-2y)米，
由题意得：(30-2y)(24-2y)=520
整理得：y2-27y+50=0
解得：y1=2，y2=25(不合题意，舍去)，
答：小路的宽度为2米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为(30-2x)米，宽为(24-2x)米，即可解决问题；
(2)设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为(30-2y)米，宽为(24-2y)米，根据剩余绿地面积为520平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.
19．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）解：点B的运动路径长为
【知识点】弧长的计算；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可；
(2)利用弧长公式计算即可.
20．【答案】（1）解：(70-50)×(600-5×70)
=20×250
=5000(元)
即当x=70时，该商店销售该款足球的年利润为5000元
（2）解：(x-50)(600-5x)=5000.
整理得：x2-170x+7000=0.
因式分解得：(x-70)(x-100)=0
解得：x1=70，x2=100
∵x-50=100-50=50>0，600-5x=600-500=100>0.
∴可以将销售单价定为另外一个数量，即100元/个
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据题意列式计算即可；
(2)根据题意列得关于x的一元二次方程，解方程并判断即可.
21．【答案】（1），，
（2）解：由表格可知，
当x取顶点横坐标的值时，m，n的值的关系为n=-2m
（3）解：令一元二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，
则顶点的横坐标为
∴，
∵
∴n=-2m.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(1)因为二次函数解析式为y=-2x2+x，
∴顶点的横坐标为，则，
故答案为：，，.
【分析】(1)根据所给函数解析式，完成表格的填写即可；
(2)根据所填表格，猜想m，n值得关系即可；
(3)完成(2)中猜想的证明即可.
22．【答案】（1）证明：∵以AB为腰作等腰△ABC，底边BC交☉O于点D，
∴AB=AC
∵AB为☉O的直径
∴∠ADB=90°
∵BD=AD
∴∠B=∠DAB=45°
∴∠C=∠B=45°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°
∵OA是☉O的半径，且AC⊥OA
∴AC是☉O的切线
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC
∴，
∵∠B=∠C，∠B=∠E，
∴∠C=∠E
∴DE=DC
∴DB=DE
∵DE+AD=8，AB=6，∠ADB=90°
∴DB+AD=DE+AD=8，DB2+AD2=AB2=62=36
∴(DB+AD)2=82
∴DB2+AD2+2DB·AD=64.
∴，
∴
∴△ABC的面积为14.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】(1)因为以AB为腰作等腰△ABC，底边为BC，所以AB=AC，由AB为☉O的直径，得∠ADB=90°，而BD=AD，由∠C=∠B=∠DAB=45°，求得∠BAC=90°，即可证明AC是☉O的切线；(2)AB=AC，AD⊥BC，得，由∠B=∠C，∠B=∠E，推导出∠C=∠E，则DE=DC，所以DB=DE，由DE+AD=8，AB=6，得DB+AD=DE+AD=8，DB2+AD2=AB2=36，由(DB+AD)2=82，得DB2+AD2+2DB·AD=64，进而即可求解.
23．【答案】（1）解：当0≤t≤2时，由表格数据可知，二次函数图象的对称轴为直线
∴二次函数的顶点坐标为(1，2)，
∴二次函数的解析式为h=a(t-1)2+2
把(0，0)代入函数解析式得：a+2=0
解得a=-2.
∴二次函数的解析式为h=-2(t-1)2+2=-2t2+4t(0≤t≤2)
（2）解：①∵t>2，t取任意值时的小球高度一定是(t-2)s时的
∴2当h=1.2时，
整理得：4t2-24t+35=0
解得t1=3.5，t2=2.5.
∴当h=1.2m时，t的值为2.5或3.5.
②由①可知，
∴h关于t的函数是二次函数
（3）解：第四次
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(3)第一次弹起时(0≤t≤2)，h=-2(t-1)2+2，最大高度为2m；
第二次弹起时(2第三次弹起时(4第四次弹起时(6∴小球第四次弹起后的最大高度最接近1m，
故答案为：第四次.
【分析】(1)由表格数据，用待定系数法求出函数解析式；
(2)①根据t>2，t取任意值时的小球高度一定是(t-2)s时的，求出函数解析式；
②根据①的解析式判断即可；
(3)求出第一次，第二次，第三次，第四次最高高度即可判断.
24．【答案】（1）解：∵☉O的直径AB=6，MN为☉O的直径，
∴MN=6.
∵当点P与A重合时
∴∠MPN =90°
∴PM2+PN2=MN2=62=36
（2）解：①当PM⊥AB时，过点N作NQ⊥AB于点Q，如图，
∵PA=1，OA=OB=OM=ON=3，
∴OP=2，
∴PM2=OM2-OP2=32-22=5
∴
在△MPO和△NQO中
∴△MPO≌△NQO(AAS)
∴OP=OQ=2，PM=QN
∴PQ=4，QN2=PM2=5，
∴PN2=PQ2+QN2=16+5=21，
∴
②在点M，N的运动过程中，PM2+PN2是定值，该定值为26.
理由：
过点P作PH⊥MN于点H，如图，
由题意得：OM-ON=3，OP=2，
设OH=x，则MH=3-x，NH=3+x，PH2=OP2-OH2=22-x2=4- x2
∴PM2+PN2=PH2+MH2+PH2+NH2
=4-x2+(3-x)2+(3+x)2+4-x2
=8-2x2+x2-6x+9+x2+6x+9
=8+9+9
=26.
∴在点M，N的运动过程中，PM2-PN2是定值，该定值为26.
③当△PMN的周长为13时，
∵MN =6
∴PM+PN=7
∴(PM+PN)2=49
∴PM2+2PM·PN+PN2=49，
由②知：PM2+PN2是定值，该定值为26，
∴2PM·PN=23.
∵(PM-PN)2=PM2-2PM·PN+PN2
=26-23 -3，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理和勾股定理解答即可；
(2)①过点N作NQ⊥AB于点Q，利用勾股定理即可求得PM，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求得PN；
②过点P作PH⊥MN于点H，设OH=x，则MH=3-x，NH=3+x，PH2=OP2-OH2=22-x2=4-x2，再利用勾股定理和完全平方公式解答即可；
③利用三角形的周长的意义求得PM+PN=7，利用完全平方公式求得2PM·PN=23，再利用完全平方公式解答即可得出结论.
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