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浙江省湖州市第五中学2025-2026学年上学期11月九年级期中考试数学试题
1．（2025九上·湖州期中）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意‘
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.
2．（2025九上·湖州期中）经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是随机事件．
故选：C．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
3．（2025九上·湖州期中）平面内有两点P、O，已知⊙O的半径为5，PO=6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．P在圆内 B．P在圆上
C．P在圆外 D．P在圆上或圆外
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵☉O的半径为5，若PO=6，
∴6>5.
∴点P与☉O的位置关系是点P在☉O外，
故选：C.
【分析】已知圆O的半径为r点P到圆心O的距离是d，①当r>d时，点P在☉O内，②当r=d时，点P在☉O上，③当r4．（2025九上·湖州期中）对于 的性质，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标为(-1，2) B．对称轴为直线x =.1
C．当x=1时， y有最大值2 D．当x≥1时，y随x增大而减小
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由题意得，该函数的顶点坐标是(1，2)，二次项系数3>0
∴其对称轴为x=1；当x=1时，y有最小值2；当x≥1时，y随x增大而增大，
∴选项A，C，D不符合题意，选项B符合题意，
故选：B.
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行逐一辨别.
5．（2025九上·湖州期中）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ACE=∠ADE B．AB=AE C．∠CAE=∠BAD D．CE=BD
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠CAE
又∵∠AOB=∠DOE
∴∠BED=∠BAD=∠CAE
故选：C.
【分析】由旋转的性质可得∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠CAE，由三角形内角和定理可得结论.
6．（2025九上·湖州期中）已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 2x+m=0的解为(　　)
A．x=-1 B．x1=1， x2=3 C．x=-3 D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图象得：抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，
∵对称轴为直线x=1，
设抛物线与x轴的一个交点为(x1，0)
∴1-x1=3-1，
解得：x1=-1，
∴(-1，0)，
∴关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为：x1=-1，x2=3，
故选：D.
【分析】由图象结合抛物线的对称性可求出与x轴的一个交点为(3，0)、(-1，0)，即可求解.
7．（2025九上·湖州期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°，则∠BCD的度数为(　　)
A．58° B．60° C．62° D．64°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，且∠ACB=90°，
∴点A、B、C、D在同一圆上，如图所示：
设圆心为点O，连接OD，
∵∠AOD=64°
∴
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-32°=58°
故选：A.
【分析】根据题意，点A、B、C、D在同一圆上，设圆心为点O，连接OD，根据圆周角定理求出∠ACD的度数，从而求出∠BCD的度数即可.
8．（2025九上·湖州期中）在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2<0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m>0，由直线可知，-m>0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知m<0，由直线可知，-m<0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知m<0，由直线可知，-m>0，正确；
故选：D.
【分析】先由一次函数y=-mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致.
9．（2025九上·湖州期中）如图，已知在纸上有一点 O.按下列尺规作图的步骤进行：①以点 O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为 AB；②分别以点. O，B为圆心，大于 OB长为半径作弧，两弧交于点M， N， 作直线 MN， 交半圆O于点 C； ③连接OC，以点 C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE.下列结论不正确的是（　　）
A．四边形 AOCE是菱形 B．点 C是弧 EB的中点
C． D． 四边形 AOCE的面积为
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接BC，OE，设MN交OB于点H，
由题意可知，MN为线段OB的垂直平分线，
∴OC=BC，
∵OC=OB
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°
由尺规作图可知EC=OC，
∵OC=OE，
∴EC=OC=OE
即△COE为等边三角形
∴∠ECO=60°
∴∠ECO=∠BOC
∴EC//AB，
∵EC=OC=OA.
∴四边形AOCE为平行四边形
∵EC=OC.
∴四边形AOCE为菱形，
故A选项正确，不符合题意
∵EC=OC=BC
∴，
∴点C是弧EB的中点
故选项B正确，不符合题意；
∵EC//AO，∠A=60°
∴∠AEC=120°
∴
故选项C正确，不符合题意；
在Rt△COH中，，
∴，
∴四边形AOCE的面积为，
故选项D错误，符合题意
故选：D.
【分析】连接BC，OE，设MN交OB于点H，根据已知条件可证△BOC和△COE为等边三角形，结合菱形的判定定理可判断A选项；根据EC=OC=BC，可以推出B正确；求出∠AEC=120°，∠A=60°，可以判定C正确；在Rt△COH中，可求出CH的长，进而可得四边形AOCE的面积即可判断D选项.
10．（2025九上·湖州期中）已知二次函数 且当 时，y随x 的增大而增大.若点A(m-1，y1)、B(m+2，y2)为抛物线上的两点，且总有 则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2-2ax+4(a≠0)，
∴二次函数的对称轴为直线
∵当时，y随x的增大而增大
∴二次函数的开口方向向下，越靠近对称轴的x所对应的函数值越大，
∵A(m-1，y1)，B(m+2，y2)为抛物线上的两点，且总有y1>y2，
∴|m-1-1|>|m+2-1|，
∴|m-2|>|m+1|，
当m-2>m+1时
∴-2>1(舍去)，
当-m+2>m+1时，
∴
故选：A.
【分析】根据二次函数y=ax2-2ax+4(a≠0)，得出二次函数对称轴为直线x=1，结合当时，y随x的增大而增大，得出二次函数的开口方向向下，越靠近对称轴的x所对应的函数值越大，因为点A(m-1，y1)，B(m+2，y2)为抛物线上的两点，且总有y1>y2，列出|m-1-1|>|m+2-1|，再化简求解，即可作答.
11．（2025九上·湖州期中）将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，
∴平移后的抛物线的表达式是，即，
故答案为：．
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，据此即可得到答案.
12．（2025九上·湖州期中）随机抽取一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.
抽取件数（件） 1000
合格频数 950
合格频率
估计出厂的2000件毛衫中，次品大约有　 　件.
【答案】100
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格知，任意抽一件衬衣是合格品的概率为，
估计次品的数量为（件），
故答案为：100．
【分析】用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个固定的近似值就是这个事件的概率，由此得任意抽一件衬衣是合格品的概率，再用总数乘以次品对应的概率即可．
13．（2025九上·湖州期中）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径　 　m.
【答案】1.3
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设该门洞的半径的半径为rm，
如图，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，
则CD=2.5m，OC=(2.5-r)m，(m)
在Rt△AOC中，由勾股定理得：0.52+(2.5-r)2=r2
解得：r=1.3.
答：该门洞的半径为1.3m.
故答案为：1.3.
【分析】设该门洞的半径的半径为rm，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则OC=(2.5-r)m，由垂径定理得m，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
14．（2025九上·湖州期中）已知抛物线 的图象上三个点的坐标分别为.A(3，y1)， B(-1，y2)，C(2，y3)， 则y1， y2， y3的大小关系为　 　.
【答案】y1【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2+4ax+c(a<0)
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线x=-2
∴x>-2时，y随x的增大而减小，
∵-1<2<3，
∴y1故答案为：y1【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案.
15．（2025九上·湖州期中）若函数 的图象与x轴只有一个公共点，则实数k的值是　 　.
【答案】1或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当k-1=0，即k=1时，函数为y=3x-2，
此时函数的图象与x轴只有一个公共点
∴k=1满足题意；
当k-1≠0时
∵函数y=(k-1)x2+3x-2的图象与轴只有一个公共点，
∴Δ=32-4(k-1)×(-2)=0
解得
综上所述，实数k的值是1或，
故答案为：1或.
【分析】当k-1=0，即k=1时，函数为y=3x-2，此时满足函数的图象与x轴只有一个公共点；当k-1≠0时，根据题意可得Δ=32-4(k-1)×(-2)=0，求出k的值即可.
16．（2025九上·湖州期中）已知二次函数 当2≤x≤3时， y随x增大而减小，则mn的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线(m≥0，n≥0)的对称轴为直线，
①当m>2时，抛物线开口向上，
∵2≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴，即3m+n≤15
解得n≤15-3m，
∴mn≤m(15-3m)
∴
②当0≤m<2时，抛物线开口向下
∵2≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴，即2m+n≤13，
解得n≤13-2m，
∴mn≤m(13-2m)
当时，mn有最大值
∵0≤m<2
∴此情况不存在
综上所述，mn最大值为
故答案为：.
【分析】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m，n的取值范围，将mn转化为含一个未知数的整式求最值.
17．（2025九上·湖州期中）已知二次函数 的图象经过点 (-2， 0) ， (2， - 4) .
（1）请求此二次函数的解析式；
（2）判断点 P(-3，-9)是否在这个二次函数的图象上 请说明理由.
【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+6的图象经过点(-2，0)，(2，-4)，
∴
解得
∴二次函数解析式为y=-2x2-x+6
（2）解：在，理由如下：
当x=-3时，y=-2×(-3)2-1×(-3)+6=-9，
∴点P(-3，-9)在二次函数的图象上
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
(2)把x=-3代入函数解析式计算，判断即可.
18．（2025九上·湖州期中）现有四位“抗疫”英雄(依次标记为A，B，C，D).为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C，D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料.
（1）求班长在这四种卡片中随机抽到标号为C的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率.
【答案】（1）解：∵共有四张卡片，分别是A、B、C、D四个标号，
∴班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率是
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的有12种结果，
则小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果数，其中小明和小兰两位同学抽到的卡片是不同英雄的有12种结果，再由概率公式求解即可.
19．（2025九上·湖州期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上， 将△ABO绕着点O顺时针方向旋转90°， 得到△A1B1O.
（1）在网格中画出△A1B1O；
（2）连结BB1， 求△BOB1的外接圆的半径的长.
【答案】（1）解：如图，△A1B1O即为所求，
（2）解：由旋转得，∠BOB1=90°，OB=OB1
∴BB1为ABOB的外接圆的直径.
由勾股定理得，
∴△BOB1的外接圆的直径的长为
∴△BOB1的外接圆的半径的长为
【知识点】三角形的外接圆与外心；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可；
(2)由旋转得，∠BOB1=90°，OB=OB1，可知BB1为△BOB1的外接圆的直径：利用勾股定理求出BB1的长，进而可得答案.
20．（2025九上·湖州期中）如图， △ABC是⊙O的内接三角形， AB是⊙O的直径， 过点B作BD⊥AB交AC的延长线于点D， 点E在⊙O上， 连结AE， CE， AC=CE.
（1）求证： ∠CAB=∠D.
（2）若∠CAB=28°， 求∠ACE的度数.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠BCD=90°
∴∠CBD+∠D=90°
∵BD⊥AB.
∴∠CBD+∠CBA=90°
∴∠D=∠CBA，
∵AC=CE
∴∠CAE=∠E
∵∠CBA=∠E
∴∠CAE=∠D
（2）解：∵∠CAB=28°，∠ACB=90°
∴∠CBA=90°-28°=62°
∴∠E=∠CBA=62°
∴∠CAE=∠E=62°
∴∠ACE=180°-∠CAE-∠E=56°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠ACB=90°，进而可得∠BCD=90°，即有∠CBD+∠D=90°，结合BD⊥AB，可得∠CBD+∠CBA=90°，进一步可得∠D=∠CBA，然后根据AC=CE，可得∠CAE=∠E，即可证明结论；
(2)首先求出∠CBA=62°，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知∠E=∠ABC=62°，结合AC=CE易得∠CAB=62°，然后根据三角形内角和定理求解即可.
21．（2025九上·湖州期中）如图， A，B，C是⊙O上三点， 且 ，过点B作BD⊥OC于点D.
（1）求证： AB =2BD.
（2）若 求CD的长.
【答案】（1）证明：如图，延长BD交☉O于E，
∵BD⊥OC，
∴BE=2BD，
∵
∴
∴AB=BE，
∴AB=2BD
（2）解：如图，连接OB
∵
∴，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2
∴OB2=4+5=9，
∴OB=3，
∴OC=OB=3，
∴CD=3-2=1
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1)延长BD交☉O于E，根据垂径定理得到BE=2BD，，求得，于是得到结论；
(2)根据(1)的结论可得，根据勾股定理得半径为2，即可求出答案.
22．（2025九上·湖州期中）食品厂加工生产某规格的食品的成本价为45元/千克，根据市场调查发现，当厂价定为57元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克.
（1）若出厂价降低3元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润；
（2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W (元)与降价x(元)之间的函数关系；
（3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大 最大利润为多少元
【答案】（1）解：由题意，∵出厂价降低3元
∴该工厂销售此规格的食品每天的利润=(57-45-3)(500+50×3)=5850(元)
答：若出厂价降低3元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为5850元
（2）解：由题意，∵降价了x元，
∴W=(12-x)(500+50x)=-50x2+100x+6000
答：工厂销售此规格的食品每天获得的利润W(元)与降价x(元)之间的函数关系为W=-50x2+100x+6000
（3）解：由题意，∵W=-50x2+100x+6000=-50(x-1)2+6050.
∴当x=1时(符合实际)，W取得最大值6050
∴当降价1元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为6050元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)依据题意，由出厂价降低3元，可得该工厂销售此规格的食品每天的利润=(57-45-3)(500+50×3)=5850，进而可以判断得解；
(2)依据题意，W=(12-x)(500+50x)=-50x2+100x+6000，从而可以得解；
(3)依据题意，由W=-50x2+100x+6000=-50(x-1)2+6050，进而结合二次函数的性质可以判断得解.
23．（2025九上·湖州期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (a， b， c是常数， a≠0).
（1）若a=2，函数图象顶点坐标为(2，-8)，求函数图象与x轴的交点坐标；
（2） 若a=1， 函数图象与x轴有两个交点(x1， 0) ， (x2， 0) ， 且 求证：4b+c<-16；
（3） 若函数图象经过点(4， m+3) ， 当x≤1时， y≤m； 当x>1时， y≤m+3， 求a的值.
【答案】（1）解：∵a=2，函数图象顶点坐标为(2，-8)
∴解析式为：y=2(x-2)2-8
当y=0，则2(x-2)2-8=0
解得：x=4或x=0.
与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)；
（2）证明：∵a=1
∴二次函数开口向上
∵函数图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<4∴当x=4时，函数值小于0，
即16+4b+c<0
∴4b+c<-16
（3）解：∵函数图象经过点(4，m+3)
∴16a+4b+c=m+3
∵当x≤1时，y≤m，
当x>1时，y≤m+3
当x=4时，y=m+3
∴时，y取得最大值m+3.
∴b=-8a
当x=1时，y=m，
∴a+b+c=m，
联立方程得
解得：
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)根据a=2，函数图象顶点坐标为(2，-8)，得到顶点式，令y=0，解方程即可；
(2)根据题意得到二次函数开口向上，当x=4时函数值小于0，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明4b+c<-16；
(3)根据题意得到16a+4b+c=m+3，由题意可确定a<0，对称轴为直线，则b=-8a，故时，y取得最大值m+3，而当x=1时，y=m，则a+b+c=m，联立方程，解方程组即可求解.
24．（2025九上·湖州期中）
（1）[问题提出] 如图1， 已知线段AB=8， 点C是一个动点， 且点C到点B的距离为4，则线段AC长度的最大值是 　 　；
（2）[问题探究]如图2，以正方形ABCD 的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为8，求AE长度的最大值；
（3）[问题解决] 如图3， 某公园有一块三角形花地ABC， 经测量， AC=20米， BC=60米，∠ACB=60°，BC下方有一块空地(空地足够大)，为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点 P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏.考虑植物园的整体布局，扩建部分△BPC需满足∠BPC=30°.为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值 若存在，求出AP 的最大长度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）12
（2）解：如图2，连接AO并延长交半圆O于F，
∵正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，边长为8，
∴∠ADO=90°，AD=8，OD=OD=OF=4.
当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，
Rt△AOD中，
∴，
即AE最大为
（3）解：如图，作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO=60°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作☉O，连接OB、连接A0并延长交☉O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC交OC延长线于F，
∵∠BCO=60°，∠ACB=60°
∴∠ACF=60°
Rt△ACF中，AC=20米，
∴米，
∴米
∵∠BCO=60°，OB=OC
∴△OBC是等边三角形
∴OC =BC =60米
∴OF=OC+CF=70米，
Rt△AOF中，(米)
∴米
即小路AP的长度最大为米.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：(1)当C在线段AB延长线上时，AC最大，此时AC=AB+BC=8+4=12，
故答案为：12.
【分析】(1)当C在线段AB延长线上时，AC最大；
(2)连接AO并延长交半圆O于F，当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，Rt△AOD中求出OA即可得到答案；
(3)作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO=60°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作☉O，连接OB、连接AO并延长交☉O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，Rt△ACF中，求出AF、CF，再在Rt△AOF中，求出OA，即可得到答案.
1 / 1浙江省湖州市第五中学2025-2026学年上学期11月九年级期中考试数学试题
1．（2025九上·湖州期中）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·湖州期中）经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
3．（2025九上·湖州期中）平面内有两点P、O，已知⊙O的半径为5，PO=6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．P在圆内 B．P在圆上
C．P在圆外 D．P在圆上或圆外
4．（2025九上·湖州期中）对于 的性质，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标为(-1，2) B．对称轴为直线x =.1
C．当x=1时， y有最大值2 D．当x≥1时，y随x增大而减小
5．（2025九上·湖州期中）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ACE=∠ADE B．AB=AE C．∠CAE=∠BAD D．CE=BD
6．（2025九上·湖州期中）已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 2x+m=0的解为(　　)
A．x=-1 B．x1=1， x2=3 C．x=-3 D．
7．（2025九上·湖州期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°，则∠BCD的度数为(　　)
A．58° B．60° C．62° D．64°
8．（2025九上·湖州期中）在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
9．（2025九上·湖州期中）如图，已知在纸上有一点 O.按下列尺规作图的步骤进行：①以点 O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为 AB；②分别以点. O，B为圆心，大于 OB长为半径作弧，两弧交于点M， N， 作直线 MN， 交半圆O于点 C； ③连接OC，以点 C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE.下列结论不正确的是（　　）
A．四边形 AOCE是菱形 B．点 C是弧 EB的中点
C． D． 四边形 AOCE的面积为
10．（2025九上·湖州期中）已知二次函数 且当 时，y随x 的增大而增大.若点A(m-1，y1)、B(m+2，y2)为抛物线上的两点，且总有 则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·湖州期中）将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是　 　．
12．（2025九上·湖州期中）随机抽取一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.
抽取件数（件） 1000
合格频数 950
合格频率
估计出厂的2000件毛衫中，次品大约有　 　件.
13．（2025九上·湖州期中）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径　 　m.
14．（2025九上·湖州期中）已知抛物线 的图象上三个点的坐标分别为.A(3，y1)， B(-1，y2)，C(2，y3)， 则y1， y2， y3的大小关系为　 　.
15．（2025九上·湖州期中）若函数 的图象与x轴只有一个公共点，则实数k的值是　 　.
16．（2025九上·湖州期中）已知二次函数 当2≤x≤3时， y随x增大而减小，则mn的最大值为　 　.
17．（2025九上·湖州期中）已知二次函数 的图象经过点 (-2， 0) ， (2， - 4) .
（1）请求此二次函数的解析式；
（2）判断点 P(-3，-9)是否在这个二次函数的图象上 请说明理由.
18．（2025九上·湖州期中）现有四位“抗疫”英雄(依次标记为A，B，C，D).为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C，D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料.
（1）求班长在这四种卡片中随机抽到标号为C的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率.
19．（2025九上·湖州期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上， 将△ABO绕着点O顺时针方向旋转90°， 得到△A1B1O.
（1）在网格中画出△A1B1O；
（2）连结BB1， 求△BOB1的外接圆的半径的长.
20．（2025九上·湖州期中）如图， △ABC是⊙O的内接三角形， AB是⊙O的直径， 过点B作BD⊥AB交AC的延长线于点D， 点E在⊙O上， 连结AE， CE， AC=CE.
（1）求证： ∠CAB=∠D.
（2）若∠CAB=28°， 求∠ACE的度数.
21．（2025九上·湖州期中）如图， A，B，C是⊙O上三点， 且 ，过点B作BD⊥OC于点D.
（1）求证： AB =2BD.
（2）若 求CD的长.
22．（2025九上·湖州期中）食品厂加工生产某规格的食品的成本价为45元/千克，根据市场调查发现，当厂价定为57元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克.
（1）若出厂价降低3元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润；
（2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W (元)与降价x(元)之间的函数关系；
（3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大 最大利润为多少元
23．（2025九上·湖州期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (a， b， c是常数， a≠0).
（1）若a=2，函数图象顶点坐标为(2，-8)，求函数图象与x轴的交点坐标；
（2） 若a=1， 函数图象与x轴有两个交点(x1， 0) ， (x2， 0) ， 且 求证：4b+c<-16；
（3） 若函数图象经过点(4， m+3) ， 当x≤1时， y≤m； 当x>1时， y≤m+3， 求a的值.
24．（2025九上·湖州期中）
（1）[问题提出] 如图1， 已知线段AB=8， 点C是一个动点， 且点C到点B的距离为4，则线段AC长度的最大值是 　 　；
（2）[问题探究]如图2，以正方形ABCD 的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为8，求AE长度的最大值；
（3）[问题解决] 如图3， 某公园有一块三角形花地ABC， 经测量， AC=20米， BC=60米，∠ACB=60°，BC下方有一块空地(空地足够大)，为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点 P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏.考虑植物园的整体布局，扩建部分△BPC需满足∠BPC=30°.为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值 若存在，求出AP 的最大长度；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意‘
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是随机事件．
故选：C．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
3．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵☉O的半径为5，若PO=6，
∴6>5.
∴点P与☉O的位置关系是点P在☉O外，
故选：C.
【分析】已知圆O的半径为r点P到圆心O的距离是d，①当r>d时，点P在☉O内，②当r=d时，点P在☉O上，③当r4．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由题意得，该函数的顶点坐标是(1，2)，二次项系数3>0
∴其对称轴为x=1；当x=1时，y有最小值2；当x≥1时，y随x增大而增大，
∴选项A，C，D不符合题意，选项B符合题意，
故选：B.
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行逐一辨别.
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠CAE
又∵∠AOB=∠DOE
∴∠BED=∠BAD=∠CAE
故选：C.
【分析】由旋转的性质可得∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠CAE，由三角形内角和定理可得结论.
6．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图象得：抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，
∵对称轴为直线x=1，
设抛物线与x轴的一个交点为(x1，0)
∴1-x1=3-1，
解得：x1=-1，
∴(-1，0)，
∴关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为：x1=-1，x2=3，
故选：D.
【分析】由图象结合抛物线的对称性可求出与x轴的一个交点为(3，0)、(-1，0)，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，且∠ACB=90°，
∴点A、B、C、D在同一圆上，如图所示：
设圆心为点O，连接OD，
∵∠AOD=64°
∴
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-32°=58°
故选：A.
【分析】根据题意，点A、B、C、D在同一圆上，设圆心为点O，连接OD，根据圆周角定理求出∠ACD的度数，从而求出∠BCD的度数即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2<0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m>0，由直线可知，-m>0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知m<0，由直线可知，-m<0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知m<0，由直线可知，-m>0，正确；
故选：D.
【分析】先由一次函数y=-mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接BC，OE，设MN交OB于点H，
由题意可知，MN为线段OB的垂直平分线，
∴OC=BC，
∵OC=OB
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°
由尺规作图可知EC=OC，
∵OC=OE，
∴EC=OC=OE
即△COE为等边三角形
∴∠ECO=60°
∴∠ECO=∠BOC
∴EC//AB，
∵EC=OC=OA.
∴四边形AOCE为平行四边形
∵EC=OC.
∴四边形AOCE为菱形，
故A选项正确，不符合题意
∵EC=OC=BC
∴，
∴点C是弧EB的中点
故选项B正确，不符合题意；
∵EC//AO，∠A=60°
∴∠AEC=120°
∴
故选项C正确，不符合题意；
在Rt△COH中，，
∴，
∴四边形AOCE的面积为，
故选项D错误，符合题意
故选：D.
【分析】连接BC，OE，设MN交OB于点H，根据已知条件可证△BOC和△COE为等边三角形，结合菱形的判定定理可判断A选项；根据EC=OC=BC，可以推出B正确；求出∠AEC=120°，∠A=60°，可以判定C正确；在Rt△COH中，可求出CH的长，进而可得四边形AOCE的面积即可判断D选项.
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2-2ax+4(a≠0)，
∴二次函数的对称轴为直线
∵当时，y随x的增大而增大
∴二次函数的开口方向向下，越靠近对称轴的x所对应的函数值越大，
∵A(m-1，y1)，B(m+2，y2)为抛物线上的两点，且总有y1>y2，
∴|m-1-1|>|m+2-1|，
∴|m-2|>|m+1|，
当m-2>m+1时
∴-2>1(舍去)，
当-m+2>m+1时，
∴
故选：A.
【分析】根据二次函数y=ax2-2ax+4(a≠0)，得出二次函数对称轴为直线x=1，结合当时，y随x的增大而增大，得出二次函数的开口方向向下，越靠近对称轴的x所对应的函数值越大，因为点A(m-1，y1)，B(m+2，y2)为抛物线上的两点，且总有y1>y2，列出|m-1-1|>|m+2-1|，再化简求解，即可作答.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，
∴平移后的抛物线的表达式是，即，
故答案为：．
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，据此即可得到答案.
12．【答案】100
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格知，任意抽一件衬衣是合格品的概率为，
估计次品的数量为（件），
故答案为：100．
【分析】用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个固定的近似值就是这个事件的概率，由此得任意抽一件衬衣是合格品的概率，再用总数乘以次品对应的概率即可．
13．【答案】1.3
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设该门洞的半径的半径为rm，
如图，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，
则CD=2.5m，OC=(2.5-r)m，(m)
在Rt△AOC中，由勾股定理得：0.52+(2.5-r)2=r2
解得：r=1.3.
答：该门洞的半径为1.3m.
故答案为：1.3.
【分析】设该门洞的半径的半径为rm，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则OC=(2.5-r)m，由垂径定理得m，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
14．【答案】y1【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2+4ax+c(a<0)
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线x=-2
∴x>-2时，y随x的增大而减小，
∵-1<2<3，
∴y1故答案为：y1【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案.
15．【答案】1或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当k-1=0，即k=1时，函数为y=3x-2，
此时函数的图象与x轴只有一个公共点
∴k=1满足题意；
当k-1≠0时
∵函数y=(k-1)x2+3x-2的图象与轴只有一个公共点，
∴Δ=32-4(k-1)×(-2)=0
解得
综上所述，实数k的值是1或，
故答案为：1或.
【分析】当k-1=0，即k=1时，函数为y=3x-2，此时满足函数的图象与x轴只有一个公共点；当k-1≠0时，根据题意可得Δ=32-4(k-1)×(-2)=0，求出k的值即可.
16．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线(m≥0，n≥0)的对称轴为直线，
①当m>2时，抛物线开口向上，
∵2≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴，即3m+n≤15
解得n≤15-3m，
∴mn≤m(15-3m)
∴
②当0≤m<2时，抛物线开口向下
∵2≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴，即2m+n≤13，
解得n≤13-2m，
∴mn≤m(13-2m)
当时，mn有最大值
∵0≤m<2
∴此情况不存在
综上所述，mn最大值为
故答案为：.
【分析】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m，n的取值范围，将mn转化为含一个未知数的整式求最值.
17．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+6的图象经过点(-2，0)，(2，-4)，
∴
解得
∴二次函数解析式为y=-2x2-x+6
（2）解：在，理由如下：
当x=-3时，y=-2×(-3)2-1×(-3)+6=-9，
∴点P(-3，-9)在二次函数的图象上
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
(2)把x=-3代入函数解析式计算，判断即可.
18．【答案】（1）解：∵共有四张卡片，分别是A、B、C、D四个标号，
∴班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率是
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的有12种结果，
则小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果数，其中小明和小兰两位同学抽到的卡片是不同英雄的有12种结果，再由概率公式求解即可.
19．【答案】（1）解：如图，△A1B1O即为所求，
（2）解：由旋转得，∠BOB1=90°，OB=OB1
∴BB1为ABOB的外接圆的直径.
由勾股定理得，
∴△BOB1的外接圆的直径的长为
∴△BOB1的外接圆的半径的长为
【知识点】三角形的外接圆与外心；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可；
(2)由旋转得，∠BOB1=90°，OB=OB1，可知BB1为△BOB1的外接圆的直径：利用勾股定理求出BB1的长，进而可得答案.
20．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠BCD=90°
∴∠CBD+∠D=90°
∵BD⊥AB.
∴∠CBD+∠CBA=90°
∴∠D=∠CBA，
∵AC=CE
∴∠CAE=∠E
∵∠CBA=∠E
∴∠CAE=∠D
（2）解：∵∠CAB=28°，∠ACB=90°
∴∠CBA=90°-28°=62°
∴∠E=∠CBA=62°
∴∠CAE=∠E=62°
∴∠ACE=180°-∠CAE-∠E=56°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠ACB=90°，进而可得∠BCD=90°，即有∠CBD+∠D=90°，结合BD⊥AB，可得∠CBD+∠CBA=90°，进一步可得∠D=∠CBA，然后根据AC=CE，可得∠CAE=∠E，即可证明结论；
(2)首先求出∠CBA=62°，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知∠E=∠ABC=62°，结合AC=CE易得∠CAB=62°，然后根据三角形内角和定理求解即可.
21．【答案】（1）证明：如图，延长BD交☉O于E，
∵BD⊥OC，
∴BE=2BD，
∵
∴
∴AB=BE，
∴AB=2BD
（2）解：如图，连接OB
∵
∴，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2
∴OB2=4+5=9，
∴OB=3，
∴OC=OB=3，
∴CD=3-2=1
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1)延长BD交☉O于E，根据垂径定理得到BE=2BD，，求得，于是得到结论；
(2)根据(1)的结论可得，根据勾股定理得半径为2，即可求出答案.
22．【答案】（1）解：由题意，∵出厂价降低3元
∴该工厂销售此规格的食品每天的利润=(57-45-3)(500+50×3)=5850(元)
答：若出厂价降低3元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为5850元
（2）解：由题意，∵降价了x元，
∴W=(12-x)(500+50x)=-50x2+100x+6000
答：工厂销售此规格的食品每天获得的利润W(元)与降价x(元)之间的函数关系为W=-50x2+100x+6000
（3）解：由题意，∵W=-50x2+100x+6000=-50(x-1)2+6050.
∴当x=1时(符合实际)，W取得最大值6050
∴当降价1元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为6050元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)依据题意，由出厂价降低3元，可得该工厂销售此规格的食品每天的利润=(57-45-3)(500+50×3)=5850，进而可以判断得解；
(2)依据题意，W=(12-x)(500+50x)=-50x2+100x+6000，从而可以得解；
(3)依据题意，由W=-50x2+100x+6000=-50(x-1)2+6050，进而结合二次函数的性质可以判断得解.
23．【答案】（1）解：∵a=2，函数图象顶点坐标为(2，-8)
∴解析式为：y=2(x-2)2-8
当y=0，则2(x-2)2-8=0
解得：x=4或x=0.
与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)；
（2）证明：∵a=1
∴二次函数开口向上
∵函数图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<4∴当x=4时，函数值小于0，
即16+4b+c<0
∴4b+c<-16
（3）解：∵函数图象经过点(4，m+3)
∴16a+4b+c=m+3
∵当x≤1时，y≤m，
当x>1时，y≤m+3
当x=4时，y=m+3
∴时，y取得最大值m+3.
∴b=-8a
当x=1时，y=m，
∴a+b+c=m，
联立方程得
解得：
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)根据a=2，函数图象顶点坐标为(2，-8)，得到顶点式，令y=0，解方程即可；
(2)根据题意得到二次函数开口向上，当x=4时函数值小于0，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明4b+c<-16；
(3)根据题意得到16a+4b+c=m+3，由题意可确定a<0，对称轴为直线，则b=-8a，故时，y取得最大值m+3，而当x=1时，y=m，则a+b+c=m，联立方程，解方程组即可求解.
24．【答案】（1）12
（2）解：如图2，连接AO并延长交半圆O于F，
∵正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，边长为8，
∴∠ADO=90°，AD=8，OD=OD=OF=4.
当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，
Rt△AOD中，
∴，
即AE最大为
（3）解：如图，作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO=60°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作☉O，连接OB、连接A0并延长交☉O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC交OC延长线于F，
∵∠BCO=60°，∠ACB=60°
∴∠ACF=60°
Rt△ACF中，AC=20米，
∴米，
∴米
∵∠BCO=60°，OB=OC
∴△OBC是等边三角形
∴OC =BC =60米
∴OF=OC+CF=70米，
Rt△AOF中，(米)
∴米
即小路AP的长度最大为米.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：(1)当C在线段AB延长线上时，AC最大，此时AC=AB+BC=8+4=12，
故答案为：12.
【分析】(1)当C在线段AB延长线上时，AC最大；
(2)连接AO并延长交半圆O于F，当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，Rt△AOD中求出OA即可得到答案；
(3)作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO=60°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作☉O，连接OB、连接AO并延长交☉O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，Rt△ACF中，求出AF、CF，再在Rt△AOF中，求出OA，即可得到答案.
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