资源简介

浙江省嘉兴市海宁市硖石中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试卷
一、选择题(每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·海宁期中）抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=（x-2）2-4的对称轴是直线x=2.
故答案为：B.
【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2-k，其中对称轴为直线x=h，据此解答.
2．（2025九上·海宁期中）在一个不透明的布袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球1个，红球3个，黑球2个.将袋中的球搅匀，随机从中取出1个球，则取出黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：取出黑球的概率为 ＝ .
故答案为：B.
【分析】利用黑球的个数除以球的总数可得对应的概率.
3．（2025九上·海宁期中）已知，则（　　）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：3.
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值.
4．（2025九上·海宁期中）若将函数y=3x2的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（　　）
A．y=3(x+2)2-4 B．y=3(x+2)2+4 C．y=3(x-2)2-4 D．y=3(x-2)2+4
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将函数y=3x2的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，
可得 y=3(x-2)2+4 ．
故答案为：.D
【分析】根据函数图象平移的法则，左加右减，上加下减，即可得解．
5．（2025九上·海宁期中）设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2-4x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大
∴C(-4，y3)关于称轴是直线x=1的对称点是(6，y3)，
∵2<3<6，
∴y3>y2>y1，
故选：D.
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再求出各点关于对称轴的对称点，比较对称点的横坐标大小，根据二次函数的增减性得出y值大小关系.
6．（2025九上·海宁期中）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④等弧所对的弦相等．其中正确的有（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【知识点】圆周角定理；等圆、等弧的概念；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故正确；
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等或互补，故错误；
④同弧或等弧所对的弦相等；故正确；
正确的有2个
故选：C.
【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、垂径定理及其推理分别判断后即可确定正确的选项.
7．（2025九上·海宁期中）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当k=0时，函数y=kx2-7x-7是一次函数，
解析式为：y=-7x-7，
此时图象和x轴有交点，
即k=0满足要求；
当k≠0时，函数y=kx2-7x-7是二次函数图象与x轴有公共点，
∴一元二次方程kx2-7x-7=0的Δ=b2-4ac≥0，
即：(-7)2-4k·(-7)≥0，
解得且k≠0，
综上：则k的取值范围是
故选：C.
【分析】分情况讨论，当k=0时，函数y=kx2-7x-7是一次函数，为：y=-7x-7，此时图象和x轴有交点；当k≠0时，函数y=kx2-7x-7是二次函数图象与x轴有公共点，说明一元二次方程kx2-7x-7=0的Δ=b2-4ac≥0，建立一个关于k的不等式，解不等式即可.
8．（2025九上·海宁期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　　）
A．AD=2OB B．CE=EO
C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，
∴ = ，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°﹣40°=50°．
故选D．
【分析】先根据垂径定理得到 = ，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
9．（2025九上·海宁期中）如图，在扇形中，，，是的中点，是的中点，连接，．则阴影部分的面积为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，过D作DH⊥OA于H，
∵∠AOB=90°，D是的中点，
∴∠AOD=∠BOD=45°
∵OD=OA=2，
∴
∵C是OA的中点，
∴OC=1.
∴阴影部分的面积=S扇形DOB+S△CDO-S△BCO
故选：C.
【分析】连接OD，过D作DH⊥OA于H，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
10．（2025九上·海宁期中）抛物线（a，b，c是常数，）经过，．下列四个结论：
①；
②点，在抛物线上，当时，；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且，则．
④若，对应的y的整数值有3个，则．
其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①将A、B两点坐标代入抛物线y=ax2+b +c中，
则：
解得：，故①正确；
②∵|x1-2|-|x2-2|>0，即|x1-2|>|x2-2|，
∴x1距离x=2比x2距离x=2更远，如图：
从图中可以看出x距离x=2越远对应的函数值越小，
故y1故②错误；
③∵a<0，
设C(x3，0)、D(x4，0)，
则由根与系数的关系得：x3+x4= 4，
∴
解得：
故③正确；
④由题意知：x = 4时，y= 3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，
∴y对应得整数值为：3，4，5，
则x = 3时对应的函数值y的取值范围为：5≤9a-12a+3<6，
解得：
故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】把AB两点的坐标代入函数解析式即可判断①正确；由平行于坐标轴直线上两点之间的距离的几何意义即可判断②；由于C、D是抛物线与x轴的交点，有根与系数的关系和CD≤6，可以判断③；x=4时，y=3，3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，y对应得整数值为：3，4，5，结合图象，可以判断④.
二、填空题(本题有6个小题.每小题4分，共24分)
11．（2025九上·海宁期中）从，0，这三个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从，0，π，这三个数中随机抽取一个数，
抽到的无理数的有，π这2种可能，
则恰好是无理数的概率是
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式计算得出答案.
12．（2025九上·海宁期中）一个扇形的面积为，半径为6，则该扇形的圆心角的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的圆心角的度数为n°
由题意得，
解得n=30，
该扇形的圆心角的度数为30°
故答案为：30°.
【分析】设该扇形的圆心角的度数为n°，根据扇形面积计算公式可得，解方程即可得到答案.
13．（2025九上·海宁期中）如图，圆周角，则圆心角的度数是为　 　．
【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，
∵四边形APBC为☉O的内接四边形，
∴∠P+∠ACB=180°
∴∠P=180°-130°=50°
∴∠AOB=2∠P=100°
故答案为：100°.
【分析】作所对的圆周角∠APB，如图，先利用圆内接四边形的性质得到∠P=50°，然后根据圆周角定理得到∠AOB的度数.
14．（2025九上·海宁期中）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝　 　
【答案】5
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】已知二次函数 ，当 时的函数值与 时的函数值相等，由此可得二次函数图象的对称轴为 ，即 ，可得 ．
【分析】根据x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴，据此可得m的值．
15．（2025九上·海宁期中）如图，在正五边形中，点是的中点，连接与交于点，则　 　．
【答案】126
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形
∴BE=BD，DE=DC，∠CDE=108°
∴∠DCE=∠DEC=36°
∵BE=BD，DF=EF.
∴BF⊥DE，
∴∠BFE=90°
∴∠CGF=∠GFE+∠GEF=90°+36°=126°
故答案为：126.
【分析】连接BE，BD，求出∠DEC=36°，∠BFE=90°可得结论.
16．（2025九上·海宁期中）如图，四边形内接于，，，，则的半径长为　 　．
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，连接CO并延长交☉O于点F，连接AF，如图所示：
则∠ACE=90°
∵∠BAC=45°
∴△ACE是等腰直角三角形
∴AC=EC，∠E=45°
∴∠CAD=∠E=45°
∵四边形ABCD内接于☉O
∴∠D=∠CBE
在△CAD和△CBE中，
∴△CAD≌△CBE(AAS)
∴AD=BE.
∵AB+AD=6，
∴AE=AB+BE=AB+AD=6
在Rt△ACE中，AC=EC，
由勾股定理得：，
∴
∵CF是☉O的直径，
∴∠CAF=90°
在Rt△CAF中，∠F=∠ABC=60°
∴∠ACF=30°
∴，
由勾股定理得：CF2-AF2=AC2
∴
∴
∴☉O的半径长为.
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，连接CO并延长交☉O于点F，连接AF，证明△ACE是等腰直角三角形得AC=EC，∠E=45°，由此可证明△CAD和△CBE全等，则AD=BE，进而得AE=AB+AD=6，则，然后在Rt△CAF中，根据∠F=∠ABC=60°得∠ACF=30°，则，进而根据勾股定理可求出，由此可得☉O的半径长.
三、解答题(本大题共8个小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23 题每题10分, 第24题12分, 共66分)
17．（2025九上·海宁期中）已知二次函数．
（1）求出此二次函数图象的顶点坐标．
（2）求出y随x的增大而减小时，x的取值范围．
【答案】（1）解：∵y=x2-4x+5=(x-2)2+1
∴顶点坐标为(2，1)
（2）解：∵y=x2-4x+5=(x-2)2+1
∴对称轴为x=2，
∵开口向上，
∴当x<2时，y随x的增大而减小，
故y随必的增大而减小时，必的取值范围是x<2
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)化成顶点式即可求得顶点坐标；
(2)根据函数的图象的顶点坐标确定其对称轴，然后结合其开口方向确定其增减性.
18．（2025九上·海宁期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：．
【答案】证明：∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA
∴
∴
∴
∴AE=BF
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可.
19．（2025九上·海宁期中）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有四张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，4，5，将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录下数字后，乙再从余下的牌中随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，列出两人抽取数字的所有结果；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
【答案】（1）解：列表如下：
　 2 3 4 5
2 　 (3，2) (4，2) (3，2)
3 (2，3) 　 (4，3) (5，3)
4 (2，4) (3，4) 　 (5，4)
5 (2，5) (3，5) (4，5) 　
（2）解：可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相同，
记“两人抽取的数字和为2的倍数”为事件A，有(4，2)，(5，3)，(2，4)，(3，5)四种结果，
∴
记“两人抽取的数字和为了的倍数”为事件B，有(4，2)，(2，4)，(5，4)，(4，5)四种结果，
∴
∵P(A)=P(B)，
∴这个游戏是公平的
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】(1)根据列表得出所有等可能的情况数；
(2)求出甲乙两人获胜的概率，比较即可作出判断.
20．（2025九上·海宁期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径．
（2）求弧AD的长．
【答案】（1）解：∵AB是☉O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ACD和∠ABD是所对的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD=30°
∴AB=2AD=2×4=8(cm)，
即☉O的直径是8cm
（2）解：如图所示，连接OD，作OE⊥AD交AD于点E.
由题意知，∠AOD=2∠ACD=2×30°=60°，OA=OD，
∴△AOD是等边三角形
∴OA=OD=AD=4(cm)，
∴的长(cm)
∵OE⊥AD，OA=OD，
∴(cm)，
∴(cm)
∴(cm2)
又∵(cm2)
∴阴影面积(cm2)
即的长为cm，阴影面积为cm2
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质可知AB=2AD；
(2)利用圆周角定理推出∠AOD=2∠ACD=2×30°=60°，再根据弧长公式即可求出的长；利用所在扇形的面积减去△AOD的面积即为阴影部分的面积.
21．（2025九上·海宁期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 　 　；（保留π）
（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径r.
【答案】（1）解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）12π
（3）解：连接AO、BC相交于点D，连接OB，
∵BC=8，
∴BD =4，
∵AB =5，
∴AD =3，
∵该轮的半径为R，
在Rt△BOD中，OD=R-3，
∴R2=42+(R-3)2，
解得：
∴该轮的半径R为
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：(2)扇形BOC的面积
故答案为：12π.
【分析】(1)作线段AB和线段AC的垂直平分线，交点即为圆心O；
(2)连接OC、OB，利用扇形面积公式直接计算即可得到答案；
(3)连接CB，交AO于点D，根据垂径定理得到BD=4，利用勾股定理求出AD，在△BOD中，由勾股定理得到BD2+OD2=OB2，42+(R-3)2=R2，求解即可.
22．（2025九上·海宁期中）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：△BDE为等腰直角三角形
理由：
∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD， ∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠BED=∠DBE.
∴BD = ED
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90
∴△BDE是等腰直角三角形
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD.
∴BD= DC.
∵OB=OC.
∴OD 垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴AB=10，
∴OB=OD=5.
设OF=t，则DF=5-t.
在Rt△BOF和Rt△BDF中，
解得 t=3，
∴BF=4
∴BC=8
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)由角平分线的定义可知，∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠EBC，所以∠BED=∠DBE，所以 BD=ED，因为AB为直径，所以∠ADB=90°，所以△BDE是等腰直角三角形；
(2)连接OC、CD、OD，OD交BC于点F，因为∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD，所以BD=DC，因为OB=OC、所以OD垂直平分BC，由△BDE是等腰直角三角形，，可得，因为OB=OD=5，设OF=t，则DF=5-t，在Rt△BOF和Rt△BDF中，，解出t的值即可.
23．（2025九上·海宁期中）已知二次函数其中．
（1）若二次函数经过，求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求的取值范围．
【答案】（1）解：把(-1，6)代入函数解析式得
m+2m+3=6
∴m=1.
∴函数解析式为：y=x2-2x+3
（2）解：∵抛物线开口方向向上
∴m>0
∵y=mx2-2mx+3=m(x-1)2+3-m，
∴抛物线的顶点为(1，3-m)
∴当x<1时y随x增大而减小，
当x>1时，y随x增大而增大
∴最低点N(1，3-m)
∵当x=-1时，y=3m+3，
当x=2时，y=3，且m>0.
∴3m+3 >3.
∴最高点M(-1，3m+3)
∴3m+3=6.
∴m=1.
代入M点和N点坐标得：M(-1，6)，N(1，2)
（3）解：①当m>0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1y2，此时a+2≤1，
∴a≤-1.
②当m<0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1y2，
此时a≥1，
综上，当m>0时a≤-1；当m<0时，a≥1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)把(-1，6)点的坐标代入函数解析式中求出m即可；
(2)根据抛物线开口向上得m>0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标；
(3)分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围.
24．（2025九上·海宁期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-6x+6与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心、2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若点P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD=90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕点A顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点B'的坐标；
②求FD长度的取值范围．
【答案】（1）解：直线AC：y=-6x+6，
x=0时，y=6，
∴C(0，6)
y=-5x+5=0时，解得：x=1，
∴A(1，0)
∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为y=x2-7x+6
（2）解：当y=x2-7x+6=0时，
解得：x1=1，x2=6，
∴B(6，0).
∴直线BC的解析式为：y=-x+6，
设M(m，m2-7m+6)，则N为(m，-m+6)
∴MN=-m+6-(m2-7m+6)=-m2+6m=-(m-3)2+9.
∴当M运动到(3，-6)时，线段MN的长度最大为9.
（3）解：①B'(1，-5)
②∵BF=2.
∴F(8，0)
∴，
∴DF的最大值为，DF的最小值为，
∴.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-SAS；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：(3)①∵A(1，0)，B(6，0)
∴AB=6-1=5.
将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD=90°，∠PAB+∠BAD=90°
∴∠B'AD=∠PAB
∵AB=AB'， PA=AD
∴△ADB'≌△APB'(SAS)
∴BP=B'D
∴PB=2
∴B'D=2
∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，
∵B(6，0)，A(1，0)，
∴B'(1，-5)
故答案为：B'(1，-5).
【分析】(1)由直线y=-6x+6求点A、C坐标，再用待定系数法求抛物线解析式；
(2)令y=0可得点B的坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式，设M(m，m2-7m+6)，则N为(m，-m+6)，计算MN的长，配方后可得点M的坐标和MN的最大值；
(3)①计算AB=4，根据旋转的性质可得B点的对应点的坐标为(1，-5)；
②作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△B'AD(SAS)，确定点D在以B'为圆心，以2为半径的圆上运动，如图确定DF的最大值和最小值，从而得结论.
1 / 1浙江省嘉兴市海宁市硖石中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试卷
一、选择题(每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·海宁期中）抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（2025九上·海宁期中）在一个不透明的布袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球1个，红球3个，黑球2个.将袋中的球搅匀，随机从中取出1个球，则取出黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·海宁期中）已知，则（　　）
A．3 B．2 C．1 D．4
4．（2025九上·海宁期中）若将函数y=3x2的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（　　）
A．y=3(x+2)2-4 B．y=3(x+2)2+4 C．y=3(x-2)2-4 D．y=3(x-2)2+4
5．（2025九上·海宁期中）设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·海宁期中）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④等弧所对的弦相等．其中正确的有（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．①②④
7．（2025九上·海宁期中）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
8．（2025九上·海宁期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　　）
A．AD=2OB B．CE=EO
C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
9．（2025九上·海宁期中）如图，在扇形中，，，是的中点，是的中点，连接，．则阴影部分的面积为（　　）
A．1 B． C． D．
10．（2025九上·海宁期中）抛物线（a，b，c是常数，）经过，．下列四个结论：
①；
②点，在抛物线上，当时，；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且，则．
④若，对应的y的整数值有3个，则．
其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④
二、填空题(本题有6个小题.每小题4分，共24分)
11．（2025九上·海宁期中）从，0，这三个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是　 　．
12．（2025九上·海宁期中）一个扇形的面积为，半径为6，则该扇形的圆心角的度数为　 　．
13．（2025九上·海宁期中）如图，圆周角，则圆心角的度数是为　 　．
14．（2025九上·海宁期中）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝　 　
15．（2025九上·海宁期中）如图，在正五边形中，点是的中点，连接与交于点，则　 　．
16．（2025九上·海宁期中）如图，四边形内接于，，，，则的半径长为　 　．
三、解答题(本大题共8个小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23 题每题10分, 第24题12分, 共66分)
17．（2025九上·海宁期中）已知二次函数．
（1）求出此二次函数图象的顶点坐标．
（2）求出y随x的增大而减小时，x的取值范围．
18．（2025九上·海宁期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：．
19．（2025九上·海宁期中）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有四张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，4，5，将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录下数字后，乙再从余下的牌中随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，列出两人抽取数字的所有结果；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
20．（2025九上·海宁期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径．
（2）求弧AD的长．
21．（2025九上·海宁期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 　 　；（保留π）
（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径r.
22．（2025九上·海宁期中）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．
23．（2025九上·海宁期中）已知二次函数其中．
（1）若二次函数经过，求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求的取值范围．
24．（2025九上·海宁期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-6x+6与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心、2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若点P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD=90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕点A顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点B'的坐标；
②求FD长度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=（x-2）2-4的对称轴是直线x=2.
故答案为：B.
【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2-k，其中对称轴为直线x=h，据此解答.
2．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：取出黑球的概率为 ＝ .
故答案为：B.
【分析】利用黑球的个数除以球的总数可得对应的概率.
3．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：3.
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将函数y=3x2的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，
可得 y=3(x-2)2+4 ．
故答案为：.D
【分析】根据函数图象平移的法则，左加右减，上加下减，即可得解．
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2-4x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大
∴C(-4，y3)关于称轴是直线x=1的对称点是(6，y3)，
∵2<3<6，
∴y3>y2>y1，
故选：D.
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再求出各点关于对称轴的对称点，比较对称点的横坐标大小，根据二次函数的增减性得出y值大小关系.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；等圆、等弧的概念；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故正确；
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等或互补，故错误；
④同弧或等弧所对的弦相等；故正确；
正确的有2个
故选：C.
【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、垂径定理及其推理分别判断后即可确定正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当k=0时，函数y=kx2-7x-7是一次函数，
解析式为：y=-7x-7，
此时图象和x轴有交点，
即k=0满足要求；
当k≠0时，函数y=kx2-7x-7是二次函数图象与x轴有公共点，
∴一元二次方程kx2-7x-7=0的Δ=b2-4ac≥0，
即：(-7)2-4k·(-7)≥0，
解得且k≠0，
综上：则k的取值范围是
故选：C.
【分析】分情况讨论，当k=0时，函数y=kx2-7x-7是一次函数，为：y=-7x-7，此时图象和x轴有交点；当k≠0时，函数y=kx2-7x-7是二次函数图象与x轴有公共点，说明一元二次方程kx2-7x-7=0的Δ=b2-4ac≥0，建立一个关于k的不等式，解不等式即可.
8．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，
∴ = ，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°﹣40°=50°．
故选D．
【分析】先根据垂径定理得到 = ，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，过D作DH⊥OA于H，
∵∠AOB=90°，D是的中点，
∴∠AOD=∠BOD=45°
∵OD=OA=2，
∴
∵C是OA的中点，
∴OC=1.
∴阴影部分的面积=S扇形DOB+S△CDO-S△BCO
故选：C.
【分析】连接OD，过D作DH⊥OA于H，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①将A、B两点坐标代入抛物线y=ax2+b +c中，
则：
解得：，故①正确；
②∵|x1-2|-|x2-2|>0，即|x1-2|>|x2-2|，
∴x1距离x=2比x2距离x=2更远，如图：
从图中可以看出x距离x=2越远对应的函数值越小，
故y1故②错误；
③∵a<0，
设C(x3，0)、D(x4，0)，
则由根与系数的关系得：x3+x4= 4，
∴
解得：
故③正确；
④由题意知：x = 4时，y= 3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，
∴y对应得整数值为：3，4，5，
则x = 3时对应的函数值y的取值范围为：5≤9a-12a+3<6，
解得：
故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】把AB两点的坐标代入函数解析式即可判断①正确；由平行于坐标轴直线上两点之间的距离的几何意义即可判断②；由于C、D是抛物线与x轴的交点，有根与系数的关系和CD≤6，可以判断③；x=4时，y=3，3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，y对应得整数值为：3，4，5，结合图象，可以判断④.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从，0，π，这三个数中随机抽取一个数，
抽到的无理数的有，π这2种可能，
则恰好是无理数的概率是
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式计算得出答案.
12．【答案】30°
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的圆心角的度数为n°
由题意得，
解得n=30，
该扇形的圆心角的度数为30°
故答案为：30°.
【分析】设该扇形的圆心角的度数为n°，根据扇形面积计算公式可得，解方程即可得到答案.
13．【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，
∵四边形APBC为☉O的内接四边形，
∴∠P+∠ACB=180°
∴∠P=180°-130°=50°
∴∠AOB=2∠P=100°
故答案为：100°.
【分析】作所对的圆周角∠APB，如图，先利用圆内接四边形的性质得到∠P=50°，然后根据圆周角定理得到∠AOB的度数.
14．【答案】5
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】已知二次函数 ，当 时的函数值与 时的函数值相等，由此可得二次函数图象的对称轴为 ，即 ，可得 ．
【分析】根据x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴，据此可得m的值．
15．【答案】126
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形
∴BE=BD，DE=DC，∠CDE=108°
∴∠DCE=∠DEC=36°
∵BE=BD，DF=EF.
∴BF⊥DE，
∴∠BFE=90°
∴∠CGF=∠GFE+∠GEF=90°+36°=126°
故答案为：126.
【分析】连接BE，BD，求出∠DEC=36°，∠BFE=90°可得结论.
16．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，连接CO并延长交☉O于点F，连接AF，如图所示：
则∠ACE=90°
∵∠BAC=45°
∴△ACE是等腰直角三角形
∴AC=EC，∠E=45°
∴∠CAD=∠E=45°
∵四边形ABCD内接于☉O
∴∠D=∠CBE
在△CAD和△CBE中，
∴△CAD≌△CBE(AAS)
∴AD=BE.
∵AB+AD=6，
∴AE=AB+BE=AB+AD=6
在Rt△ACE中，AC=EC，
由勾股定理得：，
∴
∵CF是☉O的直径，
∴∠CAF=90°
在Rt△CAF中，∠F=∠ABC=60°
∴∠ACF=30°
∴，
由勾股定理得：CF2-AF2=AC2
∴
∴
∴☉O的半径长为.
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，连接CO并延长交☉O于点F，连接AF，证明△ACE是等腰直角三角形得AC=EC，∠E=45°，由此可证明△CAD和△CBE全等，则AD=BE，进而得AE=AB+AD=6，则，然后在Rt△CAF中，根据∠F=∠ABC=60°得∠ACF=30°，则，进而根据勾股定理可求出，由此可得☉O的半径长.
17．【答案】（1）解：∵y=x2-4x+5=(x-2)2+1
∴顶点坐标为(2，1)
（2）解：∵y=x2-4x+5=(x-2)2+1
∴对称轴为x=2，
∵开口向上，
∴当x<2时，y随x的增大而减小，
故y随必的增大而减小时，必的取值范围是x<2
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)化成顶点式即可求得顶点坐标；
(2)根据函数的图象的顶点坐标确定其对称轴，然后结合其开口方向确定其增减性.
18．【答案】证明：∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA
∴
∴
∴
∴AE=BF
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可.
19．【答案】（1）解：列表如下：
　 2 3 4 5
2 　 (3，2) (4，2) (3，2)
3 (2，3) 　 (4，3) (5，3)
4 (2，4) (3，4) 　 (5，4)
5 (2，5) (3，5) (4，5) 　
（2）解：可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相同，
记“两人抽取的数字和为2的倍数”为事件A，有(4，2)，(5，3)，(2，4)，(3，5)四种结果，
∴
记“两人抽取的数字和为了的倍数”为事件B，有(4，2)，(2，4)，(5，4)，(4，5)四种结果，
∴
∵P(A)=P(B)，
∴这个游戏是公平的
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】(1)根据列表得出所有等可能的情况数；
(2)求出甲乙两人获胜的概率，比较即可作出判断.
20．【答案】（1）解：∵AB是☉O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ACD和∠ABD是所对的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD=30°
∴AB=2AD=2×4=8(cm)，
即☉O的直径是8cm
（2）解：如图所示，连接OD，作OE⊥AD交AD于点E.
由题意知，∠AOD=2∠ACD=2×30°=60°，OA=OD，
∴△AOD是等边三角形
∴OA=OD=AD=4(cm)，
∴的长(cm)
∵OE⊥AD，OA=OD，
∴(cm)，
∴(cm)
∴(cm2)
又∵(cm2)
∴阴影面积(cm2)
即的长为cm，阴影面积为cm2
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质可知AB=2AD；
(2)利用圆周角定理推出∠AOD=2∠ACD=2×30°=60°，再根据弧长公式即可求出的长；利用所在扇形的面积减去△AOD的面积即为阴影部分的面积.
21．【答案】（1）解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）12π
（3）解：连接AO、BC相交于点D，连接OB，
∵BC=8，
∴BD =4，
∵AB =5，
∴AD =3，
∵该轮的半径为R，
在Rt△BOD中，OD=R-3，
∴R2=42+(R-3)2，
解得：
∴该轮的半径R为
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：(2)扇形BOC的面积
故答案为：12π.
【分析】(1)作线段AB和线段AC的垂直平分线，交点即为圆心O；
(2)连接OC、OB，利用扇形面积公式直接计算即可得到答案；
(3)连接CB，交AO于点D，根据垂径定理得到BD=4，利用勾股定理求出AD，在△BOD中，由勾股定理得到BD2+OD2=OB2，42+(R-3)2=R2，求解即可.
22．【答案】（1）解：△BDE为等腰直角三角形
理由：
∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD， ∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠BED=∠DBE.
∴BD = ED
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90
∴△BDE是等腰直角三角形
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD.
∴BD= DC.
∵OB=OC.
∴OD 垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴AB=10，
∴OB=OD=5.
设OF=t，则DF=5-t.
在Rt△BOF和Rt△BDF中，
解得 t=3，
∴BF=4
∴BC=8
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)由角平分线的定义可知，∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠EBC，所以∠BED=∠DBE，所以 BD=ED，因为AB为直径，所以∠ADB=90°，所以△BDE是等腰直角三角形；
(2)连接OC、CD、OD，OD交BC于点F，因为∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD，所以BD=DC，因为OB=OC、所以OD垂直平分BC，由△BDE是等腰直角三角形，，可得，因为OB=OD=5，设OF=t，则DF=5-t，在Rt△BOF和Rt△BDF中，，解出t的值即可.
23．【答案】（1）解：把(-1，6)代入函数解析式得
m+2m+3=6
∴m=1.
∴函数解析式为：y=x2-2x+3
（2）解：∵抛物线开口方向向上
∴m>0
∵y=mx2-2mx+3=m(x-1)2+3-m，
∴抛物线的顶点为(1，3-m)
∴当x<1时y随x增大而减小，
当x>1时，y随x增大而增大
∴最低点N(1，3-m)
∵当x=-1时，y=3m+3，
当x=2时，y=3，且m>0.
∴3m+3 >3.
∴最高点M(-1，3m+3)
∴3m+3=6.
∴m=1.
代入M点和N点坐标得：M(-1，6)，N(1，2)
（3）解：①当m>0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1y2，此时a+2≤1，
∴a≤-1.
②当m<0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1y2，
此时a≥1，
综上，当m>0时a≤-1；当m<0时，a≥1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)把(-1，6)点的坐标代入函数解析式中求出m即可；
(2)根据抛物线开口向上得m>0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标；
(3)分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围.
24．【答案】（1）解：直线AC：y=-6x+6，
x=0时，y=6，
∴C(0，6)
y=-5x+5=0时，解得：x=1，
∴A(1，0)
∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为y=x2-7x+6
（2）解：当y=x2-7x+6=0时，
解得：x1=1，x2=6，
∴B(6，0).
∴直线BC的解析式为：y=-x+6，
设M(m，m2-7m+6)，则N为(m，-m+6)
∴MN=-m+6-(m2-7m+6)=-m2+6m=-(m-3)2+9.
∴当M运动到(3，-6)时，线段MN的长度最大为9.
（3）解：①B'(1，-5)
②∵BF=2.
∴F(8，0)
∴，
∴DF的最大值为，DF的最小值为，
∴.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-SAS；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：(3)①∵A(1，0)，B(6，0)
∴AB=6-1=5.
将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD=90°，∠PAB+∠BAD=90°
∴∠B'AD=∠PAB
∵AB=AB'， PA=AD
∴△ADB'≌△APB'(SAS)
∴BP=B'D
∴PB=2
∴B'D=2
∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，
∵B(6，0)，A(1，0)，
∴B'(1，-5)
故答案为：B'(1，-5).
【分析】(1)由直线y=-6x+6求点A、C坐标，再用待定系数法求抛物线解析式；
(2)令y=0可得点B的坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式，设M(m，m2-7m+6)，则N为(m，-m+6)，计算MN的长，配方后可得点M的坐标和MN的最大值；
(3)①计算AB=4，根据旋转的性质可得B点的对应点的坐标为(1，-5)；
②作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△B'AD(SAS)，确定点D在以B'为圆心，以2为半径的圆上运动，如图确定DF的最大值和最小值，从而得结论.
1 / 1

展开更多......

收起↑