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浙江省宁波市前湾新区初级中学2025-2026学年上学期八年级期中测试数学试题
1．（2025八上·宁波期中）亚运会是一场规模盛大的体育盛事，下列亚运会会标中，是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，逐项判断即可.
2．（2025八上·宁波期中）下列命题是真命题的是(　　)
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：全等三角形的定义是：完全重合的两个三角形全等，根据此定义即知选项C正确，其余选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据两个三角形全等的定义即可判断.
3．（2025八上·宁波期中） 如图，在△ABD中，∠D=80°，点C为边BD上一点，连接AC.若∠ACB=115°， 则∠CAD=(　　)
A．25° B．35° C．30° D．45°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠D=80°，∠ACB=115°，∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB=∠D+∠CAD.
∴∠CAD=∠ACB-∠D=35°
故选：B.
【分析】利用三角形的外角性质即可求解.
4．（2025八上·宁波期中）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是(　　)
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，此选项不符合题意；
B、，不能构成三角形，此选项不符合题意；
C、，不能构成三角形，此选项符合题意；
D、，不能构成三角形，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由题意，先计算各选项中较短两边的和并于第三边比较大小，根据三角形的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”即可判断求解．
5．（2025八上·宁波期中）若等腰三角形的两边长分别是4和8，则它周长是(　　)
A．16 B．20 C．24 D．16或 20
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当三边长是4，4，8时，4+4=8，不符合三角形的三边关系；
当三边长是8，8，4时，符合三角形的三边关系，此时周长是8+8+4=20.
因此等腰三角形的周长为20.
故选：B.
【分析】分两种情况：当4为腰长，8为底边长时，不符合三角形三边关系，该三角形不存在；当8为腰长，4为底边长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长.
6．（2025八上·宁波期中） 如图， 在△ABC中， ∠B=35°，∠C=50°， 分别以点A，C为圆心， 大于 的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是(　　)
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=35°，∠C=50°，
则∠BAC=180°-∠B-∠C=95°
根据线段垂直平分线的性质，得PA=PC，
∴∠PAC=∠C=50°
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=95°-50°=45°
故选：C.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PC，进而得出∠PAC=∠C=50°，结合图形计算，得到答案.
7．（2025八上·宁波期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是 (　　)
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．
C．∠C=∠A-∠B D．a：b：c=7：24：25
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，
∴x=15°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°
∴△ABC不是直角三角形，
故该选项符合题意；
B.b2=(a+c)(a-c)=a2-c2，
即b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形
故该选项不符合题意；
C.∵∠C=∠A-∠B，
∴∠A+∠B+∠C=2∠A=180°
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形
故该选项不符合题意；
D.设a=7x，b=24x，c=25x，
∵a2+b2=(7x)2+(24x)2=625x2=c2，
∴△ABC是直角三角形
故该选项不符合题意，
故选：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐项分析判断即可.
8．（2025八上·宁波期中） 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， 用尺规作图法作出射线AE， AE交BC于点D， CD=5， P为AB上一动点，则PD的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小.
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵∠C=90°
∴DC⊥AC
∵DP⊥AB，
∴DP=CD=5
∴PD的最小值为5.
故选：D.
【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小，再根据角平分线的性质定理可得DP=CD解决问题.
9．（2025八上·宁波期中） 如图， Rt△ABC中，. ，AD为BC边上的高， E，F为AC， AB上的点，. 若BF+CE=4， 则 的面积为(　　)
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=45°
∵AD为BC边上的高，
∴，
∴∠DAE=∠B=45°
∵DE⊥DF，AD为BC边上的高
∴∠EDF=∠ADB=90°.
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠BDF
∴∠ADE=∠BDF.
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE △BDF(ASA)
∴AE=BF.
∵BF+CE=4
∴AE+CE=4
即AC=4
∴AB=AC=4
∴△ABC的面积为：
故选：B.
【分析】根据等腰直角三角形性质得AD=BD=CD，∠DAE=∠B=45°，证明∠ADE=∠BDF，进而可依据“ASA”判定△ADE和ABDF全等得AE=BF，AE+CE=AC=4，然后根据三角形面积公式即可得出△ABC的面积.
10．（2025八上·宁波期中） 如图，等边△ABC中， BD平分∠ABC，点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD=6，BP=AQ=8，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为(　　)
A．22 B．20 C．16 D．14
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴BA=BC，D为AC中点
∵AQ=8，QD=6.
∴AD=DC=AQ+QD=14.
作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，如图，
此时PE+EQ的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ’
∵AQ=8，AD=DC=14
∴QD=DQ'=6，
∴CQ'=BP=8
∴AP=AQ'=20
∵∠A=60°
∴△APQ'是等边三角形
∴PQ'=PA=20.
∴PE+QE的最小值为20
故选：B.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'.
11．（2025八上·宁波期中）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　 　命题(填“真”或“假”).
【答案】真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题，
故答案为：真.
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假.
12．（2025八上·宁波期中） 如图， 已知△ABC≌△ADE， 点E在BC上， ∠ABC=30°， ∠AED=65°， 则. 　 　 .
【答案】35
【知识点】全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC △ADE.
∴AE=AC，∠C=∠AED=65°
∴∠AEC=∠C=65°
∴∠BAE=∠AEC-∠ABC=35°
故答案为：35.
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C，根据三角形的外角性质计算，得到答案.
13．（2025八上·宁波期中）判断命题“对于任何实数a，都有 是假命题，只需举一个反例，反例中a的值可以是　 　.(填写一个符合条件的a的值).
【答案】-2(答案不唯一)
【知识点】举反例判断命题真假；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：当a=-2时，|a|=-a，说明命题“对于任何实数a，|a|>a”是假命题，
故答案为：-2(答案不唯一).
【分析】根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可.
14．（2025八上·宁波期中）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记。仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步(即CD的长为10尺)，秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为　 　尺.
【答案】14.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA的长为x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺
∴EA=EC-AC=5-1=4尺
在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺
由勾股定理得：102+(x-5+1)2=x2，
解得：x=14.5
答：秋千绳索(OA或OB)的长度为14.5尺，
故答案为：14.5.
【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解.
15．（2025八上·宁波期中）如图，在△ABC中，AB=AC， D为BC上的一点，∠BAD=25°，在AD的右侧作 使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE， DE交AC于点O， 若CE∥AB， 则∠DOC的度数为　 　.
【答案】95°
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠DAC
∴∠CAE=∠BAD.
在△ACE和△ABD中
∴△ACE △ABD(SAS)
∴∠ACE=∠B，
∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAC
∴∠B=∠BAC
∴BC=AC，
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形
∴∠DAE=∠BAC=60°
∵AE=AD.
∴△ADE是等边三角形
∴∠ADE=60°
∵∠BAD=25°
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=35°
∴∠DOC=∠DAC+∠ADE=95°
故答案为：95°.
【分析】先证明∠CAE=∠BAD，进而可依据“SAS”判定△ACE和△ABD全等，则∠ACE=∠B，再根据CE//AB得∠ACE=∠BAC，则∠B=∠BAC，进而得BC=AC，由此可判定△ABC是等边三角形，则∠DAE=∠BAC=60°，从而得△ADE是等边三角形，则∠ADE=60°，再求出∠DAC=35°，即可得出∠DOC的度数.
16．（2025八上·宁波期中） 如图， 一副三角板如图叠放， ∠C=∠DFE=90°， ∠A=30°，∠D=45°，AC=DE， AC，DE互相平分于点O， 点F在边AB上， 边AC，EF交丁点H， 边AB，DE交于点G. 则 　 　.若GF=a， 则AH=　 　(用含a的代数式表示).
【答案】75°；
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OF，
∵∠DFE=90°，∠D=45°，
∴∠E=∠D=45°
∴DF=EF，
∵AC=DE，AC，DE互相平分于点O，
∴，
∴OD=OA，，
∴OF=OA
∴∠OFA=∠A=30°
∴∠AFE=∠OFA+∠OFE=30°+45°=75°
∵DF=EF，OD=OE，
∴OF⊥DE，
∴∠GOF=90°
∵∠OFG=30°
∴，∠OGF=90°-∠OFG=60°
∴∠GOA=∠OGF-∠A=60°-30°=30°
∴∠GOA=∠A，
∴
∵∠AFE=75°，∠A=30°，
∴∠AHF=180°-∠AFE-∠A=180°-75°-30°=75°，
∴∠AHF=∠AFE，
∴
故答案为：75；.
【分析】连接OF，由∠DFE=90°，∠D=45°，得∠E=∠D=45°，则DF=EF，由AC=DE，AC，DE互相平分于点O，推导出OD=OA，，，则OF=OA，所以∠OFA=∠A=30°，进而即可求解；
由DF=EF，OD=OE，证明OF⊥DE，则∠GOF=90°，而∠OFG=30°，所以，再证明∠GOA=∠A=30°，则，由∠AFE=75°，∠A=30°，求得∠AHF=75°，则∠AHF=∠AFE，进而即可求解.
17．（2025八上·宁波期中） 如图： 已知 ∠B=∠C， ∠1=∠2， AD=AE ， 求证： BD=CE .
【答案】证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠CAE=∠BAD
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(AAS)
∴BD=CE
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先根据∠1=∠2，求出∠CAE=∠BAD，再根据AAS证明△ABD≌△ACE，进而即可得出结论.
18．（2025八上·宁波期中）如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形（图1，图2，图3中所作的图形不全等）．
【答案】解：如下图即为所求作
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】轴对称图形是指沿某条直线折叠后能够完全重合的一个图形．
19．（2025八上·宁波期中） 如图， 在△ABC中， BE平分∠ABC， DE∥BC.
（1）请判断△BDE的形状，并说明理由：
（2）若∠A=55°， ∠C=70°， 求∠BDE的度数.
【答案】（1）解：△BDE是等腰三角形，
理由：∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE
∵DE//BC，
∴∠DEB=∠CBE
∴∠ABE=∠DEB
∴BD=DE.
∴△BDE是等腰三角形
（2）解：∵∠A=55°，∠C=70°
∴∠ABC=180°-55°-70°=55°
∵DE//BC.
∴∠BDE+∠ABC=180°
∴∠BDE=180°-∠ABC=180°-55°=125°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据BE平分∠ABC，DE//BC，可知∠ABE=∠DEB，所以BD=DE，从而可知△BDE是等腰三角形；
(2)根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案.
20．（2025八上·宁波期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD为△ABC的中线， BE⊥AC， 垂足为点E，点F为AB中点， 连接EF， FD， DE.
（1）求证： EF=FD.
（2）已知∠BAC=50°， 求∠FED的度数.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD为BC上的中线
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.
∴△ABD是直角三角形，
∵点F为AB中点
∴
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°
∴△ABE是直角三角形
∵点F为AB中点
∴
∴EF=FD
（2）解：∵∠BAC=50°，∠BAD=∠CAD.
∴∠BAD=∠CAD=25°
∴∠ADB=90°
∴∠ABC=65°
由(1)知FD=AF=BF
∴∠ADF=∠BAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AC//DF
∵BE⊥AC
∴BE⊥DF
∵EF=DF=BF
∴DF垂直平分BE
∴BD=DE.
∴∠EBD=∠BED，∠FBE=∠FEB
∴∠FED=∠FEB+∠BED=∠ABC=65°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质推出△ABD是直角三角形，由直角三角形的性质得到，再根据BE⊥AC，得到△ABE是直角三角形，同理得到，即可得出结论；
(2)由直角三角形的性质求出∠ABC=65°，由(1)知FD=AF=BF，得到∠ADF=∠BAD，进而推出∠ADF=∠CAD，得到AC//DF，结合BE⊥AC，推出BE⊥DF，再根据EF=DF=BF，推出DF垂直平分BE，得到BD=DE，即∠EBD=∠BED，∠FBE=∠FEB，再根据∠FED=∠FEB+∠BED=∠ABD，即可解答.
21．（2025八上·宁波期中）如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门.门槛AB长为250cm，AD，BC分别为左右门扇的底部门宽，且AD=BC，关上门时，C与D重合。阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置(平面示意图)，这时阳光正好垂直照射向门槛AB，因门的遮挡，在门槛上留下三线段AF、FH、HB，只有线段FH晒到太阳， 且AF： FH： HB=24： 11： 15， 求此时C、D间的距离.
【答案】解：如图，作DE⊥CH于点E，
∵AF：FH：HB=24：11：15，AB=250cm，
∴(cm)，(cm)，(cm)
∵AD=BC=125cm，
∴(cm)，(cm)，
∴CE=100-35=65(cm)
∴(cm)
【知识点】勾股定理的应用；比例线段
【解析】【分析】作DE⊥CH于点E，根据AF：FH：HB=24：11：15，AB=250cm，可得AF=120cm，FH=55cm，HB=75cm，进而根据勾股定理即可求解.
22．（2025八上·宁波期中） 已知： 如图， 在四边形ABCD中， ∠ABC=90°， CD=7， AD=24， 点E是AC中点， 连结BE， DE， BD，且BE=12.5.
（1） 求证： ∠ADC=90°.
（2） 若∠BAD=30°， 求证： △BDE是等边三角形.
【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，点E是AC中点，BE=12.5，
∴AC=2BE=25.
∵CD2+AD2=72+242=252=AC2
∴∠ADC=90°
（2）解：∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC中点
∴AE=BE=DE.
∴∠ABE=∠BAE，∠DAE=∠ADE
∴∠BEC=∠BAE+∠ABE=2∠BAE
∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE.
∴∠BED=∠BEC+∠DEC=2∠BAE+2∠DAE
∴△BDE是等边三角形
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质和勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据直角三角形斜边上的中线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定定理即可得到结论.
23．（2025八上·宁波期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连结BE交点AD于点F，BF=AC，DF=DC.
（1）求证：△BDF≌△ACD.
（2）求证：BE⊥AC.
（3）若BD=4，CD=3，求 BE 的长.
【答案】（1）证明：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL).
（2）证明：∵Rt△ADC≌Rt△BDF，
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∴∠CEB=90°，
∴BE⊥AC.
（3）解： =3，
BC=BD+CD=4+3=7，
，
∵
∴.
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应角的关系；等积变换
【解析】【分析】(1)由“HL”证明两三角形全等即可；
(2)由全等三角形的性质可得∠C=∠BFD，由余角的性质可求解.
(3)根据全等三角形的对应边相等得到AD=BD，然后根据勾股定理求出AC长，然后根据，解答即可.
24．（2025八上·宁波期中） 如图1， 等腰三角形ABC中， AD是BC边上的中线， 延长BC至点E， 使AD=DE， 连结AE.
（1）求证：△ADE是等腰直角三角形.
（2）如图2，过点B作AC的垂线交AE于点P，试判断△ABP的形状，并说明理由.
（3）如图3， 在(2)的基础上， AD=4， 连结CP， 若△CPE是直角三角形， 求CE的长.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°
又∵AD=DE，
∴△ADE是等腰直角三角形
（2）解：△ABP是等腰三角形，
理由：
∵∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠DCA=90°
∵BP⊥AC，
∴∠PBE+∠DCA=90°
∴∠CAD=∠PBE，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAD=∠PBE
∵△ADE是等腰直角三角形
∴∠DAE=∠E=45°
∴∠BAD+∠DAE=∠PBE+∠，E即∠BAP=∠BPA，
∴BA=BP
∴△ABP是等腰三角形
（3）解：分两种情况：①∠PCE=90°，
在△ABD和△BPC中，
∴△ABD △BPC(AAS)
∴BC=AD=4.
设CE=x，则CD=4-x，BD=4-x，BC=8-2x，
∴8-2x=4
解得x=2，即CE=2；
②∠CPE=90°，
作PF⊥CE，同理可证△ABD △BPF(AAS)
∴BF=AD=4，
设EF=x，则CF=x，CD=4-2x，BD=4-2x，BC=8-4x，BF=8-3x，
∴8-3x=4.
解得
∴
综上所述，EC的长为2或
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)证出∠ADC=90°，则可得出结论；
(2)证明∠BAP=∠BPA，由等腰三角形的判定可得出结论；
(3)分两种情况，由直角三角形的性质可行最出答案.
1 / 1浙江省宁波市前湾新区初级中学2025-2026学年上学期八年级期中测试数学试题
1．（2025八上·宁波期中）亚运会是一场规模盛大的体育盛事，下列亚运会会标中，是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．（2025八上·宁波期中）下列命题是真命题的是(　　)
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等
3．（2025八上·宁波期中） 如图，在△ABD中，∠D=80°，点C为边BD上一点，连接AC.若∠ACB=115°， 则∠CAD=(　　)
A．25° B．35° C．30° D．45°
4．（2025八上·宁波期中）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是(　　)
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（2025八上·宁波期中）若等腰三角形的两边长分别是4和8，则它周长是(　　)
A．16 B．20 C．24 D．16或 20
6．（2025八上·宁波期中） 如图， 在△ABC中， ∠B=35°，∠C=50°， 分别以点A，C为圆心， 大于 的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是(　　)
A．35° B．40° C．45° D．50°
7．（2025八上·宁波期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是 (　　)
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．
C．∠C=∠A-∠B D．a：b：c=7：24：25
8．（2025八上·宁波期中） 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， 用尺规作图法作出射线AE， AE交BC于点D， CD=5， P为AB上一动点，则PD的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2025八上·宁波期中） 如图， Rt△ABC中，. ，AD为BC边上的高， E，F为AC， AB上的点，. 若BF+CE=4， 则 的面积为(　　)
A．4 B．8 C．12 D．16
10．（2025八上·宁波期中） 如图，等边△ABC中， BD平分∠ABC，点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD=6，BP=AQ=8，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为(　　)
A．22 B．20 C．16 D．14
11．（2025八上·宁波期中）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　 　命题(填“真”或“假”).
12．（2025八上·宁波期中） 如图， 已知△ABC≌△ADE， 点E在BC上， ∠ABC=30°， ∠AED=65°， 则. 　 　 .
13．（2025八上·宁波期中）判断命题“对于任何实数a，都有 是假命题，只需举一个反例，反例中a的值可以是　 　.(填写一个符合条件的a的值).
14．（2025八上·宁波期中）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记。仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步(即CD的长为10尺)，秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为　 　尺.
15．（2025八上·宁波期中）如图，在△ABC中，AB=AC， D为BC上的一点，∠BAD=25°，在AD的右侧作 使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE， DE交AC于点O， 若CE∥AB， 则∠DOC的度数为　 　.
16．（2025八上·宁波期中） 如图， 一副三角板如图叠放， ∠C=∠DFE=90°， ∠A=30°，∠D=45°，AC=DE， AC，DE互相平分于点O， 点F在边AB上， 边AC，EF交丁点H， 边AB，DE交于点G. 则 　 　.若GF=a， 则AH=　 　(用含a的代数式表示).
17．（2025八上·宁波期中） 如图： 已知 ∠B=∠C， ∠1=∠2， AD=AE ， 求证： BD=CE .
18．（2025八上·宁波期中）如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形（图1，图2，图3中所作的图形不全等）．
19．（2025八上·宁波期中） 如图， 在△ABC中， BE平分∠ABC， DE∥BC.
（1）请判断△BDE的形状，并说明理由：
（2）若∠A=55°， ∠C=70°， 求∠BDE的度数.
20．（2025八上·宁波期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD为△ABC的中线， BE⊥AC， 垂足为点E，点F为AB中点， 连接EF， FD， DE.
（1）求证： EF=FD.
（2）已知∠BAC=50°， 求∠FED的度数.
21．（2025八上·宁波期中）如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门.门槛AB长为250cm，AD，BC分别为左右门扇的底部门宽，且AD=BC，关上门时，C与D重合。阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置(平面示意图)，这时阳光正好垂直照射向门槛AB，因门的遮挡，在门槛上留下三线段AF、FH、HB，只有线段FH晒到太阳， 且AF： FH： HB=24： 11： 15， 求此时C、D间的距离.
22．（2025八上·宁波期中） 已知： 如图， 在四边形ABCD中， ∠ABC=90°， CD=7， AD=24， 点E是AC中点， 连结BE， DE， BD，且BE=12.5.
（1） 求证： ∠ADC=90°.
（2） 若∠BAD=30°， 求证： △BDE是等边三角形.
23．（2025八上·宁波期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连结BE交点AD于点F，BF=AC，DF=DC.
（1）求证：△BDF≌△ACD.
（2）求证：BE⊥AC.
（3）若BD=4，CD=3，求 BE 的长.
24．（2025八上·宁波期中） 如图1， 等腰三角形ABC中， AD是BC边上的中线， 延长BC至点E， 使AD=DE， 连结AE.
（1）求证：△ADE是等腰直角三角形.
（2）如图2，过点B作AC的垂线交AE于点P，试判断△ABP的形状，并说明理由.
（3）如图3， 在(2)的基础上， AD=4， 连结CP， 若△CPE是直角三角形， 求CE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：全等三角形的定义是：完全重合的两个三角形全等，根据此定义即知选项C正确，其余选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据两个三角形全等的定义即可判断.
3．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠D=80°，∠ACB=115°，∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB=∠D+∠CAD.
∴∠CAD=∠ACB-∠D=35°
故选：B.
【分析】利用三角形的外角性质即可求解.
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，此选项不符合题意；
B、，不能构成三角形，此选项不符合题意；
C、，不能构成三角形，此选项符合题意；
D、，不能构成三角形，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由题意，先计算各选项中较短两边的和并于第三边比较大小，根据三角形的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”即可判断求解．
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当三边长是4，4，8时，4+4=8，不符合三角形的三边关系；
当三边长是8，8，4时，符合三角形的三边关系，此时周长是8+8+4=20.
因此等腰三角形的周长为20.
故选：B.
【分析】分两种情况：当4为腰长，8为底边长时，不符合三角形三边关系，该三角形不存在；当8为腰长，4为底边长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=35°，∠C=50°，
则∠BAC=180°-∠B-∠C=95°
根据线段垂直平分线的性质，得PA=PC，
∴∠PAC=∠C=50°
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=95°-50°=45°
故选：C.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PC，进而得出∠PAC=∠C=50°，结合图形计算，得到答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，
∴x=15°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°
∴△ABC不是直角三角形，
故该选项符合题意；
B.b2=(a+c)(a-c)=a2-c2，
即b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形
故该选项不符合题意；
C.∵∠C=∠A-∠B，
∴∠A+∠B+∠C=2∠A=180°
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形
故该选项不符合题意；
D.设a=7x，b=24x，c=25x，
∵a2+b2=(7x)2+(24x)2=625x2=c2，
∴△ABC是直角三角形
故该选项不符合题意，
故选：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐项分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小.
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵∠C=90°
∴DC⊥AC
∵DP⊥AB，
∴DP=CD=5
∴PD的最小值为5.
故选：D.
【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小，再根据角平分线的性质定理可得DP=CD解决问题.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=45°
∵AD为BC边上的高，
∴，
∴∠DAE=∠B=45°
∵DE⊥DF，AD为BC边上的高
∴∠EDF=∠ADB=90°.
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠BDF
∴∠ADE=∠BDF.
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE △BDF(ASA)
∴AE=BF.
∵BF+CE=4
∴AE+CE=4
即AC=4
∴AB=AC=4
∴△ABC的面积为：
故选：B.
【分析】根据等腰直角三角形性质得AD=BD=CD，∠DAE=∠B=45°，证明∠ADE=∠BDF，进而可依据“ASA”判定△ADE和ABDF全等得AE=BF，AE+CE=AC=4，然后根据三角形面积公式即可得出△ABC的面积.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴BA=BC，D为AC中点
∵AQ=8，QD=6.
∴AD=DC=AQ+QD=14.
作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，如图，
此时PE+EQ的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ’
∵AQ=8，AD=DC=14
∴QD=DQ'=6，
∴CQ'=BP=8
∴AP=AQ'=20
∵∠A=60°
∴△APQ'是等边三角形
∴PQ'=PA=20.
∴PE+QE的最小值为20
故选：B.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'.
11．【答案】真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题，
故答案为：真.
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假.
12．【答案】35
【知识点】全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC △ADE.
∴AE=AC，∠C=∠AED=65°
∴∠AEC=∠C=65°
∴∠BAE=∠AEC-∠ABC=35°
故答案为：35.
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C，根据三角形的外角性质计算，得到答案.
13．【答案】-2(答案不唯一)
【知识点】举反例判断命题真假；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：当a=-2时，|a|=-a，说明命题“对于任何实数a，|a|>a”是假命题，
故答案为：-2(答案不唯一).
【分析】根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可.
14．【答案】14.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA的长为x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺
∴EA=EC-AC=5-1=4尺
在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺
由勾股定理得：102+(x-5+1)2=x2，
解得：x=14.5
答：秋千绳索(OA或OB)的长度为14.5尺，
故答案为：14.5.
【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解.
15．【答案】95°
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠DAC
∴∠CAE=∠BAD.
在△ACE和△ABD中
∴△ACE △ABD(SAS)
∴∠ACE=∠B，
∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAC
∴∠B=∠BAC
∴BC=AC，
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形
∴∠DAE=∠BAC=60°
∵AE=AD.
∴△ADE是等边三角形
∴∠ADE=60°
∵∠BAD=25°
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=35°
∴∠DOC=∠DAC+∠ADE=95°
故答案为：95°.
【分析】先证明∠CAE=∠BAD，进而可依据“SAS”判定△ACE和△ABD全等，则∠ACE=∠B，再根据CE//AB得∠ACE=∠BAC，则∠B=∠BAC，进而得BC=AC，由此可判定△ABC是等边三角形，则∠DAE=∠BAC=60°，从而得△ADE是等边三角形，则∠ADE=60°，再求出∠DAC=35°，即可得出∠DOC的度数.
16．【答案】75°；
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OF，
∵∠DFE=90°，∠D=45°，
∴∠E=∠D=45°
∴DF=EF，
∵AC=DE，AC，DE互相平分于点O，
∴，
∴OD=OA，，
∴OF=OA
∴∠OFA=∠A=30°
∴∠AFE=∠OFA+∠OFE=30°+45°=75°
∵DF=EF，OD=OE，
∴OF⊥DE，
∴∠GOF=90°
∵∠OFG=30°
∴，∠OGF=90°-∠OFG=60°
∴∠GOA=∠OGF-∠A=60°-30°=30°
∴∠GOA=∠A，
∴
∵∠AFE=75°，∠A=30°，
∴∠AHF=180°-∠AFE-∠A=180°-75°-30°=75°，
∴∠AHF=∠AFE，
∴
故答案为：75；.
【分析】连接OF，由∠DFE=90°，∠D=45°，得∠E=∠D=45°，则DF=EF，由AC=DE，AC，DE互相平分于点O，推导出OD=OA，，，则OF=OA，所以∠OFA=∠A=30°，进而即可求解；
由DF=EF，OD=OE，证明OF⊥DE，则∠GOF=90°，而∠OFG=30°，所以，再证明∠GOA=∠A=30°，则，由∠AFE=75°，∠A=30°，求得∠AHF=75°，则∠AHF=∠AFE，进而即可求解.
17．【答案】证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠CAE=∠BAD
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(AAS)
∴BD=CE
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先根据∠1=∠2，求出∠CAE=∠BAD，再根据AAS证明△ABD≌△ACE，进而即可得出结论.
18．【答案】解：如下图即为所求作
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】轴对称图形是指沿某条直线折叠后能够完全重合的一个图形．
19．【答案】（1）解：△BDE是等腰三角形，
理由：∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE
∵DE//BC，
∴∠DEB=∠CBE
∴∠ABE=∠DEB
∴BD=DE.
∴△BDE是等腰三角形
（2）解：∵∠A=55°，∠C=70°
∴∠ABC=180°-55°-70°=55°
∵DE//BC.
∴∠BDE+∠ABC=180°
∴∠BDE=180°-∠ABC=180°-55°=125°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据BE平分∠ABC，DE//BC，可知∠ABE=∠DEB，所以BD=DE，从而可知△BDE是等腰三角形；
(2)根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD为BC上的中线
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.
∴△ABD是直角三角形，
∵点F为AB中点
∴
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°
∴△ABE是直角三角形
∵点F为AB中点
∴
∴EF=FD
（2）解：∵∠BAC=50°，∠BAD=∠CAD.
∴∠BAD=∠CAD=25°
∴∠ADB=90°
∴∠ABC=65°
由(1)知FD=AF=BF
∴∠ADF=∠BAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AC//DF
∵BE⊥AC
∴BE⊥DF
∵EF=DF=BF
∴DF垂直平分BE
∴BD=DE.
∴∠EBD=∠BED，∠FBE=∠FEB
∴∠FED=∠FEB+∠BED=∠ABC=65°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质推出△ABD是直角三角形，由直角三角形的性质得到，再根据BE⊥AC，得到△ABE是直角三角形，同理得到，即可得出结论；
(2)由直角三角形的性质求出∠ABC=65°，由(1)知FD=AF=BF，得到∠ADF=∠BAD，进而推出∠ADF=∠CAD，得到AC//DF，结合BE⊥AC，推出BE⊥DF，再根据EF=DF=BF，推出DF垂直平分BE，得到BD=DE，即∠EBD=∠BED，∠FBE=∠FEB，再根据∠FED=∠FEB+∠BED=∠ABD，即可解答.
21．【答案】解：如图，作DE⊥CH于点E，
∵AF：FH：HB=24：11：15，AB=250cm，
∴(cm)，(cm)，(cm)
∵AD=BC=125cm，
∴(cm)，(cm)，
∴CE=100-35=65(cm)
∴(cm)
【知识点】勾股定理的应用；比例线段
【解析】【分析】作DE⊥CH于点E，根据AF：FH：HB=24：11：15，AB=250cm，可得AF=120cm，FH=55cm，HB=75cm，进而根据勾股定理即可求解.
22．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，点E是AC中点，BE=12.5，
∴AC=2BE=25.
∵CD2+AD2=72+242=252=AC2
∴∠ADC=90°
（2）解：∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC中点
∴AE=BE=DE.
∴∠ABE=∠BAE，∠DAE=∠ADE
∴∠BEC=∠BAE+∠ABE=2∠BAE
∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE.
∴∠BED=∠BEC+∠DEC=2∠BAE+2∠DAE
∴△BDE是等边三角形
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质和勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据直角三角形斜边上的中线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定定理即可得到结论.
23．【答案】（1）证明：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL).
（2）证明：∵Rt△ADC≌Rt△BDF，
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∴∠CEB=90°，
∴BE⊥AC.
（3）解： =3，
BC=BD+CD=4+3=7，
，
∵
∴.
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应角的关系；等积变换
【解析】【分析】(1)由“HL”证明两三角形全等即可；
(2)由全等三角形的性质可得∠C=∠BFD，由余角的性质可求解.
(3)根据全等三角形的对应边相等得到AD=BD，然后根据勾股定理求出AC长，然后根据，解答即可.
24．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°
又∵AD=DE，
∴△ADE是等腰直角三角形
（2）解：△ABP是等腰三角形，
理由：
∵∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠DCA=90°
∵BP⊥AC，
∴∠PBE+∠DCA=90°
∴∠CAD=∠PBE，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAD=∠PBE
∵△ADE是等腰直角三角形
∴∠DAE=∠E=45°
∴∠BAD+∠DAE=∠PBE+∠，E即∠BAP=∠BPA，
∴BA=BP
∴△ABP是等腰三角形
（3）解：分两种情况：①∠PCE=90°，
在△ABD和△BPC中，
∴△ABD △BPC(AAS)
∴BC=AD=4.
设CE=x，则CD=4-x，BD=4-x，BC=8-2x，
∴8-2x=4
解得x=2，即CE=2；
②∠CPE=90°，
作PF⊥CE，同理可证△ABD △BPF(AAS)
∴BF=AD=4，
设EF=x，则CF=x，CD=4-2x，BD=4-2x，BC=8-4x，BF=8-3x，
∴8-3x=4.
解得
∴
综上所述，EC的长为2或
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)证出∠ADC=90°，则可得出结论；
(2)证明∠BAP=∠BPA，由等腰三角形的判定可得出结论；
(3)分两种情况，由直角三角形的性质可行最出答案.
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