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福建省厦门市2025年高中自主招生考试数学试卷
1．（2025·厦门自主招生）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（　　）
A．3个都是正品 B．至少有1个是次品
C．3个都是次品 D．至少有1个是正品
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：∵次品总数为2个，
∴抽取3个产品时，最多只能抽取到2个次品，
∴至少有一个正品，
∴ “至少有1个是正品”是必然事件；选项A和B是随机事件，选项C是不可能事件．
故答案为：D .
【分析】根据必然事件的定义，事件必须一定发生．由于次品只有2个，抽取3个产品时，无论如何抽取，都至少包含1个正品.
2．（2025·厦门自主招生）设，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，
，
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴．
故答案为：A .
【分析】由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果．
3．（2025·厦门自主招生）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，且、、为整数，
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ．
故答案为：C .
【分析】由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值．
4．（2025·厦门自主招生）《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设有x个老头，y个梨，则可列方程组为
故答案为：A .
【分析】根据题意，设有个老头，个梨．每人分1个梨时多1个，可得；每人分2个梨时少2个，可得．将两个方程联立即可得到正确选项．
5．（2025·厦门自主招生）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为、、的延长线与边相交于点，连接.若，，则线段的长为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】 【解答】解：连接，交于点O，
根据旋转的性质，得到，，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B .
【分析】连接，交于点O，根据旋转的性质，得到，，证明，得到垂直平分，得到，，根据直角三角形的面积解答即可．
6．（2025·厦门自主招生）如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（　　）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，点在以为圆心，半径为5的圆上，如图，延长交圆于点，连接，
则：为直径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D .
【分析】根据，得到在以为圆心，半径为5的圆上，延长交圆于点，连接，则为直径，得到，，根据平行线的性质，结合等边对等角得到，等角对等弦得到，勾股定理求出的长即可．
7．（2025·厦门自主招生）已知二次函数的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（　　）
A．18 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距，
∴平移后新函数与x轴交于点和，
将代入新函数：，解得：．
故m的值为16．
故答案为：B .
【分析】通过分析四个交点在x轴上的等距排列，得出平移后的函数与x轴的交点位于和，然后代入函数表达式求m的值即可．
8．（2025·厦门自主招生）如图，等边的边长为6，点在边上，，线段绕顺时针旋转60°得到线段，连接交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②外接圆的半径为；③；其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵线段绕顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形面积为，故①正确；
如图，作于，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，以为底边，作等腰，使，作于，
则，，
∴的外接圆半径，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确．
故答案为： .
【分析】首先利用旋转的性质确定是等边三角形，通过证明，得到结论①正确；利用等边三角形的性质作的高，根据勾股定理计算的长度，通过三角形全等的性质确定，利用等腰三角形的性质和三角函数计算外接圆的半径，得到结论②正确；利用相似三角形的性质确定线段的比例，得到结论③正确．
9．（2025·厦门自主招生）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：掷一枚均匀的硬币，每次抛掷出现正面或反面都是独立事件，且概率均为 ，与抛掷次数无关，因此第999次出现正面向上的概率仍是 ．
故答案为 ：．
【分析】每次抛掷硬币是独立事件，且硬币均匀，因此概率恒定．
10．（2025·厦门自主招生）设，是方程的两个根，那么的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
， 是方程 的根，
， ，，
，
．
故答案为： ．
【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值即可.
11．（2025·厦门自主招生）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次不等式的含参问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）当时，不等式的解集为：，
正整数解一定有无数个．故不满足条件．
（2）时，无论取何值，不等式恒成立；
（3）当时，不等式的解集为：，
∵不等式的正整数解为1，2，3，
∴，
解得．
故取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围．
12．（2025·厦门自主招生）有、、三种货物，甲购、、各1件，以200元.乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付　 　元.
【答案】100
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元．
由甲购3件，5件，1件，共200元，即①，
乙购4件，7件，1件，共250元，即②，
得③，
得④，
得，
∴丙购、、各1件，应付100元，
故答案为：100．
【分析】设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解．
13．（2025·厦门自主招生）若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是　 　.
【答案】12或
【知识点】分式的混合运算；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：∵、都是质数，代数式及的值都是正整数，
（1）若，
∴，
∴或，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴直角三角形的第三边长为或；
当时，则，此时为偶数，为奇数，故等式不成立；
（2）若，则不是正整数，与已知矛盾；
（3）若，
∴，
∴
∴，
∴，
∵是质数，
∴，
∴不可能是正整数，舍去．
综上可得：直角三角形的第三边长为12或．
故答案为：12或．
【分析】根据已知的质数和正整数将x和y分为三种情况讨论，分别求得满足题意的解或者找到矛盾排除，再结合勾股定理求解即可．
14．（2025·厦门自主招生）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图像经过的中点，
∴设，
∵的顶点在轴正半轴上，
∴，点的横坐标为0，
∵，即，
∴，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标均为，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
设，则，
∴，且的中点，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
∴，，
∴则与的面积比是，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数图象的性质设，由中点坐标的计算得到点的横坐标为，，，设，则，再结合中点坐标的计算得到，，，用含的式子表示出与的面积，即可求解．
15．（2025·厦门自主招生）如图，已知矩形，点是的中点，将边沿翻折到的位置，点的对应点为，连接并延长交于点，当恰为的中点时，的值是　 　.
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形，
∴，，
将边沿翻折到的位置，点的对应点为，
∴，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
设，
∴，，
在和中
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，负的舍去，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，设，则，，证明，得到，设，得到，根据勾股定理得到，解得，负的舍去，解答即可．
16．（2025·厦门自主招生）在四边形中，，，，，.点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图1，过点D作于H，
则，，，
在中，，
当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，
设，则，
在中，，
∴，
由得，，
解得
∴；
如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F，
设，则，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即的最大半径为，
所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，
故答案为：．
【分析】根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可．
17．（2025·厦门自主招生）（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
（2）若实数，，满足，则称比远离.对任意两个不相等的实数，，证明比远离.
【答案】（1）解：当时，显然成立，∴；
当时，不等式对一切实数x都成立，
∴，
解得，
综上，k的取值范围为；
（2）解：证明：，
，
∵，
∴，
∴比远离．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；完全平方式；不等式的性质
【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，当时直接判断不等式是否成立；当时利用二次函数恒小于0的条件(开口向下且判别式小于0)求解k的取值范围；
（2）根据“远离”的定义，分别计算两个表达式与的差的绝对值，比较大小即可证明结论．
18．（2025·厦门自主招生）已知整式，其中，，，，是自然数，若，.
（1）若，求的值；
（2）若，且，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由.
【答案】（1）解：当时，，即，
当时，，
即，
得：，
，
∵为常数项，
∴，
；
（2）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴的最小取值．
∴，
∵，，
∴都为自然数，
∴，
∴，或，或，或，，
∴，（舍去）或，或，（舍去）或，，
当，时，
则，可能的组合为，或，或，或，，共4种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合；
∴满足条件的不同整式有：(个)；
当，时，
则，可能的组合为，，共1种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合；
∴满足条件的不同整式有：(个)；
综上，满足条件的不同整式有：(个)．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）令和，分别得到，，得到，根据可知；
（2）由得到，根据可知的最小取值，即，根据，，，，是自然数可知都为自然数，即，求出所有符合要求的的取值，进而判断即可．
19．（2025·厦门自主招生）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于.
（1）如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长；
（2）若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：如图所示，过点作延长线于点，则，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，则，
∴，
整理得，，则，
解得，或，
∴当时，；
当时，；
∴的长为或；
（2）解：如图所示，在上取点，使得，则，，
∴，
∴，，
∴，，
由（1）得，，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵点在的延长线上，不与点重合，由（1）得，当的长为或时，点、与点重合，
∴，
∴关于的函数解析式及的取值范围为：．
【知识点】矩形的判定与性质；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）如图所示，过点作延长线于点，则，可证四边形是矩形，由勾股定理得到，再证明，得到，联立方程，解一元二次方程即可；
（2）如图所示，在上取点，使得，则，，根据解直角三角形的计算得到，则，再证明，即可得到关于的函数解析式，结合（1）中的长为或即可得到的取值范围．
20．（2025·厦门自主招生）已知，是半径为2的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，）.
（1）在图1中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；
（3）如图2，延长至点，使得，连结，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连结，若.求证：.
【答案】（1）解：如图，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，，与交点为，则，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，，与交点为，即、点即为所求．
；
（2）如图，连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于，
∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵、是同弧所对的圆周角，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴线段的长是定长，值为；
（3）证明：如图，延长、，交点为，
∵，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
如图，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，与圆交于点 、，再作线段的垂直平分线，并在上截取，在直线上截取线段，作线段的垂直平分线，与圆交于点、，与线段交于点，即为所求．
（2）连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，继而证明是等腰直角三角形，继而求得线段的长度是定长，及其值．
（3）延长、，交点为，证明是的中位线，得到，继而得到，通过证明，继而证明，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、，通过证明，得到，继而得到结论．
21．（2025·厦门自主招生）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”.
（1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值；
②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式；
（2）记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴时，，时，，
∴；
②∵，，
∴当时，y随x的增大而增大，
时，，时，，
∴，
当时，随x的增大而减小，
∴时，，时，，
∴，
综上，；
（2）解：∵，
∴时，，
①当即时，
∵，
∴时，，
时，，
∴，
∴时，；
②当即时，
∵，
∴时，，
时，，
∴，
∴时，；
③当时，，，
时，，
∴，
∴时，；
④当时，时，，
时，，
∴，
∴，
∵，
∴最小值为，
∴，
∴符合题意．
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）①时，，利用的性质求解最大值和最小值，即可得解；
②按照和分类讨论，利用的性质求解最大值和最小值，即可求解；
（2）分、、、四种情况讨论，分别利用二次函数的性质求出h的最小值，解方程即可得解.
1 / 1福建省厦门市2025年高中自主招生考试数学试卷
1．（2025·厦门自主招生）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（　　）
A．3个都是正品 B．至少有1个是次品
C．3个都是次品 D．至少有1个是正品
2．（2025·厦门自主招生）设，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
3．（2025·厦门自主招生）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
4．（2025·厦门自主招生）《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·厦门自主招生）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为、、的延长线与边相交于点，连接.若，，则线段的长为（　　）
A． B． C．4 D．
6．（2025·厦门自主招生）如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（　　）
A．7 B． C． D．
7．（2025·厦门自主招生）已知二次函数的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（　　）
A．18 B．16 C．20 D．24
8．（2025·厦门自主招生）如图，等边的边长为6，点在边上，，线段绕顺时针旋转60°得到线段，连接交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②外接圆的半径为；③；其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
9．（2025·厦门自主招生）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是　 　.
10．（2025·厦门自主招生）设，是方程的两个根，那么的值为　 　.
11．（2025·厦门自主招生）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是　 　.
12．（2025·厦门自主招生）有、、三种货物，甲购、、各1件，以200元.乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付　 　元.
13．（2025·厦门自主招生）若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是　 　.
14．（2025·厦门自主招生）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是　 　.
15．（2025·厦门自主招生）如图，已知矩形，点是的中点，将边沿翻折到的位置，点的对应点为，连接并延长交于点，当恰为的中点时，的值是　 　.
16．（2025·厦门自主招生）在四边形中，，，，，.点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是　 　.
17．（2025·厦门自主招生）（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
（2）若实数，，满足，则称比远离.对任意两个不相等的实数，，证明比远离.
18．（2025·厦门自主招生）已知整式，其中，，，，是自然数，若，.
（1）若，求的值；
（2）若，且，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由.
19．（2025·厦门自主招生）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于.
（1）如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长；
（2）若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围.
20．（2025·厦门自主招生）已知，是半径为2的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，）.
（1）在图1中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；
（3）如图2，延长至点，使得，连结，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连结，若.求证：.
21．（2025·厦门自主招生）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”.
（1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值；
②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式；
（2）记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：∵次品总数为2个，
∴抽取3个产品时，最多只能抽取到2个次品，
∴至少有一个正品，
∴ “至少有1个是正品”是必然事件；选项A和B是随机事件，选项C是不可能事件．
故答案为：D .
【分析】根据必然事件的定义，事件必须一定发生．由于次品只有2个，抽取3个产品时，无论如何抽取，都至少包含1个正品.
2．【答案】A
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，
，
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴．
故答案为：A .
【分析】由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果．
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，且、、为整数，
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ．
故答案为：C .
【分析】由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值．
4．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设有x个老头，y个梨，则可列方程组为
故答案为：A .
【分析】根据题意，设有个老头，个梨．每人分1个梨时多1个，可得；每人分2个梨时少2个，可得．将两个方程联立即可得到正确选项．
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】 【解答】解：连接，交于点O，
根据旋转的性质，得到，，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B .
【分析】连接，交于点O，根据旋转的性质，得到，，证明，得到垂直平分，得到，，根据直角三角形的面积解答即可．
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，点在以为圆心，半径为5的圆上，如图，延长交圆于点，连接，
则：为直径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D .
【分析】根据，得到在以为圆心，半径为5的圆上，延长交圆于点，连接，则为直径，得到，，根据平行线的性质，结合等边对等角得到，等角对等弦得到，勾股定理求出的长即可．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距，
∴平移后新函数与x轴交于点和，
将代入新函数：，解得：．
故m的值为16．
故答案为：B .
【分析】通过分析四个交点在x轴上的等距排列，得出平移后的函数与x轴的交点位于和，然后代入函数表达式求m的值即可．
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵线段绕顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形面积为，故①正确；
如图，作于，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，以为底边，作等腰，使，作于，
则，，
∴的外接圆半径，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确．
故答案为： .
【分析】首先利用旋转的性质确定是等边三角形，通过证明，得到结论①正确；利用等边三角形的性质作的高，根据勾股定理计算的长度，通过三角形全等的性质确定，利用等腰三角形的性质和三角函数计算外接圆的半径，得到结论②正确；利用相似三角形的性质确定线段的比例，得到结论③正确．
9．【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：掷一枚均匀的硬币，每次抛掷出现正面或反面都是独立事件，且概率均为 ，与抛掷次数无关，因此第999次出现正面向上的概率仍是 ．
故答案为 ：．
【分析】每次抛掷硬币是独立事件，且硬币均匀，因此概率恒定．
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
， 是方程 的根，
， ，，
，
．
故答案为： ．
【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值即可.
11．【答案】
【知识点】一元一次不等式的含参问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）当时，不等式的解集为：，
正整数解一定有无数个．故不满足条件．
（2）时，无论取何值，不等式恒成立；
（3）当时，不等式的解集为：，
∵不等式的正整数解为1，2，3，
∴，
解得．
故取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围．
12．【答案】100
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元．
由甲购3件，5件，1件，共200元，即①，
乙购4件，7件，1件，共250元，即②，
得③，
得④，
得，
∴丙购、、各1件，应付100元，
故答案为：100．
【分析】设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解．
13．【答案】12或
【知识点】分式的混合运算；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：∵、都是质数，代数式及的值都是正整数，
（1）若，
∴，
∴或，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴直角三角形的第三边长为或；
当时，则，此时为偶数，为奇数，故等式不成立；
（2）若，则不是正整数，与已知矛盾；
（3）若，
∴，
∴
∴，
∴，
∵是质数，
∴，
∴不可能是正整数，舍去．
综上可得：直角三角形的第三边长为12或．
故答案为：12或．
【分析】根据已知的质数和正整数将x和y分为三种情况讨论，分别求得满足题意的解或者找到矛盾排除，再结合勾股定理求解即可．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图像经过的中点，
∴设，
∵的顶点在轴正半轴上，
∴，点的横坐标为0，
∵，即，
∴，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标均为，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
设，则，
∴，且的中点，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
∴，，
∴则与的面积比是，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数图象的性质设，由中点坐标的计算得到点的横坐标为，，，设，则，再结合中点坐标的计算得到，，，用含的式子表示出与的面积，即可求解．
15．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形，
∴，，
将边沿翻折到的位置，点的对应点为，
∴，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
设，
∴，，
在和中
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，负的舍去，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，设，则，，证明，得到，设，得到，根据勾股定理得到，解得，负的舍去，解答即可．
16．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图1，过点D作于H，
则，，，
在中，，
当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，
设，则，
在中，，
∴，
由得，，
解得
∴；
如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F，
设，则，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即的最大半径为，
所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，
故答案为：．
【分析】根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可．
17．【答案】（1）解：当时，显然成立，∴；
当时，不等式对一切实数x都成立，
∴，
解得，
综上，k的取值范围为；
（2）解：证明：，
，
∵，
∴，
∴比远离．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；完全平方式；不等式的性质
【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，当时直接判断不等式是否成立；当时利用二次函数恒小于0的条件(开口向下且判别式小于0)求解k的取值范围；
（2）根据“远离”的定义，分别计算两个表达式与的差的绝对值，比较大小即可证明结论．
18．【答案】（1）解：当时，，即，
当时，，
即，
得：，
，
∵为常数项，
∴，
；
（2）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴的最小取值．
∴，
∵，，
∴都为自然数，
∴，
∴，或，或，或，，
∴，（舍去）或，或，（舍去）或，，
当，时，
则，可能的组合为，或，或，或，，共4种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合；
∴满足条件的不同整式有：(个)；
当，时，
则，可能的组合为，，共1种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合；
∴满足条件的不同整式有：(个)；
综上，满足条件的不同整式有：(个)．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）令和，分别得到，，得到，根据可知；
（2）由得到，根据可知的最小取值，即，根据，，，，是自然数可知都为自然数，即，求出所有符合要求的的取值，进而判断即可．
19．【答案】（1）解：如图所示，过点作延长线于点，则，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，则，
∴，
整理得，，则，
解得，或，
∴当时，；
当时，；
∴的长为或；
（2）解：如图所示，在上取点，使得，则，，
∴，
∴，，
∴，，
由（1）得，，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵点在的延长线上，不与点重合，由（1）得，当的长为或时，点、与点重合，
∴，
∴关于的函数解析式及的取值范围为：．
【知识点】矩形的判定与性质；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）如图所示，过点作延长线于点，则，可证四边形是矩形，由勾股定理得到，再证明，得到，联立方程，解一元二次方程即可；
（2）如图所示，在上取点，使得，则，，根据解直角三角形的计算得到，则，再证明，即可得到关于的函数解析式，结合（1）中的长为或即可得到的取值范围．
20．【答案】（1）解：如图，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，，与交点为，则，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，，与交点为，即、点即为所求．
；
（2）如图，连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于，
∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵、是同弧所对的圆周角，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴线段的长是定长，值为；
（3）证明：如图，延长、，交点为，
∵，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
如图，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，与圆交于点 、，再作线段的垂直平分线，并在上截取，在直线上截取线段，作线段的垂直平分线，与圆交于点、，与线段交于点，即为所求．
（2）连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，继而证明是等腰直角三角形，继而求得线段的长度是定长，及其值．
（3）延长、，交点为，证明是的中位线，得到，继而得到，通过证明，继而证明，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、，通过证明，得到，继而得到结论．
21．【答案】（1）解：①时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴时，，时，，
∴；
②∵，，
∴当时，y随x的增大而增大，
时，，时，，
∴，
当时，随x的增大而减小，
∴时，，时，，
∴，
综上，；
（2）解：∵，
∴时，，
①当即时，
∵，
∴时，，
时，，
∴，
∴时，；
②当即时，
∵，
∴时，，
时，，
∴，
∴时，；
③当时，，，
时，，
∴，
∴时，；
④当时，时，，
时，，
∴，
∴，
∵，
∴最小值为，
∴，
∴符合题意．
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）①时，，利用的性质求解最大值和最小值，即可得解；
②按照和分类讨论，利用的性质求解最大值和最小值，即可求解；
（2）分、、、四种情况讨论，分别利用二次函数的性质求出h的最小值，解方程即可得解.
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