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2025-2026学年福建省莆田市荔城区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的相反数是（　　）
A. -2026 B. 2026 C. D.
2.截至2025年12月31日，莆田湄洲岛妈祖文化旅游区年度接待游客总量正式突破3100000人次，用实力诠释了“湄洲岛，来就好”的硬核魅力，将数据3100000用科学记数法表示为（　　）
A. 3×105 B. 3.1×106 C. 31×105 D. 0.31×107
3.鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构.图（2）是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（　　）
A. B.
C. D.
4.单项式的系数与次数分别是（　　）
A. 2，2 B. ，2 C. 2，3 D. ，3
5.如图所示，下列说法错误的是（　　）
A. OA的方向是北偏东25° B. OB的方向是北偏西30°
C. OC的方向是南偏西35° D. OD的方向是东南方向
6.下列各组中的两个量，成反比例关系的是（　　）
A. 完成一项工程，工作效率和工作时间 B. 圆的半径和它的面积
C. 购买同种笔记本的数量和总费用 D. 汽车行驶的速度和路程
7.如图，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度变短.其中蕴含的数学道理是（　　）
A. 经过一点可以作无数条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 两点之间，有若干种连接方式
D. 经过两点有且只有一条直线
8.如图，在下列四个步骤中，依据等式的性质变形的是（　　）
A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②④
9.几个人共同种一批树苗，如果每人种8棵，则剩下2棵树苗未种；如果每人种10棵，则缺6棵树苗.若设参加种树的人数有x人，根据题意所列方程正确的是（　　）
A. 8x-2=10x+6 B. 8x+2=10x+6 C. 8x+2=10x-6 D. 8x-2=10x-6
10.进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，类似于十进制数，二进制数也可以进行加法运算，例如：（1010）2+（111）2=（10001）2，若某二进制数a与（10101）2之和是一个7位的二进制数，则a的最小值是（　　）
A. （101101）2 B. （100010）2 C. （101011）2 D. （111001）2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.比较大小：-3 -1.（请在横线上填上“＜”“＞”或“=”）
12.“a与c的2倍的和”用代数式表示应为 .
13.已知∠A=52°，则∠A的补角是 度.
14.已知x=3是关于x的方程5x-a=8的解，则a的值是 .
15.若有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简|b-a|+|a|的结果为 .
16.在班级元旦联欢会上，小明和小亮表演了一个扑克牌游戏：小明背对着小亮，让小亮把一副扑克牌按下列三个步骤操作：
第一步，把部分扑克牌分发为张数相等的四堆，分别记为A，B，C，D四堆且每堆不少于3张牌；
第二步，从A堆中拿出1张放入C堆中，从D堆中拿出2张放入B堆中；
第三步，从B堆中拿出与A堆张数相同的牌放入A堆，从C堆中拿出与D堆相同的牌放入D堆中；
这时，小明准确地说出A堆与D堆相差的张数，这个张数是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：-3=．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：
（1）（-5）-（-10）+（-32）-（+7）；
（2）.
19.(本小题8分)
阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下：
已知多项式A=3a2b+2ab2，B=ab2-a2b,化简：A-2B.
下面是这位同学的解题过程：
解：A-2B=（3a2b+2ab2）-2（ab2-a2b）…第一步
=（3a2b+2ab2）-（2ab2-2a2b）…第二步
=3a2b+2ab2-2ab2-2a2b…第三步
=a2b.…第四步
请回答下列问题：
（1）这位同学从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
（2）请正确化简A-2B，并计算当a=-2，时，A-2B的值.
20.(本小题8分)
“和美荔城，共富共美”2025年莆田马拉松比赛火热出圈，一位马拉松爱好者记录了10位选手的完赛时间（单位：分钟），并计算得到他们的平均完赛时间为180分钟.以180分钟为基准，实际时间少于基准的分钟数记为负数（表示比平均快），多于基准的记为正数（表示比平均慢），称为时间波动值.如表是这10位选手的时间波动值：
选手编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
时间波动值 +10 -3 -5 +8 ______ -1 -8 +9 -4
（1）第2号选手的实际完赛时间为______分钟；
（2）若第5号选手的实际完赛时间为182分钟，请直接写出第5号选手的时间波动值，并求第7号选手的实际完赛时间.
21.(本小题8分)
如图，点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AB=6.
（1）尺规作图：延长线段AB，并在延长线上作一点D，使得BD=AC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若CM=2AC，求线段AD的长.
22.(本小题10分)
如图，已知点O为直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠DOF=90°.
（1）若∠BOC=40°，求∠AOF的度数；
（2）若∠COD=2∠EOF，问：OE是∠AOD的平分线吗？请说明理由.
23.(本小题10分)
新定义：对于有理数a,将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为a的“数字积值”.定义运算[a]：如果a是正数，则[a]就是这个数字积值；如果a是负数，则[a]就是这个数字积值的相反数；如果a是0，特别地，0的数字积值是0，则[0]=0.
例：[46]：|46|=46→4×6=24→2×4=8，所以[46]=8；
[-39]：|-39|=39→3×9=27→2×7=14→1×4=4，因为原数是负数，所以[-39]=-4.
（1）计算：[134]=______；[-4722]=______.
（2）若a是一个两位数，且[a]=6，写出满足条件的一个有理数a的值：______；
（3）猜想：对任意整数m,n是否一定有[[m]×[n]]=[m×n]成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明.
24.(本小题12分)
学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上给同学们布置了“如何自己动手做一杆秤”的实践活动，阅读材料，完成任务.
实践活动 如何自己动手做一杆秤
素材一 如图1，用一根质地均匀的60cm长的木杆和一些等重的小物体做下列实验，并记录每一次支点与木杆左右两边挂重物处的距离：
（1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；
（2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡；
（3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡；
（4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡；
（5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作并记录如下： 木杆左边挂重物个数支点到木杆左边挂重物的距离木杆右端挂重物个数支点到木杆右端挂重物的距离状态130cm130cm平衡215cm130cm平衡310cm130cm平衡47.5cm130cm平衡5①130cm平衡
素材二 同学们根据这个原理自制了一个杆秤，如图3所示，提钮处O是支点，已知OA为6cm,秤砣重量是500g,称盘重量是200g,秤砣到提钮处O秤砣的距离为y cm（即OB）.
任务一 （1）根据素材一实验记录数据的规律，补全实验记录：①______，如图2，支点在木杆中点处，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡.设木杆长为lcm,支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm,把n,l作为已知数，列出关于x的一元一次方程______.
任务二 （2）根据素材二，若秤盘上不放重物，问当y为何值时，杆秤刚好平衡.
任务三 （3）根据素材二，记放入的重物重量为m g.根据查阅的信息，若y与m的关系满足形如y=km+b,其中k≠0，且k,b为常数，则说明杆秤上的刻度均匀.用式子表示y与m的关系，并判断自制的杆秤上的刻度是否均匀？若杆秤上最大刻度距离提纽处O点为30cm,求这根杆秤能称量的最大重量是多少？
25.(本小题14分)
已知一直角三角板MON的直角边ON在直线AB上，过点O在直线AB上方作射线OC，且∠BOC=30°，三角板MON绕着点O以每秒10°的速度顺时针旋转.当它完成旋转一周时停止.设旋转时间为t秒.（本题中所涉及的角都是大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，问当t为何值时，射线OM平分∠BOC，请说明理由.
（2）如图2，射线OE与射线OC重合，在三角板MON旋转的同时，射线OE绕着点O以每秒6°的速度顺时针旋转，射线OE与三角板MON同时停止旋转，当0＜t＜15时.
①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得∠COE=3∠MOE.若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
②是否存在常数k,使得的值为定值？若存在，请直接写出所有满足题意的常数k的值以及定值，若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】＜
12.【答案】a+2c
13.【答案】128
14.【答案】7
15.【答案】b-2a
16.【答案】2
17.【答案】解：去分母得：2x+2-12=2-x，
移项合并得：3x=12，
解得：x=4．
18.【答案】-34 2
19.【答案】三;去括号时未正确变号 5 a2b，10
20.【答案】手的时间波动值为+2分钟，第7号选手的实际完赛时间为172分钟 第5号选手的时间波动值为+2分钟，第7号选手的实际完赛时间为172分钟
21.【答案】如下图所示：
7
22.【答案】∠AOF=70° OE是∠AOD的平分线．理由如下：
设∠EOF=α，则∠COD=2∠EOF=2α，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠COD=2α，
∵∠DOF=90°，
∴∠AOF=180°-2α-90°=90°-2α，
∵∠AOE=∠AOF+∠EOF=90°-2α+α=90°-α，
∴∠DOE=∠DOF-∠EOF=90°-α，
∴∠AOE=∠DOE．
∴OE是∠AOD的平分线
23.【答案】2;-2 23（答案不唯一） 不一定成立，
当m=13，n=14时，
[m]=[13]=1×3=3，[n]=[14]=1×4=4，
∴[[m]×[n]]=[3×4]=[12]=1×2=2，
∵m×n=13×14=182，
∴[m×n]=[182]=1×8×2=16→1×6=6，
∵2≠6，
∴[[m]×[n]]=[m×n]对任意整数m，n不一定成立
24.【答案】6；；
y=2.4cm；
，刻度均匀；最大称量重量是2300g
25.【答案】，
当三角板绕O顺时针旋转t秒后，OM顺时针旋转了10t°，
∴此时∠MOB=90°-10t°．
∵OM平分∠BOC，且∠BOC=30°，
∴，
即90-10t=15，
解得，
即当时，射线OM平分∠BOC ①t=10；②k=-2时定值为，k=2时定值为
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