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2025-2026学年河南省南阳市镇平四中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A. x≥-2 B. x＞-2 C. x≥0 D. x＞0
2.方程（x-1）2=2（x-1）的根是（　　）
A. x=1 B. x=2 C. x1=1，x2=2 D. x1=1，x2=3
3.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
4.如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，且∠E=35°，则∠BOD=（　　）
A. 100°
B. 105°
C. 110°
D. 120°
5.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为6.4km,则M，C两点间的距离为（　　）
A. 3km
B. 3.2km
C. 12.8km
D. 距离不确定
6.如图，这是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x=1，则下列说法正确的是（　　）
A. b＜0
B. c=-1
C. 2a+b=0
D. 4a+2b+c＜0
7.已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（-3，y1），D（3，y2）四个点，则（　　）
A. y1＞0＞y2 B. y1＞y2＞0 C. y1＜0＜y2 D. 0＜y1＜y2
8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若⊙O的半径为13，CD=24，则AE的长为（　　）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
9.如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D为边AB上一动点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，点P为EF中点，则PD的最小值为（　　）
A. 2.4
B. 4.8
C. 6
D. 8
10.如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF=3：2，则脚手架高DE为（　　）
A. 7米
B. 6米
C. 5米
D. 4米
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若最简二次根式a与可以合并，请写出一个符合条件的a： .
12.若二次函数y=（m-2）x2-mx+m2-4的图象经过原点，则m的值为 .
13.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 100 400 800 1 000 2 000 4 000
发芽的频数 85 300 652 793 1 604 3204
发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为______（精确到0.1）．
14.春节期间，小明陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升100米”，若此山坡的坡度i=1：2.4，爱思考的小明很快告诉妈妈：“我们至少走坡路 米了”.
15.如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算：
（1）；
（2）3x2-2x=4.
17.(本小题9分)
某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______；
（2）如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率.
18.(本小题9分)
已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），M（-2，5）.
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）已知点C（4，m），抛物线与x轴另一个交点为B，求△ABC的面积；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围；
（4）过y轴上的点E（0，n）作y轴的垂线l,若直线l与抛物线y=x2+bx+c在0≤x≤3部分有一个交点，求n的取取值范围（不用书写过程）.
19.(本小题9分)
习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.河南省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD=EF=1.6m,点C与点E相距189m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°求风电塔筒AH的高度.（参考数据：，，
20.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC.
（1）求证：∠BAC=∠E；
（2）若AB=8，DC=2，，求CF的长.
21.(本小题9分)
汽车在行驶途中，为了安全，车与车之间必须保持一定的距离.因为司机发现异常情况刹车后汽车还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离.经研究发现汽车开始刹车后行驶距离s满足关系式，其中t（s）是开始刹车后汽车行驶时间，v是开始刹车时的速度，a是刹车减速度，大约为8m/s2.
（1）某汽车研发中心研发了一款新型汽车，现对汽车以28m/s的速度行驶进行刹车测试，此时s与t之间的关系式为______；
（2）在（1）的条件下，根据国家标准规定，此时的刹车距离在48m到52m的范围为合格，请通过计算说明此款新型汽车（刹车距离）是否合格？
22.(本小题9分)
如图，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点P，使△BPC面积S的最大，若存在，请求出最大值及此时P点的坐标；若不存在，说明理由.
23.(本小题12分)
综合与实践
在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“自相似点”进行研究.
定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB、△PBC、△PCA中，如果至少有一个三角形与△ABC相似，那么称点P是△ABC的“自相似点”.
例：如图，点P在△ABC内部，∠PBC=∠BAC，∠PCB=∠ABC，则△BCP～△ABC，故点P为△ABC的自相似点.
【推理判断】
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点P是AB上一点且在AC的垂直平分线上，则点P______（填“是”或“不是”）△ABC的自相似点.
【初步运用】
（2）如图2，若△ABC为钝角三角形，点D是△ABC的自相似点，且点D在BC上，BC=4BD.求证：AB=2BD.
【拓展应用】
（3）如图3，△ABC为锐角三角形，若点E是△ABC的自相似点，且相似三角形中，点B与点A对应，点E在△ABC的平分线BF上.若BC=3，AC=5，请直接写出BE的长.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】（答案不唯一）
12.【答案】-2
13.【答案】0.8
14.【答案】260
15.【答案】
16.【答案】 x1=，x2=
17.【答案】．
．
18.【答案】y=x2-2x-3，顶点坐标为（1，-4）；
10；
-4≤y≤0；
-3＜n≤0或n=-4．
19.【答案】解：如图所示，过点D作DG⊥AH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，
∴GH=CD=1.6m,DG=CH，
∵CD=EF=1.6m,
∴GH=EF，
由题意可得GH⊥CE，EF⊥CE，
∴GH∥EF，
∴四边形EFGH是矩形，
∴FG=HE，∠HGF=90°，
∴∠DGH+∠FGH=180°，
∴D、G、F三点共线，
∴DF=DG+FG=CH+HE=CE=189m；
设AG=x m,
∴，
∴，
∴DG=x m；
∴，
∴，
∴FG≈x m；
∴，
∴x=108，
∴AG=108m,
∴AH=AG+GH=109.6m.
20.【答案】（1）证明：∵OC⊥AB,OC是⊙O的半径
∴AD=BD，，
∴∠BAC=∠E；
（2）解：∵∠BAC=∠E，
∵∠ACF=∠ECA，
∴△ACF∽△ECA，
∴，
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
∵∠ADC=90° ,AD=4，CD=2
∴AC==2，
∴=，
∴．
21.【答案】s=-4t2+28t 此款新型汽车刹车距离合格
22.【答案】y=x2-2x-3；
Q（1，-2）；
，．
23.【答案】是；
见解析；
或．
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