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第八章 证明 认识证明 第一课时 （分层作业）
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形三个内角的和等于180°
B．如果a≠b，b≠c，那么a≠c
C．全等三角形的面积不一定相等
D．如果两个角相等，那么它们是对顶角
2．下列命题：①有理数与数轴上的点一一对应；②负数没有立方根；③算术平方根等于本身的数有2个；④的平方根为±4，其中假命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；②﹣a2没有平方根；③的算术平方根是4；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤0.01的算术平方根是0.1；⑥﹣π是（﹣π）2的平方根．其中是真命题的有（　　）
A．①②⑤ B．①⑤⑥ C．①②④ D．①②④⑤
4．对于命题“如果a＜0，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0
5．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：　 　 ．
6．命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是　 　 （“真”或“假”）命题．
1．（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等；
（2）写出这个命题的逆命题：　 　 ，它是一个　 　 命题．（填“真”或“假”）
2．已知命题“如果a＝b，那么a2＝b2．”
（1）写出此命题的逆命题；
（2）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
答案：
基础巩固：
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形三个内角的和等于180°
B．如果a≠b，b≠c，那么a≠c
C．全等三角形的面积不一定相等
D．如果两个角相等，那么它们是对顶角
【分析】需逐一分析各选项的正确性即可．
【解答】解：A：任意三角形的三个内角之和恒等于180°，故A为真命题，符合题意；
B：若a≠b且b≠c，不能必然推出a≠c，例如，当a＝1，b＝2，c＝1时，满足a≠b和b≠c，但a＝c，结论不成立，故B为假命题，不符合题意；
C：全等三角形能够完全重合，其对应边、对应角及面积均相等，因此全等三角形的面积一定相等，故C为假命题，不符合题意；
D：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故D为假命题，不符合题意；
故选：A．
2．下列命题：①有理数与数轴上的点一一对应；②负数没有立方根；③算术平方根等于本身的数有2个；④的平方根为±4，其中假命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由平方根、算术平方根、立方根的定义，实数与数轴上的点是一一对应关系，即可判断．
【解答】解：①实数与数轴上的点一一对应，故①符合题意；
②负数有立方根，故②符合题意；
③算术平方根等于本身的数有2个是0和1，故③不符合题意；
④的平方根为±2，故④符合题意，
∴其中假命题有3个．
故选：C．
3．下列说法：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；②﹣a2没有平方根；③的算术平方根是4；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤0.01的算术平方根是0.1；⑥﹣π是（﹣π）2的平方根．其中是真命题的有（　　）
A．①②⑤ B．①⑤⑥ C．①②④ D．①②④⑤
【分析】根据平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系，可得答案．
【解答】解：根据平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系逐项分析判断如下：
①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，正确，符合题意；
②当a＝0时，﹣a2有平方根0，故原说法错误，不符合题意；
③的算术平方根是2，故原说法错误，不符合题意；
④平方根与立方根相同的数是0，故原说法错误，不符合题意；
⑤0.01的算术平方根是0.1，正确，符合题意；
⑥﹣π是（﹣π）2的平方根，正确，符合题意；
故选：B．
4．对于命题“如果a＜0，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0
【分析】根据实数的平方、实数的大小比较、假命题的概念判断．
【解答】解：A、当a＝﹣2时，a＜0，而a2＞1，
说明命题“如果a＜0，那么a2＜1”是假命题，符合题意；
B、当a＝2时，a＞0，
不能说明命题“如果a＜0，那么a2＜1”是假命题，不符合题意；
C、当a时，a＜0，a2＜1，
不能说明命题“如果a＜0，那么a2＜1”是假命题，不符合题意；
D、当a＝0时，不能说明命题“如果a＜0，那么a2＜1”是假命题，不符合题意；
故选：A．
5．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：　如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形　 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
6．命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是　假　 （“真”或“假”）命题．
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而判断它的真假．
【解答】解：命题“全等三角形对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，故其逆命题是三个角分别相等的三角形是全等三角形，它是一个假命题．
培优提升：
1．（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等；
（2）写出这个命题的逆命题：　两内角的角平分线相等的三角形是等腰三角形　 ，它是一个　真　 命题．（填“真”或“假”）
【分析】（1）证明△DBC≌△ECB，根据全等三角形的对应边相等证明；
（2）把原命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断真假．
【解答】（1）已知：△ABC中，AB＝AC，BD、CE是△ABC的角平分线，
求证；BD＝CE，
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠DBC∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
在△DBC和△ECB中，
，
∴△DBC≌△ECB（ASA），
∴BD＝CE；
（2）解：等腰三角形两底角的角平分线相等，逆命题是两内角的角平分线相等的三角形是等腰三角形，是真命题（可用反证法证明），
故答案为：两内角的角平分线相等的三角形是等腰三角形；真．
2．已知命题“如果a＝b，那么a2＝b2．”
（1）写出此命题的逆命题；
（2）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
【分析】（1）交换题目中命题的结论和题设的位置即可；
（2）举出反例即可．
【解答】解：（1）交换题目中命题的结论和题设的位置可得原命题的逆命题为：
如果a2＝b2，那么a＝b；
（2）是假命题；例如：
a＝2，b＝﹣2时，22＝（﹣2）2＝4，而2≠﹣2．

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