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第2章第2节 平抛运动
题型1 平抛运动的概念和性质 题型2 平抛运动在竖直和水平方向上的特点
题型3 平抛运动速度的计算 题型4 平抛运动位移的计算
题型5 平抛运动时间的计算 题型6 平抛运动中的相遇问题
题型7 飞机投弹问题 题型8 速度偏转角与位移偏转角
题型9 速度反向延长线的特点 题型10 平抛运动与斜面的结合
题型11 平抛运动与曲面的结合 题型12 在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）
题型13 在外力作用下的类平抛运动
▉题型1 平抛运动的概念和性质
【知识点的认识】
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下的运动．
2．关键词：（1）初速度沿水平方向；（2）只受重力作用．
3．性质：匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线．
4．研究方法：分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动两个分运动．
1．关于平抛运动，下面的几种说法中正确的是（　　）
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
2．关于平抛运动，下列说法不正确的是（　　）
A．任意相等时间内速度变化量相同
B．任意相等时间内水平方向的位移相等
C．连续相邻相等时间内竖直方向的位移差是一个定值
D．只要运动时间足够长，速度方向可能变为竖直向下
（多选）3．关于平抛物体的运动，下列说法中正确的是（　　）
A．平抛物体运动的速度和加速度都随时间的增加而增大
B．平抛物体的运动是变加速运动
C．做平抛运动的物体仅受到重力的作用，所以加速度保持不变
D．做平抛运动的物体水平方向的速度始终不变
（多选）4．关于平抛运动，下列说法正确的是（　　）
A．平抛运动是一种变加速运动
B．做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大
C．做平抛运动的物体每秒内速度增量相等
D．做平抛运动的物体在相邻的每一秒内的位移增量相等
▉题型2 平抛运动在竖直和水平方向上的特点
【知识点的认识】
1.平抛运动的定义：平抛运动是初速度水平，只受重力作用的运动。
2.平抛运动可以看成水平方向和竖直方向两个直线运动的合运动。水平方向上有初速度，不受力，所以做匀速直线运动；竖直方向上无初速度，只受重力，所以做自由落体运动。
（多选）5．关于平抛运动，下列说法正确的是（　　）
A．平抛运动是匀变速运动
B．平抛运动是非匀速圆周运动
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的落地时间和落地速度只与抛出点的高度有关
（多选）6．关于平抛运动，下列说法正确的是（　　）
A．平抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C．平抛运动的速度不断改变，速度变化量的方向总是竖直向下
D．平抛运动的速度变化量与初速度无关
▉题型3 平抛运动速度的计算
【知识点的认识】
1.平抛运动的性质：平抛运动可以看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
2.设物体在平抛运动ts后，水平方向上的速度vx＝v0
竖直方向上的速度vy＝gt
从而可以得到物体的速度为v
3.同理如果知道物体的末速度和运动时间也可以求出平抛运动的初速度。
7．如图所示，某一小球以v0＝5m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°（空气阻力忽略不计，g取10m/s2）．以下判断中正确的是（　　）
A．小球经过A、B两点间的时间t＝（1）s
B．小球经过A、B两点间的时间ts
C．A、B两点间的高度差h＝10m
D．A、B两点间的高度差h＝2.5m
8．如图，一架飞机水平的匀速飞行，飞机上每隔1s释放一个铁球，先后共释放4个，若不计空气阻力，则落地前四个铁球在空中的排列情况是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线（　　）
A．交于OA上的同一点
B．交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点
C．交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点
D．因为小球的初速度和OA距离未知，所以无法确定
▉题型4 平抛运动位移的计算
【知识点的认识】
1.平抛运动的性质：平抛运动可以看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
2.设物体在平抛运动ts后，水平方向上的位移x＝v0t
竖直方向上的位移为y
物体的合位移为l
3.对于已知高度的平抛运动，竖直方向有h
水平方向有x＝v0t
联立得x＝v0
所以说平抛运动的水平位移与初速度大小和抛出点的高度有关。
10．如图所示，将某物体以一定的速度从距地面15m高处水平抛出，落地时物体速度与水平地面的夹角为60°。以物体抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，不计空气阻力，g取10m/s2，则物体运动的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
11．如图所示，某次排球训练中，小武同学在离水平地面高h2＝0.6m处将排球（可视为质点）垫起，排球离手时初速度方向与水平方向的夹角θ＝37°，一段时间后排球刚好能水平飞过离水平地面高h1＝2.4m的球网，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（　　）
A．排球从离手到刚好飞过球网的时间t＝0.8s
B．排球飞过球网时的速度大小v1＝8m/s
C．排球离手时与球网的水平距离x＝3m
D．排球离手时的初速度大小v0＝14m/s
12．在高处以初速度v0水平抛出一石子，当它的速度由水平变化为与水平成θ角的过程中，石子的水平方向位移是（　　）
A． B．
C． D．
13．为了清理堵塞河道的冰凌，实施投弹爆破，飞机在河道上空高H＝180m处以水平速度v0＝216km/h匀速飞行，投放炸弹并击中目标，不计空气阻力，g取10m/s2。求：
（1）炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离；
（2）炸弹击中目标时的速度大小。
▉题型5 平抛运动时间的计算
【知识点的认识】
1.平抛运动的性质：平抛运动可以看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
2.平抛运动在水平和竖直方向上的运动是独立的，而将这两个运动联系起来的就是时间。因为分运动与合运动具有同时性。
3.计算平抛运动时间的方法：
①已知平抛高度h，则根据竖直方向上可得t
②已知水平位移x和初速度v0，则根据水平方向上x＝v0t可得t
③已知某一时刻的速度v和书速度v0，则根据速度的合成有v2，从而可得t
④已知某一时刻的速度v及速度偏转角θ，
则gt＝vsinθ，从而得到t
⑤已知某一时刻的位移x及位移偏转角θ，
则，从而得到t
14．如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，AB为沿水平方向的直径，一物体在A点以向右的初速度vA水平抛出，同时另一物体在B点以向左的初速度vB水平抛出，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．B点抛出的物体比A点抛出的物体先到达P点
B．A、B两点抛出的物体到达P点时速率相同
C．抛出时，两物体的速度大小之比vA：vB＝16：9
D．抛出时，两物体的速度大小之比vA：vB＝9：16
15．如图所示，斜面倾角为30°，现以初速度v0m/s的将小球从斜面上水平抛出，运动中不计阻力，则从抛出到落在斜面上P点的时间为（　　）
A．0.2s B．0.3s C．0.4s D．0.5s
16．如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8m，取g＝10m/s2，则运动员跨过壕沟所用的时间为（　　）
A．3.2 s B．1.6 s C．0.8 s D．0.4 s
（多选）17．物体以v0的速度水平抛出，当其竖直分位移与水平分位移大小相等时，下列说法中正确的是（　　）
A．竖直分速度与水平分速度大小相等
B．瞬时速度的大小为v0
C．运动时间为
D．运动位移的大小为
▉题型6 平抛运动中的相遇问题
【知识点的认识】
本考点涉及到的相遇类型有平抛运动和平抛运动相遇、平抛运动和直线运动相遇的问题及平抛运动与其他类型运动的相遇问题。
18．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v1、v2沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　）
A．初速度v1、v2大小之比为4：3
B．若仅增大v1，两球不可能相碰
C．若v1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D
D．若只抛出甲球并适当改变v1大小，则甲球可能垂直击中圆环BC
（多选）19．如图所示，ABCD为竖直平面内正方形的四个顶点，边长为L，AD水平。分别从A点和D点同时各平抛一个小球M、N，其速度分别为v1，v2，若两小球能同时到达AC上的某点，当它们相遇时，下列说法正确的是（　　）（重力加速度为g，不计空气阻力）
A．若N球速度恰好垂直于AC，则两小球的初速度大小关系为v1＝2v2
B．若N球速度恰好垂直于AC，则两小球到达AC的时间为
C．若N球位移恰好垂直于AC，则两小球初速度大小关系为v2＝v1
D．若N球位移恰好垂直于AC，则两小球到达AC的时间为
（多选）20．如右图所示，虚线为A、B两小球的从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹。A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力。则（　　）
A．两球抛出时的速度大小相等
B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍
C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍
D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍
（多选）21．如图所示，同一竖直线上的A、B两点距地面的高度分别为hA＝1.65m、hB＝1.2m。将两个可看作质点的小球a、b分别从A、B两点以一定的初速度水平抛出，两小球在距地面高0.4m的P点相遇，已知重力加速度g为10m/s2，则（　　）
A．小球a、b有可能从A、B两点同时抛出
B．小球a一定比小球b早0.1s抛出
C．小球a、b抛出时的初速度大小之比为5：4
D．小球a、b在P点的竖直分速度大小之比为5：4
▉题型7 飞机投弹问题
【知识点的认识】
1.模型概念：飞机投弹问题是平抛运动的一种特殊情境。
2.模型解释：飞机在运动过程中投下炮弹，由于惯性，炮弹具有和飞机相同的水平速度，此后炮弹在重力作用下做平抛运动，因此可以用平抛运动的规律解决飞机投弹问题。
22．岁月静好，是因为有人负重前行!当今世界并不太平，人民解放军的守护是我国安定发展的基石。如图所示，在我国空军某部一次军事演习中，一架国产轰炸机正在进行投弹训练，轰炸机以200m/s的恒定速度向竖直峭壁水平飞行，先释放炸弹甲，再飞行5s后释放炸弹乙。炸弹甲和炸弹乙均击中竖直峭壁上的目标。不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．炸弹甲击中目标5s后，炸弹乙击中目标
B．炸弹甲和炸弹乙同时击中目标
C．两击中点间的距离为125m
D．释放炸弹甲时，飞机与峭壁间的水平距离为1000m
23．如图所示，一次军事演习中，一架轰炸机在高H＝2000m高空以v＝200m/s的速度水平匀速飞行，用两枚炸弹分别击中山脚和山顶的目标A和B。已知山高h＝720m，山脚与山顶的水平距离为x＝800m，不计空气阻力，g取10m/s2，求击中A、B两点的炮弹投弹的时间间隔Δt。
24．如图所示，飞机离地面高度为H＝500m，水平飞行速度为v1＝100m/s，追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，假设炸弹在空中飞行时的阻力忽略不计，欲使飞机投下的炸弹击中汽车．g＝10m/s2．求
（1）从飞机投下炸弹开始计时，炸弹在空中飞行时间？
（2）飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？
▉题型8 速度偏转角与位移偏转角
【知识点的认识】
1.定义：平抛运动是匀变速曲线运动，物体从抛出点运动一段时间后，速度与水平方向的夹角叫作速度偏转角，位移与水平方向的夹角叫作位移偏转角。
2.如果把速度偏转角记为α，位移偏转角记为θ，则有tanα＝2tanθ．
证明：如图所示：
由平抛运动规律得：tanα，tanθ，所以tanα＝2tanθ．
3.偏转角的应用
可以利用速度偏转角或位移偏转角计算平抛运动的时间
①已知某一时刻的速度v及速度偏转角θ，
则gt＝vsinθ，从而得到t
②已知某一时刻的位移x及位移偏转角θ，
则，从而得到t
25．如图所示，湖边有倾角为θ的大坝，水面与大坝的交点为O。人站在大坝上A点处以水平初速度v0沿垂直河岸方向向湖里抛石子，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　）
A．初速度v0越大，石子在空中运动时间越长
B．石子在空中运动时速度变化率在不断变大
C．若石子能落入水中，则石子在空中的速度变化量恒定不变
D．若石子不能落入水中，初速度v0越大落到斜面时速度方向与斜面的夹角越大
26．下列关于平抛运动说法正确的是（　　）
A．在日常生活中，我们将物体以水平速度抛出后物体在空气中一定做平抛运动
B．做平抛运动的物体水平位移越大，则说明物体的初速度越大
C．做平抛运动的物体运动时间越长，则说明物体做平抛运动的竖直高度越大
D．做平抛运动的物体落地时速度方向与水平方向夹角的正弦值与时间成正比
（多选）27．如图，从地面上方某点，将一小球以5m/s的初速度沿水平方向抛出。小球经过1s落地。不计空气阻力，g取10m/s2，则可求出（　　）
A．小球抛出时离地面的高度是5m
B．小球落地时的速度方向与水平地面成30°角
C．小球落地时的速度大小是15m/s
D．小球从抛出点到落地点的水平位移大小是5m
▉题型9 速度反向延长线的特点
【知识点的认识】
做平抛运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如图所示，设平抛物体的初速度为v0，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为（x，y），B点坐标为（x′，0），则x＝v0t，ygt2，v⊥＝gt，又tanα，
解得x′．
即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点必为此时水平位移的中点．
28．如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　）
A．两球抛出的速率之比为1：4
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
（多选）29．如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度v1和v2水平相向抛出，初速度为v1的小球落到a点所用时间为t1，初速度为v2的小球落到b点所用时间为t2，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（　　）
A．两小球的初速度一定有v1＜v2
B．两小球落到圆环上所用的时间满足t1＜t2
C．不论v1和v2满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上
D．若两小球同时水平抛出，不论v1和v2满足什么关系，两小球都能在空中相遇
（多选）30．如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，AB为水平直径，O为圆心，将一些半径远小于轨道半径的小球从A点以不同的初速度沿直径水平向右抛出，若不计空气阻力，在小球从抛出到碰到轨道这个过程中．则（　　）
A．无论初速度取何值，小球均不可以垂直撞击半圆形轨道
B．初速度不同的小球运动时间一定不相同
C．初速度小的小球运动时间长
D．落在半圆形轨道最低点的小球运动时间最长
▉题型10 平抛运动与斜面的结合
【知识点的认识】
该考点旨在分析平抛运动与斜面相结合的问题，可以是从斜面上平抛的问题，也可以是落到斜面上的平抛问题。
31．如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（　　）
A． B． C． D．
32．在足够长斜面上，若以初速度v1将一枚小球水平抛出，小球从抛出到落在斜面上的时间为t1，若以初速度v2将这枚小球水平抛出，小球从抛出到落在斜面上的时间为t2，忽略空气阻力，则以下关系成立的是（　　）
A．v1t1＝v2t2 B．v1t2＝v2t1
C． D．
33．轰炸机是军用飞机之一，在某次演习中，轰炸机沿水平方向投出了一枚炸弹，初速度大小为v0，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为θ＝37°，如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。下列说法正确的是（　　）
A．炸弹刚落到山坡时的速度大小是
B．炸弹从水平投出到落到斜坡上，所用的时间是
C．炸弹从投出到落到斜坡上的位移为
D．炸弹从水平投出到落在斜坡上位移偏转角为速度偏转角的一半
▉题型11 平抛运动与曲面的结合
【知识点的认识】
本考点旨在研究平抛运动最后落在曲面上的问题，包括圆弧曲面和一般曲面。但不包括圆周运动相关问题。
34．如图所示，a、b两个小球均从一个倾角为45°的斜面顶端以不同的初速度向右水平抛出，斜面与一个圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。则下列说法正确的是（　　）
A．a、b两个小球在空中运动时间一定不相同
B．a、b两个小球平抛运动末速度方向一定不相同
C．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置时，速度大小一定不相等
D．若小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直
（多选）35．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍。若小球b能落到斜面上，则（　　）
A．a、b两球不可能同时落在半圆轨道和斜面上
B．改变初速度的大小，b球落到斜面时的速度方向和斜面的夹角不变化
C．改变初速度的大小，a球可能垂直撞在圆弧面上
D．a、b两球同时落在半圆轨道和斜面上时，两球的速度方向垂直
▉题型12 在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）
【知识点的认识】
1．定义：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，物体做类平抛运动。本考点旨在研究物体在斜面上做曲线运动的情形。如下图：
2．类平抛运动的分解方法
（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
3．类平抛运动问题的求解思路：
根据物体受力特点和运动特点判断该问题属于类平抛运动问题﹣﹣求出物体运动的加速度﹣﹣根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求解。
4．类抛体运动
当物体在巨力作用下运动时，若物体的初速度不为零且与外力不在一条直线上，物体所做的运动就是类抛体运动。
在类抛体运动中可采用正交分解法处理问题，基本思路为：
①建立直角坐标系，将外力、初速度沿这两个方向分解。
②求出这两个方向上的加速度、初速度。
③确定这两个方向上的分运动性质，选择合适的方程求解。
（多选）36．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面的倾角θ＝30°，斜面长a＝10m，宽b＝8m，一小球（可视为质点）从顶端B处水平向左射入，沿图中轨迹到达斜面底端A点，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．小球在斜面上运动的加速度大小为
B．小球在B点的速度大小为4m/s
C．小球从B运动到A的过程中速度、加速度不断变化
D．小球从B运动到A的过程中，速度变化量大小为10m/s
37．如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）物块加速度的大小a；
（2）物块由P运动到Q所用的时间t；
（3）物块由P点水平射入时初速度的大小v0。
▉题型13 在外力作用下的类平抛运动
【知识点的认识】
1．定义：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，物体做类平抛运动。本考点旨在研究物体在拉力或其他力的作用下做曲线运动的情形。
2．类平抛运动的分解方法
（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
3．类平抛运动问题的求解思路：
根据物体受力特点和运动特点判断该问题属于类平抛运动问题﹣﹣求出物体运动的加速度﹣﹣根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求解。
4．类抛体运动
当物体在巨力作用下运动时，若物体的初速度不为零且与外力不在一条直线上，物体所做的运动就是类抛体运动。
在类抛体运动中可采用正交分解法处理问题，基本思路为：
①建立直角坐标系，将外力、初速度沿这两个方向分解。
②求出这两个方向上的加速度、初速度。
③确定这两个方向上的分运动性质，选择合适的方程求解。
38．合成与分解是在等效的思想下解决复杂运动的一种重要方法，我们可以按照问题的实际情况进行恰当地合成与分解，将复杂运动变为简单运动来研究。如图所示，虚线AB与水平地面的夹角为37°，质量为m的小球从P点以大小为v0的初速度沿与AB平行的方向抛出，运动过程中小球始终受到大小、方向水平向右的风力的作用，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，且P、C两点间的距离为，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的D点，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，小球可视为质点。
（1）研究小球从P点运动至地面的过程，可以将小球的速度沿水平与竖直方向分解。
①求小球从P点运动到最高点的时间；
②若小球离地面的高度h＝8m，v0＝10m/s，重力加速度g取10m/s2，求小球落地时的水平位移大小。
（2）研究小球从P点运动到D点的过程，可以将F与G合成一个力，据此请求出小球从P点运动到D点的时间。
39．在光滑的水平面内，一质量m＝1kg的质点以速度v0＝10m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向的恒力F1＝5N作用，质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，直线OA与x轴正方向成37°角，如图所示，求：
（1）质点从O点运动到P点所经历的时间；
（2）P点的坐标；
（3）质点到达P点后，撤去恒力F1，改施另一恒力F2，F2作用5s后，质点速度变为零．求恒力F2的大小与方向．
40．在光滑水平面内建立xOy坐标系，质量为m＝0.25kg的小球正沿y轴正方向匀速运动，其速度为v0＝2m/s．如图所示，当质点运动到原点O处时开始受到+x方向的恒力F作用．
（1）若要使小球能经过坐标为（4，4）的p点，则恒力F大小为多大？
（2）在（1）问中当小球运动1秒时，其速度方向与+x方向的夹角为多少？第2章第2节 平抛运动
题型1 平抛运动的概念和性质 题型2 平抛运动在竖直和水平方向上的特点
题型3 平抛运动速度的计算 题型4 平抛运动位移的计算
题型5 平抛运动时间的计算 题型6 平抛运动中的相遇问题
题型7 飞机投弹问题 题型8 速度偏转角与位移偏转角
题型9 速度反向延长线的特点 题型10 平抛运动与斜面的结合
题型11 平抛运动与曲面的结合 题型12 在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）
题型13 在外力作用下的类平抛运动
▉题型1 平抛运动的概念和性质
【知识点的认识】
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下的运动．
2．关键词：（1）初速度沿水平方向；（2）只受重力作用．
3．性质：匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线．
4．研究方法：分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动两个分运动．
1．关于平抛运动，下面的几种说法中正确的是（　　）
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
【答案】B
【解答】解：A、平抛运动仅受重力，做曲线运动，故A错误；
B、平抛运动在水平方向上的分速度不变，竖直分速度一直增大，根据平行四边形定则知，平抛运动的速度大小一直增大，方向在不断改变，故B正确；
C、平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故C错误；
D、根据x＝v0t＝v0得，平抛运动的物体水平位移与质量无关，故D错误。
故选：B。
2．关于平抛运动，下列说法不正确的是（　　）
A．任意相等时间内速度变化量相同
B．任意相等时间内水平方向的位移相等
C．连续相邻相等时间内竖直方向的位移差是一个定值
D．只要运动时间足够长，速度方向可能变为竖直向下
【答案】D
【解答】解：A、根据Δv＝gt可知，平抛运动在任意相等时间内速度变化量相同，故A正确；
B、根据x＝v0t可知，任意相等时间内水平方向的位移相等，故B正确；
C、平抛运动在竖直方向是自由落体运动，根据匀变速直线运动的规律可知，在连续相邻相等时间内竖直方向的位移差是一个定值，故C正确；
D、平抛运动因为有水平方向的初速度，故落地速度与水平地面有一定夹角，故不可能竖直向下，故D错误。
本题选错误的，故选：D。
（多选）3．关于平抛物体的运动，下列说法中正确的是（　　）
A．平抛物体运动的速度和加速度都随时间的增加而增大
B．平抛物体的运动是变加速运动
C．做平抛运动的物体仅受到重力的作用，所以加速度保持不变
D．做平抛运动的物体水平方向的速度始终不变
【答案】CD
【解答】解：AC．平抛物体运动的速度随时间的增加而增大，加速度不变，故A错误，C正确；
B．平抛物体的加速度不变，是匀变速曲线运动，故B错误；
D．做平抛运动的物体水平方向不受力，水平速度始终不变，故D正确；
故选：CD。
（多选）4．关于平抛运动，下列说法正确的是（　　）
A．平抛运动是一种变加速运动
B．做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大
C．做平抛运动的物体每秒内速度增量相等
D．做平抛运动的物体在相邻的每一秒内的位移增量相等
【答案】CD
【解答】解：AB、平抛运动只受重力，故根据牛顿第二定律，加速度的大小和方向都不变，是一种匀变速曲线运动，故AB错误；
C、由于平抛运动的加速度恒定，故速度每秒的增加量相同，方向为竖直向下，故C正确；
D、平抛运动水平分运动为匀速运动，竖直分运动为自由落体运动，有x＝v0t，，相邻的相等时间内位移之差为Δx＝gt2，故物体在相邻的每一秒内的位移增量相等，方向为竖直向下，故D正确；
故选：CD。
▉题型2 平抛运动在竖直和水平方向上的特点
【知识点的认识】
1.平抛运动的定义：平抛运动是初速度水平，只受重力作用的运动。
2.平抛运动可以看成水平方向和竖直方向两个直线运动的合运动。水平方向上有初速度，不受力，所以做匀速直线运动；竖直方向上无初速度，只受重力，所以做自由落体运动。
（多选）5．关于平抛运动，下列说法正确的是（　　）
A．平抛运动是匀变速运动
B．平抛运动是非匀速圆周运动
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的落地时间和落地速度只与抛出点的高度有关
【答案】AC
【解答】解：A、平抛运动的物体只受到重力的作用，加速度是重力加速度g，所以平抛运动是匀变速曲线运动，故A正确。
B、平抛运动的轨迹是抛物线，不是圆周运动，故B错误。
C、平抛运动只受重力，具有水平初速度，水平方向不受外力，所以由于惯性水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，故C正确。
D、由h得t，则知平抛运动的落地时间只与抛出点的高度有关。
落地速度为：v，可知落地速度与抛出点的高度、初速度有关。故D错误。
故选：AC。
（多选）6．关于平抛运动，下列说法正确的是（　　）
A．平抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C．平抛运动的速度不断改变，速度变化量的方向总是竖直向下
D．平抛运动的速度变化量与初速度无关
【答案】BCD
【解答】解：A、平抛运动的加速度不变，做匀变速曲线运动，速度的方向不断改变。故A错误。
B、平抛运动在水平方向上不受力，做匀速直线运动，在竖直方向上初速度为零，仅受重力，做自由落体运动，所以平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。故B正确。
C、平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上初速度为零做自由落体运动，速度不断改变，速度变化量的方向总是竖直向下。故C正确。
D、平抛运动的时间由高度决定，与初速度无关。故D正确。
故选：BCD。
▉题型3 平抛运动速度的计算
【知识点的认识】
1.平抛运动的性质：平抛运动可以看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
2.设物体在平抛运动ts后，水平方向上的速度vx＝v0
竖直方向上的速度vy＝gt
从而可以得到物体的速度为v
3.同理如果知道物体的末速度和运动时间也可以求出平抛运动的初速度。
7．如图所示，某一小球以v0＝5m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°（空气阻力忽略不计，g取10m/s2）．以下判断中正确的是（　　）
A．小球经过A、B两点间的时间t＝（1）s
B．小球经过A、B两点间的时间ts
C．A、B两点间的高度差h＝10m
D．A、B两点间的高度差h＝2.5m
【答案】D
【解答】解：AB、根据平行四边形定则知，A、B两点处竖直分速度大小分别为 vyA＝v0＝5m/s，vyB＝v0tan60°v0，
则小球由A到B的时间 ts．故A、B错误。
CD、A、B的高度差 hm＝2.5m，故C错误，D正确。
故选：D。
8．如图，一架飞机水平的匀速飞行，飞机上每隔1s释放一个铁球，先后共释放4个，若不计空气阻力，则落地前四个铁球在空中的排列情况是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：飞机上释放的铁球做平抛运动，平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，所以释放的铁球全部在飞机的正下方。在竖直方向上做自由落体运动，所以相等时间间隔内的位移越来越大。故C正确，ABD错误
故选：C。
9．如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线（　　）
A．交于OA上的同一点
B．交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点
C．交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点
D．因为小球的初速度和OA距离未知，所以无法确定
【答案】A
【解答】解：设小球到达墙壁时速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，如图所示，
则有：，，
可知tanθ＝2tanα，
由几何关系知，速度的反向延长线经过AO的中点，即所有小球速度的反向延长线交于OA上的同一点。
故选：A。
▉题型4 平抛运动位移的计算
【知识点的认识】
1.平抛运动的性质：平抛运动可以看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
2.设物体在平抛运动ts后，水平方向上的位移x＝v0t
竖直方向上的位移为y
物体的合位移为l
3.对于已知高度的平抛运动，竖直方向有h
水平方向有x＝v0t
联立得x＝v0
所以说平抛运动的水平位移与初速度大小和抛出点的高度有关。
10．如图所示，将某物体以一定的速度从距地面15m高处水平抛出，落地时物体速度与水平地面的夹角为60°。以物体抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，不计空气阻力，g取10m/s2，则物体运动的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：竖直方向为自由落体运动，则由
得
落地时竖直方向的速度vy＝gt
又由落地时物体速度与水平地面的夹角为60°；可得水平方向的初速度10m/s
则可得水平位移x＝v0t
联立
得
故ABD错误，C正确。
故选：C。
11．如图所示，某次排球训练中，小武同学在离水平地面高h2＝0.6m处将排球（可视为质点）垫起，排球离手时初速度方向与水平方向的夹角θ＝37°，一段时间后排球刚好能水平飞过离水平地面高h1＝2.4m的球网，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（　　）
A．排球从离手到刚好飞过球网的时间t＝0.8s
B．排球飞过球网时的速度大小v1＝8m/s
C．排球离手时与球网的水平距离x＝3m
D．排球离手时的初速度大小v0＝14m/s
【答案】B
【解答】解：排球水平飞过球网，其逆过程是平抛运动，在竖直方向：，代入数据解得：t＝0.6s，故A错误；
B、排球在竖直方向的分速度大小vy＝gt＝10×0.6m/s＝6m/s，排球刚发出时，解得：v1＝8m/s，故B正确；
C、排球在水平方向上做匀速直线运动，x＝v1t＝8×0.6m＝4.8m，故C错误；
D、排球离手时的初速度大小v0m/s＝10m/s，故D错误。
故选：B。
12．在高处以初速度v0水平抛出一石子，当它的速度由水平变化为与水平成θ角的过程中，石子的水平方向位移是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据平行四边形定则知，tanθ，
解得vy＝v0tanθ，
则运动的时间t，水平方向的位移x。
故选：C。
13．为了清理堵塞河道的冰凌，实施投弹爆破，飞机在河道上空高H＝180m处以水平速度v0＝216km/h匀速飞行，投放炸弹并击中目标，不计空气阻力，g取10m/s2。求：
（1）炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离；
（2）炸弹击中目标时的速度大小。
【答案】（1）炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离为360m；
（2）炸弹击中目标时的速度大小为60m/s。
【解答】解：（1）炸弹脱离飞机到击中目标在空中做平抛运动，
炸弹的水平速度v0＝216km/h＝60m/s
竖直方向做自由落体运动，则有
水平方向做匀速运动，则有x＝v0t
解得t＝6s
x＝360m
（2）击中目标时竖直方向的速度为vy，则有
vy＝gt＝10×6m/s＝60m/s
所以炸弹击中目标时的速度大小
答：（1）炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离为360m；
（2）炸弹击中目标时的速度大小为60m/s。
▉题型5 平抛运动时间的计算
【知识点的认识】
1.平抛运动的性质：平抛运动可以看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
2.平抛运动在水平和竖直方向上的运动是独立的，而将这两个运动联系起来的就是时间。因为分运动与合运动具有同时性。
3.计算平抛运动时间的方法：
①已知平抛高度h，则根据竖直方向上可得t
②已知水平位移x和初速度v0，则根据水平方向上x＝v0t可得t
③已知某一时刻的速度v和书速度v0，则根据速度的合成有v2，从而可得t
④已知某一时刻的速度v及速度偏转角θ，
则gt＝vsinθ，从而得到t
⑤已知某一时刻的位移x及位移偏转角θ，
则，从而得到t
14．如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，AB为沿水平方向的直径，一物体在A点以向右的初速度vA水平抛出，同时另一物体在B点以向左的初速度vB水平抛出，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．B点抛出的物体比A点抛出的物体先到达P点
B．A、B两点抛出的物体到达P点时速率相同
C．抛出时，两物体的速度大小之比vA：vB＝16：9
D．抛出时，两物体的速度大小之比vA：vB＝9：16
【答案】C
【解答】解：A、两物体同时抛出且都落到P点，则两物体在竖直方向上下落了相同的高度H，由平抛运动规律可知，在竖直方向上有，解得，即两物体同时到达P点，故A错误；
CD、设半圆形容器的半径为R，如图所示，
由几何关系得，，则xAM：xBM＝16：9，根据平抛运动规律在水平方向上有 x＝vt，由于两物体运动的时间相等，则两物体抛出的水平距离之比等于它们的抛出速度之比，所以vA：vB＝16：9，故C正确、D错误；
B、因两物体初速度不同，竖直方向速度相同，故到达P点时速率不相同，故B错误。
故选：C。
15．如图所示，斜面倾角为30°，现以初速度v0m/s的将小球从斜面上水平抛出，运动中不计阻力，则从抛出到落在斜面上P点的时间为（　　）
A．0.2s B．0.3s C．0.4s D．0.5s
【答案】A
【解答】解：小球在空中做平抛运动，落在斜面上P点时，由平抛运动规律得：
可得：，解得：t＝0.2s，故A正确，BCD错误。
故选：A。
16．如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8m，取g＝10m/s2，则运动员跨过壕沟所用的时间为（　　）
A．3.2 s B．1.6 s C．0.8 s D．0.4 s
【答案】D
【解答】解：根据得：t．故D正确，A、B、C错误。
故选：D。
（多选）17．物体以v0的速度水平抛出，当其竖直分位移与水平分位移大小相等时，下列说法中正确的是（　　）
A．竖直分速度与水平分速度大小相等
B．瞬时速度的大小为v0
C．运动时间为
D．运动位移的大小为
【答案】BCD
【解答】解：
A、C、竖直分位移与水平分位移大小相等，故v0tgt2，解得：t，故vy＝gt＝g2v0，即竖直分速度是水平分速度的2倍。故A错误，C正确；
B、平抛运动瞬时速度的大小为vv0．故B正确；
D、竖直分位移与水平分位移大小相等，故v0tgt2，解得t；故x＝v0ty，合位移为Sx；故D正确；
故选：BCD。
▉题型6 平抛运动中的相遇问题
【知识点的认识】
本考点涉及到的相遇类型有平抛运动和平抛运动相遇、平抛运动和直线运动相遇的问题及平抛运动与其他类型运动的相遇问题。
18．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v1、v2沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　）
A．初速度v1、v2大小之比为4：3
B．若仅增大v1，两球不可能相碰
C．若v1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D
D．若只抛出甲球并适当改变v1大小，则甲球可能垂直击中圆环BC
【答案】D
【解答】解：A．根据题意，作出轨迹图及速度的分解图，如下图：
甲、乙两球从等高处做平抛运动恰好在C点相碰，则时间相等，水平方向有：
x乙＝v2t＝R
初速度v1、v2大小之比为3：4，故A错误；
B．两球相碰，则满足，若仅增大v1，显然存在t满足方程，所以两球会相碰，故B错误；
C．若v1大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于甲球会碰到斜面，下落高度减小时间减小，所以甲球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，故C错误；
D．若甲球能垂直击中圆环BC，则甲球的落地速度的反向延长线通过圆心O点，根据平抛运动的推论，只要O点是甲球水平位移的中点即可，经分析可知适当增大甲球的水平初速度就有可能，故D正确．
故选：D．
（多选）19．如图所示，ABCD为竖直平面内正方形的四个顶点，边长为L，AD水平。分别从A点和D点同时各平抛一个小球M、N，其速度分别为v1，v2，若两小球能同时到达AC上的某点，当它们相遇时，下列说法正确的是（　　）（重力加速度为g，不计空气阻力）
A．若N球速度恰好垂直于AC，则两小球的初速度大小关系为v1＝2v2
B．若N球速度恰好垂直于AC，则两小球到达AC的时间为
C．若N球位移恰好垂直于AC，则两小球初速度大小关系为v2＝v1
D．若N球位移恰好垂直于AC，则两小球到达AC的时间为
【答案】BC
【解答】解：A、若N球到达AC时，N球速度恰好垂直于AC，如图1所示，
M球位移偏角为45°，N球速度偏角为45°，对M求有1，对N球有1，可得v2＝2v1，故A错误；
B、N球速度恰好垂直于AC时，M、N两小球水平位移之比为1：2，小球下落高度为，故两小球到达AC的时间为，故B正确；
C、若N球到达AC时，N球位移恰好垂直于AC，如图2所示，
M球位移偏角为45°，N球位移偏角为45°，由平抛运动的特征可知v2＝v1，故C正确；
D、若N球位移恰好垂直于AC，两小球的水平位移之比为1：1，两小球下落高度为，故两小球到达AC的时间为，故D错误。
故选：BC。
（多选）20．如右图所示，虚线为A、B两小球的从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹。A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力。则（　　）
A．两球抛出时的速度大小相等
B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍
C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍
D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍
【答案】AD
【解答】解：A、由题意知，B球从台阶2的右端水平抛出时，A球运动到台阶2右端正上方，即两球运动到水平方向同一位置，
之后两球能够相遇，所以在相同时间内两球运动了相同的水平位移，则两球的水平初速度相等，故A正确；
B、由A项分析可知两球水平速度相等，且每个台阶宽度相等，则A、B两球运动的总时间之比为2：1，
所以相遇时两球竖直速度之比为2：1，而水平速度相等，故合速度并非2：1，故B错误；
C、两球运动的总时间之比为2：1，由竖直位移与时间的关系可知两球下落的高度之比为4：1，
所以台阶1、2的高度差与台阶2、3的高度差之比为3：1，故C错误；
D、设两球相遇时A球竖直速度为v1，B球竖直速度为v2，两球水平速度相等均为v0，
由题意知，A球的速度与水平方向夹角的正切值为，B球的速度与水平方向夹角的正切值为，
且两球运动的总时间之比为2：1，由v＝gt可知竖直方向上的速度之比也为2：1，即v1：v2＝2：1，
所以A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍，故D正确。
故选：AD。
（多选）21．如图所示，同一竖直线上的A、B两点距地面的高度分别为hA＝1.65m、hB＝1.2m。将两个可看作质点的小球a、b分别从A、B两点以一定的初速度水平抛出，两小球在距地面高0.4m的P点相遇，已知重力加速度g为10m/s2，则（　　）
A．小球a、b有可能从A、B两点同时抛出
B．小球a一定比小球b早0.1s抛出
C．小球a、b抛出时的初速度大小之比为5：4
D．小球a、b在P点的竖直分速度大小之比为5：4
【答案】BD
【解答】解：AB、设小球a、b从抛出到运动至P点所用时间为t1、t2，根据小球竖直方向做自由落体运动有
对A有 hA﹣hPg
对B有 hB﹣hPg
代入数据可得t1＝0.5s t2＝0.4s
故两小球在P点相遇，则小球a一定比小球b早0.1s抛出，故A错误，B正确；
C、设小球a、b抛出时的初速度分别为v1、v2，两小球在水平方向匀速运动的位移为x，则
x＝v1t1＝v2t2
故小球a、b抛出时的初速度大小之比，故C错误；
D、设小球a、b在P点的竖直分速度大小分别为vy1、vy2，根据竖直方向自由落体运动规律可得
vy1＝gt1
vy2＝gt2
故小球a、b在P点的竖直分速度大小之比，故D正确。
故选：BD。
▉题型7 飞机投弹问题
【知识点的认识】
1.模型概念：飞机投弹问题是平抛运动的一种特殊情境。
2.模型解释：飞机在运动过程中投下炮弹，由于惯性，炮弹具有和飞机相同的水平速度，此后炮弹在重力作用下做平抛运动，因此可以用平抛运动的规律解决飞机投弹问题。
22．岁月静好，是因为有人负重前行!当今世界并不太平，人民解放军的守护是我国安定发展的基石。如图所示，在我国空军某部一次军事演习中，一架国产轰炸机正在进行投弹训练，轰炸机以200m/s的恒定速度向竖直峭壁水平飞行，先释放炸弹甲，再飞行5s后释放炸弹乙。炸弹甲和炸弹乙均击中竖直峭壁上的目标。不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．炸弹甲击中目标5s后，炸弹乙击中目标
B．炸弹甲和炸弹乙同时击中目标
C．两击中点间的距离为125m
D．释放炸弹甲时，飞机与峭壁间的水平距离为1000m
【答案】B
【解答】解：AB、飞机做匀速直线运动，炸弹做平抛运动，它们沿水平方向的速度一直是相等的，故炸弹一直在飞机的正下方，故炸弹甲和炸弹乙同时击在悬崖壁上的目标，故A错误，B正确；
C、设乙击中目标的时间为t，两击中点间距离为Δsg（t+5）2gt2g×52m＝125m，故C错误；
D、释放炸弹甲时，飞机与峭壁的水平距离为s＝v0（t+5）＞1000m，故D错误；
故选：B。
23．如图所示，一次军事演习中，一架轰炸机在高H＝2000m高空以v＝200m/s的速度水平匀速飞行，用两枚炸弹分别击中山脚和山顶的目标A和B。已知山高h＝720m，山脚与山顶的水平距离为x＝800m，不计空气阻力，g取10m/s2，求击中A、B两点的炮弹投弹的时间间隔Δt。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：炸弹在竖直方向做自由落体运动
炸弹落到A点所用时间t1＝20s
炮弹落到B点所用时间t2＝16s
两炮弹投弹的水平方向距离之差Δx＝x1+x﹣x2＝vt1+x﹣vt2
解得Δx＝1600m
时间间隔
解得Δt＝8s。
答：击中A、B两点的炮弹投弹的时间间隔8s。
24．如图所示，飞机离地面高度为H＝500m，水平飞行速度为v1＝100m/s，追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，假设炸弹在空中飞行时的阻力忽略不计，欲使飞机投下的炸弹击中汽车．g＝10m/s2．求
（1）从飞机投下炸弹开始计时，炸弹在空中飞行时间？
（2）飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据H得，t，
（2）根据水平位移关系有：Δx＝v1t﹣v2t＝100×10﹣20×10m＝800m．
答：（1）从飞机投下炸弹开始计时，炸弹在空中飞行的时间为10s．
（2）飞机应在距离汽车的水平距离800m处投弹．
▉题型8 速度偏转角与位移偏转角
【知识点的认识】
1.定义：平抛运动是匀变速曲线运动，物体从抛出点运动一段时间后，速度与水平方向的夹角叫作速度偏转角，位移与水平方向的夹角叫作位移偏转角。
2.如果把速度偏转角记为α，位移偏转角记为θ，则有tanα＝2tanθ．
证明：如图所示：
由平抛运动规律得：tanα，tanθ，所以tanα＝2tanθ．
3.偏转角的应用
可以利用速度偏转角或位移偏转角计算平抛运动的时间
①已知某一时刻的速度v及速度偏转角θ，
则gt＝vsinθ，从而得到t
②已知某一时刻的位移x及位移偏转角θ，
则，从而得到t
25．如图所示，湖边有倾角为θ的大坝，水面与大坝的交点为O。人站在大坝上A点处以水平初速度v0沿垂直河岸方向向湖里抛石子，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　）
A．初速度v0越大，石子在空中运动时间越长
B．石子在空中运动时速度变化率在不断变大
C．若石子能落入水中，则石子在空中的速度变化量恒定不变
D．若石子不能落入水中，初速度v0越大落到斜面时速度方向与斜面的夹角越大
【答案】C
【解答】解：人站在大坝上A点处以水平初速度v0沿垂直河岸方向向湖里抛石子，若石子恰好落在O点，由平抛运动的规律有，x＝v0t＝LOAcosθ
联立解得
A．当初速度时，石块会落入水中，下落高度恒定，运动时间恒定，故A错误；
C．若石子能落入水中，石子在空中运动时速度变化量Δv＝gt
石子在空中运动时间恒定，则石子在空中的速度变化量恒定不变，故C正确；
B．石子在空中运动时，速度随时间的变化率
加速度恒定不变，故B错误；
D．当初速度时，石子落在大坝的斜面上，位移与水平方向的夹角为θ，根据
设速度方向与水平方向的夹角为α，根据
则推出tanα＝2tanθ
所以落到大坝的斜面上时速度方向与斜面的夹角是定值，与v0无关，故D错误。
故选：C。
26．下列关于平抛运动说法正确的是（　　）
A．在日常生活中，我们将物体以水平速度抛出后物体在空气中一定做平抛运动
B．做平抛运动的物体水平位移越大，则说明物体的初速度越大
C．做平抛运动的物体运动时间越长，则说明物体做平抛运动的竖直高度越大
D．做平抛运动的物体落地时速度方向与水平方向夹角的正弦值与时间成正比
【答案】C
【解答】解：A、平抛运动是指将物体水平抛出后只受重力作用的运动，在日常生活中，物体水平抛出后空气阻力不能忽略，所以做的不是平抛运动，故A错误。
B、平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，则初速度 v0，只有在时间t一定时，水平位移越大，物体的初速度才越大，否则不一定，故B错误。
C、平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由h，知物体运动时间越长，说明物体做平抛运动的竖直高度越大，故C正确。
D、做平抛运动的物体落地时速度方向与水平方向夹角的正弦值 sinα，则知sinα与t不成正比，故D错误。
故选：C。
（多选）27．如图，从地面上方某点，将一小球以5m/s的初速度沿水平方向抛出。小球经过1s落地。不计空气阻力，g取10m/s2，则可求出（　　）
A．小球抛出时离地面的高度是5m
B．小球落地时的速度方向与水平地面成30°角
C．小球落地时的速度大小是15m/s
D．小球从抛出点到落地点的水平位移大小是5m
【答案】AD
【解答】解：A、小球在竖直方向上做自由落体运动，根据hgt2得小球抛出时离地面的高度为：h10×1m＝5m，故A正确；
B、小球落地时竖直方向上的速度：vy＝gt＝10×1m/s＝10m/s，设小球落地时速度与水平方向的夹角为θ，则tanθ2，所以夹角不等于30°，故B错误；
C、小球落地的速度：vm/sm/s，故C错误；
D、小球在水平方向上的位移：x＝v0t＝5×1m＝5m，故D正确。
故选：AD。
▉题型9 速度反向延长线的特点
【知识点的认识】
做平抛运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如图所示，设平抛物体的初速度为v0，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为（x，y），B点坐标为（x′，0），则x＝v0t，ygt2，v⊥＝gt，又tanα，
解得x′．
即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点必为此时水平位移的中点．
28．如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　）
A．两球抛出的速率之比为1：4
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
【答案】B
【解答】解：A、由几何关系M、N的水平位移分别为R，R，运动时间相等，xM＝v1t，xN＝v2t，得v1：v2＝1：3，故A错误；
B、若只增大v1，M运动轨迹将向右一些，两球在空中相遇，故B正确；
C、只要两球落在坑中同一点，水平位移之和为2R，则（v1+v2）t＝2R，落点不同，竖直位移不同，t不同，v1+v2不是定值，故C错误；
D、如果能垂直落入坑中，速度反向延长线过圆心，水平位移为2R，应打在N点，但由平抛运动知识不可能打在N点，故不可能垂直落入坑中，故D错误．
故选：B。
（多选）29．如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度v1和v2水平相向抛出，初速度为v1的小球落到a点所用时间为t1，初速度为v2的小球落到b点所用时间为t2，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（　　）
A．两小球的初速度一定有v1＜v2
B．两小球落到圆环上所用的时间满足t1＜t2
C．不论v1和v2满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上
D．若两小球同时水平抛出，不论v1和v2满足什么关系，两小球都能在空中相遇
【答案】BC
【解答】解：A、根据t，因为b下落高度大，所以b平抛运动的时间长，水平位移x＝v0t，由图b的水平位移小，所以b球的初速度小于a球的初速度，即 v2＜v1，故A错误；
B、由A分析知 t1＜t2，故B正确。
C、设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β吗，有：
tanα
tanβ
tanα＝2tanβ，可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交点在圆心，但不是水平位移的中点，故C正确。
D、如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示，故D错误
故选：BC。
（多选）30．如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，AB为水平直径，O为圆心，将一些半径远小于轨道半径的小球从A点以不同的初速度沿直径水平向右抛出，若不计空气阻力，在小球从抛出到碰到轨道这个过程中．则（　　）
A．无论初速度取何值，小球均不可以垂直撞击半圆形轨道
B．初速度不同的小球运动时间一定不相同
C．初速度小的小球运动时间长
D．落在半圆形轨道最低点的小球运动时间最长
【答案】AD
【解答】解：A、小球撞击在圆弧左侧时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧右侧时，根据“中点”推论：平抛运动速度的反向延长线交水平位移的中点，可知，由于O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆弧上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆弧，故A正确；
B、由，得，平抛运动的时间由下落的高度决定，速度不同的小球下落的高度可能相同，运动的时间可能相同，故B错误；
C、初速度小的小球下落的高度不一定大，则运动时间不一定长，故C错误；
D、落在半圆形轨道最低点的小球，下落的高度最大，则运动的时间最长，故D正确；
故选：AD。
▉题型10 平抛运动与斜面的结合
【知识点的认识】
该考点旨在分析平抛运动与斜面相结合的问题，可以是从斜面上平抛的问题，也可以是落到斜面上的平抛问题。
31．如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：小球从A点开始做平抛运动到C点，则竖直方向有：
水平方向有：L＝v0t
解得：，故A正确，BCD错误．
故选：A。
32．在足够长斜面上，若以初速度v1将一枚小球水平抛出，小球从抛出到落在斜面上的时间为t1，若以初速度v2将这枚小球水平抛出，小球从抛出到落在斜面上的时间为t2，忽略空气阻力，则以下关系成立的是（　　）
A．v1t1＝v2t2 B．v1t2＝v2t1
C． D．
【答案】B
【解答】解：在足够长斜面上，忽略空气阻力，设斜面倾角为θ，根据平抛运动规律则有
同理可知
可知
可得v1t2＝v2t1，故B正确，ACD错误。
故选：B。
33．轰炸机是军用飞机之一，在某次演习中，轰炸机沿水平方向投出了一枚炸弹，初速度大小为v0，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为θ＝37°，如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。下列说法正确的是（　　）
A．炸弹刚落到山坡时的速度大小是
B．炸弹从水平投出到落到斜坡上，所用的时间是
C．炸弹从投出到落到斜坡上的位移为
D．炸弹从水平投出到落在斜坡上位移偏转角为速度偏转角的一半
【答案】C
【解答】解：A、由题意，炸弹刚落到山坡时有
可得炸弹刚落到山坡时的速度大小
故A错误；
B、炸弹刚落到山坡时
vy＝gt
得炸弹从水平投出到落到斜坡上，所用的时间是
故B错误；
C、炸弹从投出到落到斜坡上的水平及竖直位移大小为，根据平抛运动中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，故有
x＝v0t，
代入数据解得
，
由勾股定理可知位移大小
故C正确；
D、根据平抛运动推论，可知炸弹从水平投出到落在斜坡上时速度偏转角α与位移偏角β与满足
tanα＝2tanβ
二者不是2倍关系，故D错误。
故选：C。
▉题型11 平抛运动与曲面的结合
【知识点的认识】
本考点旨在研究平抛运动最后落在曲面上的问题，包括圆弧曲面和一般曲面。但不包括圆周运动相关问题。
34．如图所示，a、b两个小球均从一个倾角为45°的斜面顶端以不同的初速度向右水平抛出，斜面与一个圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。则下列说法正确的是（　　）
A．a、b两个小球在空中运动时间一定不相同
B．a、b两个小球平抛运动末速度方向一定不相同
C．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置时，速度大小一定不相等
D．若小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直
【答案】C
【解答】解：A、平抛运动的时间由下落的高度决定，若小球落到斜面与圆弧面上的下落高度相同，则小球平抛运动的时间相同，故A错误；
B、设斜面倾角为θ，小球落到斜面上时速度与水平方向夹角为α，则有
所以
tanα＝2tanθ
速度偏转角正切值等于位移偏转角正切值的2倍，
由于斜面倾角θ不变，所以两小球都落到斜面上时，它们的速度方向相同，故B错误；
C、小球落到斜面和圆弧等高位置时，运动时间相等，竖直速度相等，但落到斜面上的水平位移小，所以小球落到斜面的水平速度小于落到圆弧面的水平速度，所以小球落到斜面和圆弧等高位置时，速度大小一定不相等，故C正确；
D、小球落到圆弧面上时，若落点速度方向与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线通过圆心，根据平抛运动规律可知，平抛运动速度的反向延长线应通过水平位移的中点，而圆心不可能是水平位移的中点，所以速度方向不可能与该处圆的切线垂直，故D错误。
故选：C。
（多选）35．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍。若小球b能落到斜面上，则（　　）
A．a、b两球不可能同时落在半圆轨道和斜面上
B．改变初速度的大小，b球落到斜面时的速度方向和斜面的夹角不变化
C．改变初速度的大小，a球可能垂直撞在圆弧面上
D．a、b两球同时落在半圆轨道和斜面上时，两球的速度方向垂直
【答案】BD
【解答】解：A、将圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A，初速度合适，可知小球做平抛运动落在A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上。若初速度不适中，由图可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圆轨道上。故A错误；
B、平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，位移与水平方向的夹角不变，则速度方向与水平方向的夹角不变，小球落在斜面上的速度方向与斜面间的夹角不变，故B正确。
C、若小球垂直打在圆轨道上，则速度方向的反向延长线应交于圆心；而于平抛运动的规律可知，速度方向的反向延长线应交于水平位移的中点；但打在圆上只能打在初速度方向的下方，不可能出现水平位移为直径的情况；故C错误；
D、由A选项知：当小球落到A点时，由水平位移等于竖直位移的2倍可知，tanθ2，得v0＝gt，故速度方向与水平方向成45°，故a、b两球同时落在半圆轨道和斜面上时，两球的速度方向垂直，故D正确；
故选：BD。
▉题型12 在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）
【知识点的认识】
1．定义：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，物体做类平抛运动。本考点旨在研究物体在斜面上做曲线运动的情形。如下图：
2．类平抛运动的分解方法
（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
3．类平抛运动问题的求解思路：
根据物体受力特点和运动特点判断该问题属于类平抛运动问题﹣﹣求出物体运动的加速度﹣﹣根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求解。
4．类抛体运动
当物体在巨力作用下运动时，若物体的初速度不为零且与外力不在一条直线上，物体所做的运动就是类抛体运动。
在类抛体运动中可采用正交分解法处理问题，基本思路为：
①建立直角坐标系，将外力、初速度沿这两个方向分解。
②求出这两个方向上的加速度、初速度。
③确定这两个方向上的分运动性质，选择合适的方程求解。
（多选）36．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面的倾角θ＝30°，斜面长a＝10m，宽b＝8m，一小球（可视为质点）从顶端B处水平向左射入，沿图中轨迹到达斜面底端A点，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．小球在斜面上运动的加速度大小为
B．小球在B点的速度大小为4m/s
C．小球从B运动到A的过程中速度、加速度不断变化
D．小球从B运动到A的过程中，速度变化量大小为10m/s
【答案】BD
【解答】解：A．小球受到重力和斜面的支持力，合力的方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律，可得mgsin30°＝ma0
解得
方向沿斜面向下，故A错误；
B．小球从B到A做类平抛运动，设球从B点水平射入时的速度为v0，从B运动到A所用时间为t，沿水平方向有b＝v0t
沿斜面向下方向有
联立解得t＝2s，v0＝4m/s
故B正确；
C．小球从B运动到A的过程中，速度不断变化，但加速度不变，故C错误；
D．小球从B运动到A的过程中，速度变化量为Δv＝a0t＝5×2m/s＝10m/s，故D正确。
故选：BD。
37．如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）物块加速度的大小a；
（2）物块由P运动到Q所用的时间t；
（3）物块由P点水平射入时初速度的大小v0。
【答案】（1）物块加速度的大小gsinθ；
（2）物块由P运动到Q所用的时间；
（3）物块由P点水平射入时初速度的大小。
【解答】解：（1）对物块进行受力分析，物块合力沿斜面向下，故
mgsinθ＝ma
解得a＝gsinθ；
（2）物块沿斜面方向
l
解得
t
（3）水平方向上物块做匀速直线运动，沿水平方向有
b＝v0t
解得
。
答：（1）物块加速度的大小gsinθ；
（2）物块由P运动到Q所用的时间；
（3）物块由P点水平射入时初速度的大小。
▉题型13 在外力作用下的类平抛运动
【知识点的认识】
1．定义：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，物体做类平抛运动。本考点旨在研究物体在拉力或其他力的作用下做曲线运动的情形。
2．类平抛运动的分解方法
（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
3．类平抛运动问题的求解思路：
根据物体受力特点和运动特点判断该问题属于类平抛运动问题﹣﹣求出物体运动的加速度﹣﹣根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求解。
4．类抛体运动
当物体在巨力作用下运动时，若物体的初速度不为零且与外力不在一条直线上，物体所做的运动就是类抛体运动。
在类抛体运动中可采用正交分解法处理问题，基本思路为：
①建立直角坐标系，将外力、初速度沿这两个方向分解。
②求出这两个方向上的加速度、初速度。
③确定这两个方向上的分运动性质，选择合适的方程求解。
38．合成与分解是在等效的思想下解决复杂运动的一种重要方法，我们可以按照问题的实际情况进行恰当地合成与分解，将复杂运动变为简单运动来研究。如图所示，虚线AB与水平地面的夹角为37°，质量为m的小球从P点以大小为v0的初速度沿与AB平行的方向抛出，运动过程中小球始终受到大小、方向水平向右的风力的作用，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，且P、C两点间的距离为，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的D点，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，小球可视为质点。
（1）研究小球从P点运动至地面的过程，可以将小球的速度沿水平与竖直方向分解。
①求小球从P点运动到最高点的时间；
②若小球离地面的高度h＝8m，v0＝10m/s，重力加速度g取10m/s2，求小球落地时的水平位移大小。
（2）研究小球从P点运动到D点的过程，可以将F与G合成一个力，据此请求出小球从P点运动到D点的时间。
【答案】（1）①小球从P点运动到最高点的时间等于；
②小球落地时的水平位移大小大小等于31m；
（2）小球从P点运动到D点的时间等于。
【解答】解：（1）①小球在最高点时速度沿水平方向，则竖直方向的分速度为0，有vy＝v0sin37°﹣gt1
解得
②竖直方向上小球做竖直上抛运动，有
水平方向上做匀加速运动，有
其中
联立解得t＝2s，x＝31m
（2）把与小球的重力合成有
由牛顿第二定律F合＝ma
解得
设F合与F的夹角为θ，则
解得θ＝53°
由几何关系可得PC与F的夹角为θ＝53°，则F合与v0的夹角为90°
则小球从P点到D点做类平抛运动，由类平抛运动的规律有
解得
答：（1）①小球从P点运动到最高点的时间等于；
②小球落地时的水平位移大小大小等于31m；
（2）小球从P点运动到D点的时间等于。
39．在光滑的水平面内，一质量m＝1kg的质点以速度v0＝10m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向的恒力F1＝5N作用，质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，直线OA与x轴正方向成37°角，如图所示，求：
（1）质点从O点运动到P点所经历的时间；
（2）P点的坐标；
（3）质点到达P点后，撤去恒力F1，改施另一恒力F2，F2作用5s后，质点速度变为零．求恒力F2的大小与方向．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）质点做类平抛运动，初速度为 v0＝10m/s．
设质点在y方向的加速度为a1，则
质点到达P点时，有 tan37°
解得 t＝3s
（2）P点的横坐标 x＝v0t＝10×3＝30m
纵坐标
故P点坐标为（30m，22.5m）．
（3）质点到达P点时，vx＝v0＝10m/s．vy＝a1t1＝5×3＝15m/s
P点的速度大小 ，
即P点的速度方向与x轴正方向的夹角为 θ＝arctan
撤去恒力F1，改施恒力F2后，质点做匀减速直线运动至速度为零，设质点匀减速运动的加速度大小为a2．
则 a2m/s2；
故 F2＝ma2＝1N，其方向与速度方向相反，即F2的方向与x轴负方向的夹角为 θ＝arctan．
答：
（1）质点从O点运动到P点所经历的时间是3s；
（2）P点的坐标为（30m，22.5m）；
（3）F2的大小为N，F2的方向与x轴负方向的夹角为arctan．
40．在光滑水平面内建立xOy坐标系，质量为m＝0.25kg的小球正沿y轴正方向匀速运动，其速度为v0＝2m/s．如图所示，当质点运动到原点O处时开始受到+x方向的恒力F作用．
（1）若要使小球能经过坐标为（4，4）的p点，则恒力F大小为多大？
（2）在（1）问中当小球运动1秒时，其速度方向与+x方向的夹角为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）小球在xoy坐标系内，做类平抛运动，若要小球经过p点，则必须满足：
在x方向：at2＝4…①
在y方向：2t＝4…②
代入数据，得：a＝2m/s2…③
由牛顿第二定律得：F＝ma…④
代入数据得：F＝0.5N…⑤
（2）当t＝1s时，由类平抛运动规律得：
υx＝at＝2m/s…⑥
∵υx＝υy＝v0…⑦
其速度方向与+x方向的夹角为45°
答：（1）若要使小球能经过坐标为（4，4）的p点，则恒力F＝0.5N
（2）在（1）问中当小球运动1秒时，其速度方向与+x方向的夹角45°．

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