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第2章第4节 生活中的抛体运动
题型1 斜抛运动
▉题型1 斜抛运动
【知识点的认识】
1．定义：物体将以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫做抛体运动。
2．方向：直线运动时物体的速度方向始终在其运动轨迹的直线方向上；曲线运动中，质点在某一刻（或某一位置）的速度方向是在曲线这一点的切线方向。因此，做抛体运动的物体的速度方向，在其运动轨迹各点的切线方向上，并指向物体前进的方向。
注：由于曲线上各点的切线方向不同，所以，曲线运动的速度方向时刻都在改变。
3．抛体做直线或曲线运动的条件：
（1）物体做直线运动：当物体所受到合外力的方向跟它的初速方向在同一直线上时，物体做直线运动。
（2）物体做曲线运动：当物体所受到合外力的方向跟它的初速方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
4．平抛运动
（1）定义：将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，且只在重力作用下所做的运动。
（2）条件：①初速度方向为水平；②只受重力作用。
（3）规律：平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，在竖直方向的分运动是自由落体运动，所以平抛运动是匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
（4）公式：速度公式：；
位移公式： s。
tanα
5．斜抛运动
（1）定义：将物体以一定的初速度沿斜上方抛出，仅在重力作用下的运动叫做斜抛运动。
（2）条件：①物体有斜向上的初速度；②仅受重力作用。
（3）规律：斜抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，在竖直方向的分运动是竖直上抛运动，所以斜抛运动是匀变速曲线运动。
（4）公式：
1．如图所示，运动员把足球从A点斜向上踢出，B是轨迹的最高点，C是下落过程中的点，已知A、B两点的高度差为4d，B、C两点的高度差为d，B、C两点的水平位移为d，不计空气的阻力，A、B的间距与B、C的间距之比为（　　）
A．2：1 B．3：1 C．：1 D．2：1
【答案】C
【解答】解：由逆向思维，斜上抛运动从最高点可以看成两个速度等大反向的平抛运动，由平抛运动在竖直方向做自由落体运动的规律可得2、
，平抛运动BA与BC的初速度等大反向，水平方向的分运动为匀速直线运动，结合B、C两点的水平位移为d，，可得A、B两点的水平位移为2d，A、B的间距为2d，B、C的间距，所以，故C正确，ABD错误；
故选：C。
2．如图所示，在一个高出地面的平台上，把两个小球同时从同一位置以大小相等的初速度v0抛出，一枚小球的初速度方向与水平方向夹角为45°斜向下，另一枚小球的初速度方向与水平方向夹角为45°斜向上，两小球分别落到水平地面上的P、Q两点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则P、Q两点之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设抛出点距离地面高度为h，斜上抛的球空中运动时间为t1，则有
设斜下抛的球空中运动时间为t2，则有
则P、Q两点之间的距离x＝v0×Δt×cos45°
联立解得，故C正确，ABD错误。
故选：C。
3．随着人们生活水平的提高，打高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则（　　）
A．甲击出的高尔夫球落地的速率最大
B．甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长
C．三个高尔夫球击出的初速度竖直分量不相等
D．三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等
【答案】A
【解答】解：BC、竖直方向运动的高度相等，则运动时间相等，击出初速度的竖直分量相等，故BC错误；
AD、由于运动时间相等，水平位移甲的最大，故击出初速度的水平分量甲的最大，据运动的对称性和速度的合成可知甲击出的高尔夫球落地速率最大，故A正确，D错误；
故选：A。
4．某运动员将铅球抛出，铅球在空中运动的部分轨迹如图所示，点1、2、3、4、5为轨迹上的不同标点。若铅球在点2时的速度方向水平向右，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．铅球在从点1运动到点5过程中的速度先增大后减小
B．铅球在从点1运动到点5过程中的加速度先减小后增大
C．铅球在点1时的加速度方向与速度方向的夹角大于90°
D．铅球从点2运动到点3过程中的速度增加量小于铅球从点4运动到点5过程中的速度增加量
【答案】C
【解答】解：AB、铅球做斜上抛运动，铅球只受重力加速度，加速度g保持不变，铅球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做竖直上抛运动，
点2的速度方向水平向右，则在2点竖直分速度为零，铅球在从点1运动到点5过程中的水平方向速度不变，竖直方向速度先减小后增大，速度先减小后增大，故AB错误；
C、铅球在点2时的速度方向水平，此时铅球的速度方向与加速度方向垂直，因为点1在点2的左下侧，所以铅球在点1时的加速度方向与速度方向的夹角大于90°，故C正确；
D、因为铅球从点2到点3的时间与从点4到点5的时间关系未知，所以无法比较铅球从点2运动到点3以及从点4运动到点5过程中的速度增加量大小，故D错误。
故选：C。
5．如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（　　）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2从O到P的运动时间大于谷粒1
C．谷粒2的水平分速度等于v1
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
【答案】B
【解答】解：A、拁出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，故A错误；
B、谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，故B正确；
C、谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于v1，故C错误；
D、两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，故D错误。
故选：B。
6．运动会中，某同学以5米82的成绩获得高一年组跳远比赛冠军。他从开始助跑到落地用时2.91s，在空中划出一条美丽弧线，落点不偏不倚在起跳点正前方，动作堪称完美。如图为其运动简化示意图，忽略空气阻力，设起跳点和落点在同一水平面，若将该同学看成一个质点，则下列说法正确的是（　　）
A．在空中时，该同学做的是变加速曲线运动
B．该同学助跑是为了增加自身的惯性
C．从开始助跑到落地，该同学的平均速度大小为2m/s
D．从起跳到落地，该同学在最高点时的速度最小
【答案】D
【解答】解：A、该同学在空中只受重力，故加速度恒定，该同学做的是匀变速曲线运动，故A错误；
B、质量是物体惯性大小的唯一量度，故该同学助跑，惯性不变，故B错误；
C、5米82为跳远成绩，加上助跑距离，位移应大于5米82，故平均速度大于2m/s，故C错误；
D、该同学从起跳到落地做斜抛运动，在水平方向的分运动是匀速直线运动，在竖直方向的分运动是竖直上抛运动，最高点竖直方向的速度最小，故该同学在最高点时速度最小，故D正确。
故选：D。
7．如图所示，“跳一跳”游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台上。棋子在某次跳跃过程中的轨迹为抛物线，经最高点时速度为v0，此时离平台的高度为h。棋子质量为m，空气阻力不计，重力加速度为g。则此跳跃过程（　　）
A．所用时间t
B．水平位移大小x＝2v0
C．初速度的竖直分量大小为2
D．初速度大小为
【答案】B
【解答】解：A、竖直方向由：可得，该斜抛运动等效为两个完全相同的平抛运动，时间是2倍，故A选项错误；
B、水平位移x＝2v0，故B选项正确；
C、初速度的竖直分量大小为gt，故C选项错误；
D、用速度的合成，即勾股定理得：初速度大小为，故D选项错误。
故选：B。
8．某同学在篮球场进行投篮练习，某次投篮时篮球的运动轨迹如图所示．已知在D点时篮球的速度方向与加速度方向相互垂直，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．篮球在D点时的速率比在A点时的大
B．篮球在A点时的加速度比在E点时的大
C．从C点到E点，篮球的加速度与速度方向始终垂直
D．从A点到E点，篮球的加速度方向与速度方向的夹角先大于90°后小于90°
【答案】D
【解答】解：A.从篮球被抛出后到最高点的过程中，篮球要克服重力做功，篮球的动能减小，所以篮球在D点时的速率比在A点时的小，故A错误。
B.不计空气阻力时，篮球在运动过程中只受重力，加速度的方向始终竖直向下且大小不变，故B错误。
C.篮球从C点到E点过程中，在C点时，瞬时速度沿切线斜向上方，在E点篮球速度斜向下方，而加速度方向始终向下，故C错误。
D从A点到D点的过程中，篮球做减速运动，篮球速度方向与加速度方向的夹角为钝角，从达最高点到E点的过程中，篮球做加速运动，篮球速度方向与加速度方向的夹角为锐角；所以从A点到E点，篮球的加速度方向与速度方向的夹角先大于90°后小于90°，故D正确。
故选：D。
答案为：D。
9．2021校园篮球比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点。若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员需（　　）
A．减小抛出速度v0，同时增大抛射角θ
B．增大抛出速度v0，同时增大抛射角θ
C．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0
D．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0
【答案】D
【解答】解：因为篮球两次都是斜抛运动，且垂直击中篮板上的A点，根据抛体运动的特点，可以逆向思考，将该题目的过程看成篮球从A点做两次平抛，分别运动到B点和C点。
因为A点距离B点、C点的高度相等，竖直方向上都是自由落体运动，由可知，篮球从A点运动到B点、C点的时间相等，由vy＝gt可知B点、C点的竖直速度相等。
又因为水平方向上是匀速直线运动，由可知，相等时间内C点对应的水平位移大，所以C点的水平速度大，所以由可得，篮球在C点对应的速度大，即从B点撤到C点时需要增大抛出速度v0。
由几何关系可得：，因为竖直速度相等，C点的水平速度较大，所以C点的速度与水平方向的夹角较小，即从B点撤到C点需要减小抛射角θ。故ABC错误、D正确。
故选：D。
10．从高处斜向下抛出的物体在各个时刻的速度、加速度方向如图所示．其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：物体做曲线运动，速度沿轨迹的切线方向，故AD错误。物体只受重力，加速度为g，方向竖直向下，故B错误，C正确。
故选：C。
11．关于抛体运动，下列说法正确的是（　　）
A．将物体以某一初速度抛出后的运动
B．将物体以某一初速度抛出，满足合外力为零的条件下的运动
C．将物体以某一初速度抛出，只有重力作用下的运动
D．将物体以某一初速度抛出，满足除重力外其他力的合力为零的条件下的运动
【答案】C
【解答】解：抛体运动是只受重力作用，以某一初速度抛出后的运动，故C正确，ABD错误。
故选：C。
12．如图所示，从地面上同一位置抛出两个小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（　　）
A．B的加速度比A的加速度大
B．B飞行的时间比A飞行的时间长
C．B在最高点的速度比A在最高点的速度大
D．B落地时竖直方向的速度比A落地时竖直方向的速度大
【答案】C
【解答】解：A、不计空气阻力，两球的加速度都为重力加速度g。大小相等，故A错误。
B、两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，两球上升和下落的时间相等，而下落过程，由t可知，下落时间相等，则两球运动的时间相等。故B错误。
C、根据对称性性可知从抛出到落地的时间相同，达到最高点的速度等于水平方向的速度，根据x＝vxt可知B在最高点的速度比A在最高点的大。故C正确。
D、由于竖直方向速度取决于物体下降的高度，由两球运动的最大高度相同，所以落地时竖直方向速度大小相等，故D错误。
故选：C。
（多选）13．如图所示，小球甲从斜面上的P点以速度v1垂直斜面向上抛出，经过时间t1落在M点时的速度为u1，飞行过程中与斜面的最远距离为h1；小球乙从斜面上的P点以速度v2垂直斜面向上抛出，经过时间t2落在斜面上的N点时的速度为u2，飞行过程中与斜面的最远距离为h2。经测量，不计空气阻力，则以下关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解答】解：A．设斜面的倾角为θ，将重力加速度分解为垂直斜面向下的分量gcosθ和沿斜面向下的分量gsinθ；垂直斜面方向
沿斜面方向
因
则PM
PN
即
解得
故A错误；
B．根据，
可得
即
故B正确；
C．离开斜面的最远距离
可知
即
故C正确；
D．落到斜面上时竖直斜面向下的速度仍为v，沿斜面向下的速度为gtsinθ，则合速度
则，
将，
代入可知
故D错误。
故选：BC。
（多选）14．“抛石机”是古代战争中常用的一种机械。某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程，其运动轨迹可简化为如图，A点为石块的投出点，B点为运动轨迹的最高点，C点为石块的落点，落点的速度方向与水平面的夹角为θ＝24°，已知A点与C点在同一水平面上，A、B两点之间的高度差为5m，石块视为质点，空气阻力不计。取sin24°＝0.4，cos24°＝0.9，重力加速度大小g＝10m/s2。则下列说法正确的是（　　）
A．石块从A点运动至C点的过程中加速度方向一直在改变
B．石块离开A点时的速度大小为25m/s
C．石块从A点运动至C点的过程中最小速度为22.5m/s
D．A、C两点之间的距离为14.4m
【答案】BC
【解答】解：A．石块从A点运动至C点的过程中只受重力，加速度方向始终竖直向下，大小恒为g，故A错误；
B．设石块从B点运动至C点用时为t，到达C点时的速度大小为v，落点C的速度方向与水平面的夹角为θ＝24°，A点与C点在同一水平面上，由对称性知，离开A点时的速度大小也是v，则
vsin24°＝gt
解得
t＝1s，v＝25m/s
故B正确；
C．石块从A点运动至C点的过程中，当到达B点时的速度最小，最小速度为
vx＝vcos24°，解得vx＝22.5m/s
故C正确；
D．A、C两点之间的距离
x＝2vxt，解得x＝45m
故D错误。
故选：BC。
（多选）15．2022年，实外学子苏翊鸣夺得北京冬奥会男子单板滑雪大跳台冠军，实现了中国单板滑雪冬奥会金牌零的突破，并成为中国最年轻的冬奥会冠军。将苏翊鸣视为质点，图（a）是他从3m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图（b）是他在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线。已知t＝1s时，图线所对应的切线斜率为4（单位：m/s），重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．苏翊鸣冲出跳台的速度大小为14m/s
B．t＝1.4s时，苏翊鸣到达最高点，离跳台底部所在水平面的高度为12.8m
C．t＝1.0s和t＝1.8s时，苏翊鸣的速度大小相等，方向相反
D．苏翊鸣落到跳台底部所在水平面的速度一定大于16m/s
【答案】BD
【解答】解：A．设t＝0时刻的竖直速度为vy0，已知t＝1s时，图线所对应的切线斜率为4（单位：m/s），可知t＝1s时的竖直速度vy1＝4m/s，根据vy1＝vy0﹣gt1
可得t＝0时刻的速度vy0＝14m/s
则苏翊鸣冲出跳台的速度大于14m/s，故A错误；
B．从t＝1s到到达最高点的时间
可知到达最高点的时间t＝1s+0.4s＝1.4s
离跳台底部所在水平面的高度为
故B正确；
C．t＝1.8s时的竖直速度vy2＝vy1﹣gΔt'＝4m/s﹣10（1.8﹣1.0）m/s＝﹣4m/s
可知t＝1.0s和t＝1.8s时，苏翊鸣的竖直速度大小相等，方向相反，但是因为有相等的水平速度，可知两时刻的速度方向不是相反，故C错误；
D．苏翊鸣落到跳台底部所在水平面时的竖直速度
可知落到跳台底部所在水平面时的速度一定大于16m/s，故D正确。
故选：BD。
（多选）16．很多城市将掷铅球作为中考体育考试项目之一，甲同学将铅球斜向上抛出，乙同学将铅球水平抛出，下图为两位同学将铅球抛出后铅球的运动轨迹，不计空气阻力和转动的影响，则下列说法正确的是（　　）
A．甲同学抛出的铅球在空中运动时间更长
B．两个被抛出的铅球在空中运动时的加速度不同
C．若甲同学也将铅球水平抛出，则可能将铅球抛的比乙更远
D．乙同学抛出的铅球初速度一定更大
【答案】AC
【解答】解：A．平抛运动竖直方向上做自由落体运动，斜抛运动竖直方向上做竖直上抛运动，甲同学抛出的铅球到达的最高点更高，根据竖直上抛运动的特点可知甲同学抛出的铅球在空中的运动时间更长，故A正确；
B．两个铅球均只受重力作用，加速度均为g，故B错误；
CD．根据题意无法确定哪个铅球初速度更大，故甲同学抛出的铅球初速度可能大于乙同学，若甲将铅球水平抛出，则可能飞的更远，故C正确，D错误。
故选：AC。
（多选）17．如图，一小球以初速度v0从斜面底端与斜面成α角斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右；现将该小球以3v0的速度从斜面底端仍与斜面成α角斜向上抛出，落在斜面上N点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．从抛出至落至M、N点过程中，球速度变化量之比为1：3
B．从抛出至落至M、N点过程中，球运动的水平位移之比为1：9
C．球落到N点时速度不沿水平方向
D．两次球与斜面距离最远时的位置连线与斜面垂直
【答案】AB
【解答】解：AC、由于落到斜面上M点时速度水平向右，故可把小球在空中的运动逆向看成从M点向左的平抛运动，设在M点的速度大小为vx，把小球在斜面底端的速度v分解为水平方向的vx和竖直方向的vy，设斜面的倾角为θ，有
x＝vxt
联立解得
vy＝2vxtanθ
v和水平方向夹角的正切值为
由此可知，v和水平方向夹角的正切值为定值，即落到N点时速度方向水平右。
从抛出至落至M、N点过程中，球速度变化量之比为
故A正确，C错误；
B、由上述分析可知，水平位移为
故从抛出至落至M、N点过程中，小球运动的水平位移之比为
故B正确；
D、小球离斜面最远时，速度方向平行斜面，两个位置不可能出现在垂直斜面的同一条直线上，即两次球与斜面距离最远时的位置连线不可能与斜面垂直，故D错误。
故选：AB。
（多选）18．如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m．当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，重力加速度g取10m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　）
A．v＝5m/s B．v＝3m/s C．d＝3.6m D．d＝3.9m
【答案】BD
【解答】解：设网球飞出时的速度为v0，
根据运动学公式可知竖直方向2g （H﹣h）
代入数据得
v0y＝12m/s
运动时间t
根据速度的分解有：v0x
排球水平方向到P点的距离
x0x＝v0xt
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
v0x1v0x
平行墙面的速度分量
v0x2v0x
反弹后，垂直墙面的速度分量
v0x3＝0.75v0x1
则反弹后的网球速度大小为
vx
联立代入数据解得：vx＝3m/s
网球落到地面的时间t'
着地点到墙壁的距离d＝v0x3t'
代入数据解得：d＝3.9m
故BD正确，AC错误；
故选：BD。
19．某次滑雪时，一运动员从助滑雪道上的A点以大小v0＝2m/s的初速度沿助滑雪道匀加速直线滑下，运动员从A点滑到距A点s＝60m的P点所用的时间t1＝5s，然后经U形滑雪道从B点沿雪坡向上离开雪道（U形滑雪道两侧雪坡的倾角均为α＝45°），最后经过最高点M后在缓冲坡上着陆。运动员的质量m＝60kg，M点正好位于水平平台和缓冲坡的衔接点C的正上方h＝5m处，缓冲坡与水平面的夹角θ＝37°，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。求：
（1）运动员沿助滑雪道运动的加速度大小a；
（2）运动员在B点时的速度v的大小；
（3）从运动员经过M点开始计时，运动员运动到与缓冲坡距离最远处所需要的时间t2。
【答案】（1）运动员沿助滑雪道运动的加速度大小是4m/s2；
（2）运动员在B点时的速度v的大小是10m/s；
（3）从运动员经过M点开始计时，运动员运动到与缓冲坡距离最远处所需要的时间t2是0.75s。
【解答】解：（1）运动员在助滑雪道上做匀加速直线运动，由x﹣t公式得：
代入数据解得：a＝4m/s2
（2）M点是最高点，在M点的速度方向沿水平方向，从B到M的逆过程是平抛运动，
即运动员从M点到B点的运动为平抛运动，设运动员通过B点时的竖直分速度大小为vy，
竖直方向：，竖直分速度：vy＝vsinα
代入数据解得：vy＝10m/s，
（3）由（2）可得，运动员通过B点时的水平分速度大小vxm/s＝10m/s
当运动员的速度与缓冲坡平行时，运动员距离缓冲坡最远，有：
代入数据解得：t2＝0.75s。
答：（1）运动员沿助滑雪道运动的加速度大小是4m/s2；
（2）运动员在B点时的速度v的大小是10m/s；
（3）从运动员经过M点开始计时，运动员运动到与缓冲坡距离最远处所需要的时间t2是0.75s。
20．某公园的台阶共有50级，侧视图如图所示，已知每级台阶的水平距离sm，高度hm，某同学从最上面平台边缘的A点将小球以初速度v0水平抛出，空气阻力不计，重力加速度取g＝10m/s2。
（1）要使小球直接落到地面，求初速度v0的范围；
（2）若v0＝8m/s，求小球首先落到哪一级台阶上；
（3）若将小球斜向上抛出，恰好能够直接打到第50级台阶最右端，求最小初速度的大小。
【答案】0（1）要使小球直接落到地面，初速度v0的范围为；
（2）若v0＝8m/s，小球首先落到22级台阶上；
（3）若将小球斜向上抛出，恰好能够直接打到第50级台阶最右端，最小初速度的大小为10m/s。
【解答】解：（1）小球做平抛运动，轨迹如图
可知小球刚好直接落到地面时需擦过第50级台阶最右端，由平抛运动规律
50s＝v0mint1
解得
故要使小球直接落到地面，初速度v0的范围为m/sv。
（2）若v0＝8m/s，设小球会落到第n级台阶上，由平抛运动规律
ns＝v0t2
解得，n取整数后得，n＝22，故小球会落在第22级台阶上。
（3）设小球的初速度方向与水平方向夹角为θ，如图
则在竖直方向上
水平方向上有
50s＝v0'tcosθ
联立得
所以当θ＝30°时，抛出时的初速度最小，v0min'＝10m/s。
答：（1）要使小球直接落到地面，初速度v0的范围为；
（2）若v0＝8m/s，小球首先落到22级台阶上；
（3）若将小球斜向上抛出，恰好能够直接打到第50级台阶最右端，最小初速度的大小为10m/s。第2章第4节 生活中的抛体运动
题型1 斜抛运动
▉题型1 斜抛运动
【知识点的认识】
1．定义：物体将以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫做抛体运动。
2．方向：直线运动时物体的速度方向始终在其运动轨迹的直线方向上；曲线运动中，质点在某一刻（或某一位置）的速度方向是在曲线这一点的切线方向。因此，做抛体运动的物体的速度方向，在其运动轨迹各点的切线方向上，并指向物体前进的方向。
注：由于曲线上各点的切线方向不同，所以，曲线运动的速度方向时刻都在改变。
3．抛体做直线或曲线运动的条件：
（1）物体做直线运动：当物体所受到合外力的方向跟它的初速方向在同一直线上时，物体做直线运动。
（2）物体做曲线运动：当物体所受到合外力的方向跟它的初速方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
4．平抛运动
（1）定义：将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，且只在重力作用下所做的运动。
（2）条件：①初速度方向为水平；②只受重力作用。
（3）规律：平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，在竖直方向的分运动是自由落体运动，所以平抛运动是匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
（4）公式：速度公式：；
位移公式： s。
tanα
5．斜抛运动
（1）定义：将物体以一定的初速度沿斜上方抛出，仅在重力作用下的运动叫做斜抛运动。
（2）条件：①物体有斜向上的初速度；②仅受重力作用。
（3）规律：斜抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，在竖直方向的分运动是竖直上抛运动，所以斜抛运动是匀变速曲线运动。
（4）公式：
1．如图所示，运动员把足球从A点斜向上踢出，B是轨迹的最高点，C是下落过程中的点，已知A、B两点的高度差为4d，B、C两点的高度差为d，B、C两点的水平位移为d，不计空气的阻力，A、B的间距与B、C的间距之比为（　　）
A．2：1 B．3：1 C．：1 D．2：1
2．如图所示，在一个高出地面的平台上，把两个小球同时从同一位置以大小相等的初速度v0抛出，一枚小球的初速度方向与水平方向夹角为45°斜向下，另一枚小球的初速度方向与水平方向夹角为45°斜向上，两小球分别落到水平地面上的P、Q两点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则P、Q两点之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．随着人们生活水平的提高，打高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则（　　）
A．甲击出的高尔夫球落地的速率最大
B．甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长
C．三个高尔夫球击出的初速度竖直分量不相等
D．三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等
4．某运动员将铅球抛出，铅球在空中运动的部分轨迹如图所示，点1、2、3、4、5为轨迹上的不同标点。若铅球在点2时的速度方向水平向右，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．铅球在从点1运动到点5过程中的速度先增大后减小
B．铅球在从点1运动到点5过程中的加速度先减小后增大
C．铅球在点1时的加速度方向与速度方向的夹角大于90°
D．铅球从点2运动到点3过程中的速度增加量小于铅球从点4运动到点5过程中的速度增加量
5．如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（　　）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2从O到P的运动时间大于谷粒1
C．谷粒2的水平分速度等于v1
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
6．运动会中，某同学以5米82的成绩获得高一年组跳远比赛冠军。他从开始助跑到落地用时2.91s，在空中划出一条美丽弧线，落点不偏不倚在起跳点正前方，动作堪称完美。如图为其运动简化示意图，忽略空气阻力，设起跳点和落点在同一水平面，若将该同学看成一个质点，则下列说法正确的是（　　）
A．在空中时，该同学做的是变加速曲线运动
B．该同学助跑是为了增加自身的惯性
C．从开始助跑到落地，该同学的平均速度大小为2m/s
D．从起跳到落地，该同学在最高点时的速度最小
7．如图所示，“跳一跳”游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台上。棋子在某次跳跃过程中的轨迹为抛物线，经最高点时速度为v0，此时离平台的高度为h。棋子质量为m，空气阻力不计，重力加速度为g。则此跳跃过程（　　）
A．所用时间t
B．水平位移大小x＝2v0
C．初速度的竖直分量大小为2
D．初速度大小为
8．某同学在篮球场进行投篮练习，某次投篮时篮球的运动轨迹如图所示．已知在D点时篮球的速度方向与加速度方向相互垂直，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．篮球在D点时的速率比在A点时的大
B．篮球在A点时的加速度比在E点时的大
C．从C点到E点，篮球的加速度与速度方向始终垂直
D．从A点到E点，篮球的加速度方向与速度方向的夹角先大于90°后小于90°
9．2021校园篮球比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点。若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员需（　　）
A．减小抛出速度v0，同时增大抛射角θ
B．增大抛出速度v0，同时增大抛射角θ
C．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0
D．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0
10．从高处斜向下抛出的物体在各个时刻的速度、加速度方向如图所示．其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．关于抛体运动，下列说法正确的是（　　）
A．将物体以某一初速度抛出后的运动
B．将物体以某一初速度抛出，满足合外力为零的条件下的运动
C．将物体以某一初速度抛出，只有重力作用下的运动
D．将物体以某一初速度抛出，满足除重力外其他力的合力为零的条件下的运动
12．如图所示，从地面上同一位置抛出两个小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（　　）
A．B的加速度比A的加速度大
B．B飞行的时间比A飞行的时间长
C．B在最高点的速度比A在最高点的速度大
D．B落地时竖直方向的速度比A落地时竖直方向的速度大
（多选）13．如图所示，小球甲从斜面上的P点以速度v1垂直斜面向上抛出，经过时间t1落在M点时的速度为u1，飞行过程中与斜面的最远距离为h1；小球乙从斜面上的P点以速度v2垂直斜面向上抛出，经过时间t2落在斜面上的N点时的速度为u2，飞行过程中与斜面的最远距离为h2。经测量，不计空气阻力，则以下关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）14．“抛石机”是古代战争中常用的一种机械。某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程，其运动轨迹可简化为如图，A点为石块的投出点，B点为运动轨迹的最高点，C点为石块的落点，落点的速度方向与水平面的夹角为θ＝24°，已知A点与C点在同一水平面上，A、B两点之间的高度差为5m，石块视为质点，空气阻力不计。取sin24°＝0.4，cos24°＝0.9，重力加速度大小g＝10m/s2。则下列说法正确的是（　　）
A．石块从A点运动至C点的过程中加速度方向一直在改变
B．石块离开A点时的速度大小为25m/s
C．石块从A点运动至C点的过程中最小速度为22.5m/s
D．A、C两点之间的距离为14.4m
（多选）15．2022年，实外学子苏翊鸣夺得北京冬奥会男子单板滑雪大跳台冠军，实现了中国单板滑雪冬奥会金牌零的突破，并成为中国最年轻的冬奥会冠军。将苏翊鸣视为质点，图（a）是他从3m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图（b）是他在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线。已知t＝1s时，图线所对应的切线斜率为4（单位：m/s），重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．苏翊鸣冲出跳台的速度大小为14m/s
B．t＝1.4s时，苏翊鸣到达最高点，离跳台底部所在水平面的高度为12.8m
C．t＝1.0s和t＝1.8s时，苏翊鸣的速度大小相等，方向相反
D．苏翊鸣落到跳台底部所在水平面的速度一定大于16m/s
（多选）16．很多城市将掷铅球作为中考体育考试项目之一，甲同学将铅球斜向上抛出，乙同学将铅球水平抛出，下图为两位同学将铅球抛出后铅球的运动轨迹，不计空气阻力和转动的影响，则下列说法正确的是（　　）
A．甲同学抛出的铅球在空中运动时间更长
B．两个被抛出的铅球在空中运动时的加速度不同
C．若甲同学也将铅球水平抛出，则可能将铅球抛的比乙更远
D．乙同学抛出的铅球初速度一定更大
（多选）17．如图，一小球以初速度v0从斜面底端与斜面成α角斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右；现将该小球以3v0的速度从斜面底端仍与斜面成α角斜向上抛出，落在斜面上N点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．从抛出至落至M、N点过程中，球速度变化量之比为1：3
B．从抛出至落至M、N点过程中，球运动的水平位移之比为1：9
C．球落到N点时速度不沿水平方向
D．两次球与斜面距离最远时的位置连线与斜面垂直
（多选）18．如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m．当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，重力加速度g取10m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　）
A．v＝5m/s B．v＝3m/s C．d＝3.6m D．d＝3.9m
19．某次滑雪时，一运动员从助滑雪道上的A点以大小v0＝2m/s的初速度沿助滑雪道匀加速直线滑下，运动员从A点滑到距A点s＝60m的P点所用的时间t1＝5s，然后经U形滑雪道从B点沿雪坡向上离开雪道（U形滑雪道两侧雪坡的倾角均为α＝45°），最后经过最高点M后在缓冲坡上着陆。运动员的质量m＝60kg，M点正好位于水平平台和缓冲坡的衔接点C的正上方h＝5m处，缓冲坡与水平面的夹角θ＝37°，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。求：
（1）运动员沿助滑雪道运动的加速度大小a；
（2）运动员在B点时的速度v的大小；
（3）从运动员经过M点开始计时，运动员运动到与缓冲坡距离最远处所需要的时间t2。
20．某公园的台阶共有50级，侧视图如图所示，已知每级台阶的水平距离sm，高度hm，某同学从最上面平台边缘的A点将小球以初速度v0水平抛出，空气阻力不计，重力加速度取g＝10m/s2。
（1）要使小球直接落到地面，求初速度v0的范围；
（2）若v0＝8m/s，求小球首先落到哪一级台阶上；
（3）若将小球斜向上抛出，恰好能够直接打到第50级台阶最右端，求最小初速度的大小。

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