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第4章第2节 万有引力定律的应用
题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换） 题型2 用万有引力定律发现未知天体以及预言彗星回归
题型3 计算天体的质量和密度 题型4 第一、第二和第三宇宙速度的物理意义
题型5 宇宙速度的计算 题型6 同步卫星的特点及相关计算
题型7 近地卫星 题型8 卫星或行星运行参数的计算
题型9 不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较 题型10 卫星的发射及变轨问题
题型11 卫星的追及相遇问题 题型12 天体运动中机械能的变化
题型13 双星系统及相关计算 题型14 多星系统及相关计算
题型15 潮汐问题 题型16 中子星与黑洞
题型17 拉格朗日点
▉题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换）
【知识点的认识】
对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即
化简得到：GM＝gR2
其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，这个式子的应用非常广泛，被称为黄金代换公式。
1．如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（　　）
A．M，ρ
B．M，ρ
C．M，ρ
D．M，ρ
【答案】D
【解答】解：由
又T
得：M
由 ，V
得：ρ
故D正确、ABC错误。
故选：D。
2．如图所示，“嫦娥一号”发射后绕地球椭圆轨道运行，多次调整后进入奔月轨道，接近月球后绕月球椭圆轨道运行，调整后进入月球表面轨道。已知a是某一地球椭圆轨道的远地点，b和c是不同月球椭圆轨道的远月点，a点到地球中心的距离等于b点到月球中心的距离。则“嫦娥一号”（　　）
A．在a点速度小于地球第一宇宙速度
B．在a点和在b点的加速度大小相等
C．在b点的机械能小于在c点的机械能
D．在奔月轨道上所受的万有引力一直减小
【答案】A
【解答】解：A、第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度。在椭圆上a点速度小于通过a点的圆轨道速度，而通过a点圆轨道的速度小于贴近地面卫星的环绕速度，故在a点速度小于地球第一宇宙速度，故A正确；
B、根据牛顿第二定律可得ma，解得a，由于a点到地球中心的距离等于b点到月球中心的距离，而地球的质量大于月球的质量，故在a点加速度大于在b点的加速度，故B错误；
C、在环月轨道切点处卫星向前喷气做向心运动才能转移到近月轨道，所以在b点的机械能大于在c点的机械能，故C错误；
D、“嫦娥一号”在奔月轨道上开始地球的万有引力大于月球的万有引力，随着距离地球的距离增加，地球对“嫦娥一号”的万有引力减小、月球对“嫦娥一号”的万有引力增加，当二者相等时，“嫦娥一号”所受的万有引力为零，随后月球对“嫦娥一号”的万有引力大于地球对“嫦娥一号”的万有引力，合力增大，所以“嫦娥一号”所受的万有引力先减小后增大，故D错误。
故选：A。
3．2025年2月11日17时30分，由航天科技集团五院研制的卫星互联网低轨“02组”卫星，在中国文昌航天发射场发射成功，在离地高度不变的低空轨道上围绕地球做匀速圆周运动。下列关于“02组”卫星的说法正确的是（　　）
A．地球对卫星引力为恒力
B．卫星的加速度为零
C．地球引力对卫星不做功
D．地球引力的功率不为零
【答案】C
【解答】解：A．卫星在离地高度不变的低空轨道上围绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的引力大小不变，但是引力方向是变化的，万有引力不是恒力，故A错误；
B．卫星离地高度不变，轨道就是一个正圆，卫星线速度的大小不变，但方向时刻在变，所以存在向心加速度，故B错误；
CD．引力方向始终与速度方向垂直，引力不做功，引力的功率为零，故C正确，D错误。
故选：C。
4．美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星．荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地．若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是（　　）
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
C．火里探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H和运行周期T
D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T
【答案】B
【解答】解：A、根据H和t可以求得火星表面的重力加速度g，据可得根据密度公式，仅知道重力加速度而不知火星的半径不能求出火星的密度，故A错误；
B、令火星半径为R，则根据万有引力提供圆周运动向心力有可得火星的质量M，根据密度公式可知，故可以测出贴近表面飞行的卫星周期来求得火星的密度，故B正确；
C、根据万有引力提供圆周运动向心力，由于不知道火星的半径从而无法求得火星的密度，故C错误；
D、根据万有引力提供圆周运动向心力可以计算中心天体的质量，而火星绕太阳圆周运动不能求得火星的质量，故无法计算火星的密度，所以D错误。
故选：B。
▉题型2 用万有引力定律发现未知天体以及预言彗星回归
【知识点的认识】
（1）海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。人们称之为笔尖下的行星。
（2）其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
（3）预言哈雷彗星回归：英国天文学家哈雷依据万有引力，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
5．下列说法中正确的是（　　）
A．天王星偏离根据万有引力计算的轨道，是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
B．只有海王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的
C．天王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的
D．以上均不正确
【答案】A
【解答】解：A、D、科学家亚当斯通过对天王星的长期观察发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离。亚当斯利用牛顿发现的万有引力定律对观察数据进行计算，认为形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知行星（后命名为海王星），故A正确，D错误；
B、海王星和冥王星都是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的。故B错误；
C、天王星不是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的。故C错误。
故选：A。
6．下面说法错误的是（　　）
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．天王星的运动轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
【答案】B
【解答】解：人们在长期的观察中发现天王星的实际运动轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差，所以怀疑在天王星周围还可能存在有行星，然后应用万有引力定律，结合对天王星的观测资料，便计算出了另外两颗行星的轨道，进而在计算的位置观察新的行星，这是海王星和冥王星。故A、C、D正确；
天王星是在一个偶然的情况下被发现的，是观测的结果，不是依据万有引力计算的轨道而发现的，故B错误；
本题选择错误的，故选：B。
▉题型3 计算天体的质量和密度
【知识点的认识】
1.天体质量的计算
（1）重力加速度法
若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得，解得天体的质量M，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。这是黄金代换公式的一个常见应用。
（2）环绕法
借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
2.天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度，将M代入上式，可得。
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则。
7．木卫三是太阳系中最大的卫星，主要由硅酸盐岩石和冰体构成。木卫三的平均半径约为2630km，是月球半径的1.5倍，质量约为1.5×1023kg，是月球质量的2倍，假设质量相等的两个飞行器分别落在木卫三和月球的表面，木卫三和月球对各自飞行器的引力大小之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设飞行器的质量为m，则在木卫三表面有
在月球表面有
可得
木卫三的平均半径是月球半径的1.5倍，质量是月球质量的2倍，所以
故，故D正确，ABC错误。
故选：D。
8．对于一颗密度未知的天体，要想知道它的密度，可以向这颗未知的天体发射一颗人造卫星，利用人造卫星参数推算出天体密度，设人造卫星的轨道为圆形轨道；已知天体自身的半径为R，引力常量为G，用万有引力定律推算出未知天体的密度，还需测出的卫星参数是（　　）
A．周期
B．线速度
C．向心加速度
D．角速度和卫星到天体表面的高度
【答案】D
【解答】解：根据计算出天体的密度。
A、由，但不知道h，无法求M，不能算密度，故A错误；
B、由，h未知，无法求M，不能算密度，故B错误；
C、由，h未知，无法求M，不能算密度，故C错误；
D、根据由
得
其中r＝h+R，因 此，测出卫星角速度ω和卫星到天体表面的高度h就能计算出质量M，因 为半径R已知，根据就能计算出天体的密度。
故ABC错误，D正确。
故选：D。
9．对于一颗密度未知的天体，要想知道它的密度，可以向这颗未知的天体发射一颗人造卫星，利用人造卫星参数推算出天体密度，设人造卫星的轨道为圆形轨道；已知天体自身的半径为R，引力常量为G，用万有引力定律推算出未知天体的密度，还需测出的卫星参数是（　　）
A．周期
B．线速度
C．向心加速度
D．角速度和卫星到天体表面的高度
【答案】D
【解答】解：ABC、根据密度公式有，计算天体的质量可计算天体的密度，若测出的卫星的周期或线速度或向心加速度，但由于未知卫星运动的轨道半径，均不能算出天体的质量，所以均不能求出天体的密度，故ABC错误；
D、根据由
得
其中r＝h+R，因 此，测出卫星角速度ω和卫星到天体表面的高度h就能计算出质量M，因 为半径R已知，根据就能计算出天体的密度。
故选：D。
10．宇宙中有两颗恒星S1、S2，半径均为R0。如图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与公转半径r3的关系图像，则（　　）
A．恒星 S1 与恒星S2的质量之比为2：1
B．恒星 S1 与恒星S2的质量之比为4：1
C．恒星S1与恒星S2的密度之比为1：2
D．恒星S1与恒星S2的密度之比为2：1
【答案】C
【解答】解：AB．根据万有引力提供向心力有
解得
可知公转周期 T2与公转半径r3的关系图像斜率为
由图像可得
则
故AB错误；
CD．星球的密度为
恒星S1与恒星S2的密度之比为
故C正确，D错误。
故选：C。
▉题型4 第一、第二和第三宇宙速度的物理意义
【知识点的认识】
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度（环绕速度）
（1）大小：7.9km/s．
（2）意义：
①卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
②使卫星绕地球做匀速圆周运动的最小地面发射速度．
2．第二宇宙速度
（1）大小：11.2 km/s
（2）意义：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度．
第二宇宙速度（脱离速度）
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v＝11.2 km/s．
3．第三宇宙速度
（1）大小：16.7km/s
（2）意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度．
第三宇宙速度（逃逸速度）
在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为v＝16.7km/s．
三种宇宙速度比较
宇宙速度 数值（km/s） 意义
第一宇宙速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度
第二宇宙速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
11．探索宇宙的奥秘，奔向广阔而遥远的太空，这是人类自古以来的梦想。关于宇宙速度，下列说法正确的是（　　）
A．在地面发射飞行器，发射速度必须小于第一宇宙速度
B．第一宇宙速度是卫星在地面附近环绕地球做圆周运动的速度
C．第二宇宙速度的数值是7.9km/s，它是在地面上发射物体使之挣脱地球引力的最小速度
D．第三宇宙速度的数值是16.7km/s，它是在地面上发射物体使之挣脱地球引力的最小速度
【答案】B
【解答】解：AB、第一宇宙速度是卫星在地面附近环绕地球做圆周运动的速度，是最大环绕速度、最小发射速度，故A错误，B正确；
C、第二宇宙速度的数值是11.2km/s，故C错误；
D、第三宇宙速度是在地面上发射物体使之挣脱太阳引力的最小速度，故D错误。
故选：B。
12．火星是一颗类地行星，虽然载人登陆火星存在诸多挑战，但人类也在逐步将这一愿景变为现实。已知火星可近似看作球体，其半径为R，若能实现载人登陆火星，则登陆火星后在火星表面h（h R）高度处静止释放一个质量为m的小球，若测得小球落地的时间为t，引力常量为G，不考虑火星自转及空气阻力的影响，由此可知，小球落地过程中火星对小球的引力所做的功W＝　　 ，小球落地瞬间引力的瞬时功率P＝　　 ；火星的质量M＝　　 ，火星的第一宇宙速度v＝　　 。
【答案】；；； 。
【解答】解：根据
得，火星表面的重力加速度
万有引力所做的功
小球落地的瞬时速度
瞬时功率
根据
得火星的质量
根据
火星的第一宇宙速度
故答案为：；；； 。
13．据国家航天局副局长介绍，中国探月工程三期圆满收官后，探月四期已全面启动。中国航天将坚持面向世界航天发展前沿、而向国家航天重大战略需求，陆续发射嫦娥六号、嫦娥七号、嫦娥八号探测器，开展关键技术攻关和国际月球科研站建设等工作。其中嫦娥六号计划到月球背面采样，并正在论证构建环月球通信导航卫星星座。如果2028年我国的月球科研站建成后，宇航员在月球表面以速度v0竖直上抛一小球，经时间t小球返回抛出点。已知月球的半径为R，求
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）月球的第一宇宙速度大小。
【答案】（1）月球表面的重力加速度g′为；
（2）月球的第一宇宙速度大小为。
【解答】解：（1）在月球上，对小球根据竖直上抛运动的对称规律可得：
变形整理解得：
（2）在月球表面上，不考虑月球自转时，万有引力和重力的关系可得：
而对绕月球表面做匀速圆周运动的卫星来说，根据万有引力提供向心力可得：
联立解得月球的第一宇宙速度大小：
答：（1）月球表面的重力加速度g′为；
（2）月球的第一宇宙速度大小为。
▉题型5 宇宙速度的计算
【知识点的认识】
1.第一宇宙速度是指最大的环绕速度。
对地球而言，当卫星以最大的环绕速度绕地球运行时，此时卫星的轨道半径几乎等于地球的半径R，设此时速度为v，则根据万有引力提供向心力有
Gm，可以求出v
又在地球表面附近有GM＝gR2
所以v
所以如果知道地球表面的重力加速度和地球半径就可以计算出地球的第一宇宙速度了。
2.这一规律对其他天体同样成立。
14．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是（　　）
A．火星探测器降落到火星表面的过程中，处于失重状态
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星车在火星表面所受重力约为其在地球表面所受重力的
D．火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比约为
【答案】C
【解答】解：A.火星探测器降落到火星表面的过程中，向下做减速运动，加速度向上，处于超重状态，故A错误；
B.第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误；
C.根据牛顿第二定律有Gmg，得g，则火车在火星表面受到重力和地球表面受到重力之比为，故C正确；
D.根据第一宇宙速度公式v，代入数据解得v火：v地＝1：，故D错误。
故选：C。
（多选）15．我国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施，计划在2030年前实现中国人首次登陆月球。若探测器登月前一段时间内绕月球做匀速圆周运动，轨道半径的三次方与周期的二次方的关系图像的斜率为k，月球的半径为R，引力常量为G，将月球视为质量分布均匀的球体，球的体积公式为，其中，r为球的半径，则下列说法正确的是（　　）
A．月球的质量为
B．月球的密度为
C．月球的第一宇宙速度为
D．月球表面的重力加速度大小为
【答案】AD
【解答】解：A．设月球与探测器的质量分别为M、m，探测器登月前一段时间内绕月球做匀速圆周动的轨道半为r1，有
又，解得
故A正确；
B．月球的体积
月球的密度
解得
故B错误；
C．根据
可得月球的第一宇宙速度
故C错误；
D．月球表面万有引力近似近似等于重力可得月球表面的重力加速度大小
故D正确。
故选：AD。
16．火星是一颗类地行星，虽然载人登陆火星存在诸多挑战，但人类也在逐步将这一愿景变为现实。已知火星可近似看作球体，其半径为R，若能实现载人登陆火星，则登陆火星后在火星表面h（h R）高度处静止释放一个质量为m的小球，若测得小球落地的时间为t，引力常量为G，不考虑火星自转及空气阻力的影响，由此可知，小球落地过程中火星对小球的引力所做的功W＝　　 ，小球落地瞬间引力的瞬时功率P＝　　 ；火星的质量M＝　　 ，火星的第一宇宙速度v＝　　 。
【答案】；；；
【解答】解：根据得，火星表面的重力加速度
万有引力所做的功
小球落地的瞬时速度
瞬时功率
根据
得火星的质量
根据
火星的第一宇宙速度
故答案为：；；；
▉题型6 同步卫星的特点及相关计算
【知识点的认识】
同步卫星的特点
（1）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
（2）周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400 s．
（3）角速度一定：与地球自转的角速度相同．
（4）高度一定：据，得r＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r﹣R≈6R（为恒量）．
（5）速率一定：运动速度v3.08 km/s（为恒量）．
（6）绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
17．世界上首家私人太空旅馆运营商西班牙“银河套房”公司宣布，拟在未来建立全球第一家太空旅馆—“太空度假村”，在游客入住期间，每天能欣赏到15次日出，并将以每小时3万公里的速度旅行，每85分钟环绕地球一周，下列说法正确的是（　　）
A．“太空度假村”运行的速度小于同步卫星运行的速度
B．“太空度假村”运行的速度大于同步卫星运行的速度
C．“太空度假村”到地球的距离大于同步卫星到地球的距离
D．没办法比较“太空度假村”到地球的距离与同步卫星到地球的距离大小关系
【答案】B
【解答】解：CD、根据万有引力提供向心力得
解得：
依题意可知，“太空度假村”运行的周期小于同步卫星运行的周期，则“太空度假村”到地球的距离小于同步卫星到地球的距离，故CD错误；
AB、根据万有引力提供向心力得
解得：
可知“太空度假村”运行的速度大于同步卫星运行的速度，故A错误，B正确。
故选：B。
（多选）18．地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是（　　）
A． B．（）2
C． D．（）
【答案】AD
【解答】解：同步卫星和地球自转的周期相同，运行的角速度亦相等，则根据向心加速度a＝rω2可知，同步卫星的加速度与地球赤道上物体随地球自转的向心加速度之比等于半径比，；
同步卫星绕地于做匀速圆周运动，第一宇宙速度是近地轨道上绕地球做匀速圆周运动的线速度，两者都满足万有引力提供圆周运动的向心力；
即：Gm
由此可得：v
所以有：，
故AD正确，BC错误。
故选：AD。
（多选）19．同步卫星到地心的距离为r，加速度为a1，运行速率为v1，地球半径为R，赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解答】解：AB、因为同步卫星的周期等于地球自转的周期，所以角速度相等，根据a＝rω2得：，故A正确，B错误；
CD、根据万有引力提供向心力有：Gm，解得：v，则：，故C错误，D正确。
故选：AD。
▉题型7 近地卫星
【知识点的认识】
1.近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径。
2.因为脱离了地面，近地卫星受到的万有引力就完全等于重力，所以有Gmg，化简得GM＝gR2，即近地卫星也满足黄金代换公式。
3.对于近地卫星而言，因为轨道半径近似等于地球半径，所以有
Gmg＝mmω2R＝m
20．如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相同，且小于c的质量，则（　　）
A．b、c周期相等，且大于a的周期
B．b、c的向心加速度大小相等，且b、c的向心力大小也相等
C．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
D．因c的质量最大，所以发射c最不容易，但三个的发射速度都必定大于11.2km/s
【答案】A
【解答】解：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，
m r＝ma＝m
A、由T＝2π 知，因为ra＜rb＝rc，所以Tb＝Tc＞Ta，故A正确；
B、由a知，因为b、c的轨道半径相等，b、c的向心加速度大小相等；F，因为rb＝rc，mb＜mc，所以b的向心力大小小于c的向心力大小，故B错误；
C、由v知，因为ra＜rb＝rc，所以va＞vb＝vc，即b、c的线速度大小相等小于a的线速度大小，故C错误；
D、因为卫星没有脱离地球的吸引，三个卫星的发射速度都小于11.2km/s，故D错误；
故选：A。
（多选）21．“黑洞”是近代引力理论所预言的宇宙中的一种特殊天体，研究认为，黑洞可能是由于超中子星发生塌缩而形成的．欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞并将它命名为：MCG6﹣30﹣15r，假设银河系中心仅此一个黑洞．已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，则根据下列哪一组数据可以估算出该黑洞的质量 （　　）
A．太阳的质量和运行速度
B．太阳绕黑洞公转的周期和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离
C．太阳质量和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离
D．太阳绕黑洞公转的运行速度和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离
【答案】BD
【解答】解：太阳绕银河系中心“黑洞”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳的质量为m、轨道半径为r、“黑洞”质量为M，有
F＝F向
F＝G
F向＝mmω2r＝m（）2r
因而
Gmmω2r＝m（）2r＝ma
从上式可以看出，要计算、“黑洞”质量，要知道周期T与轨道半径r，或者线速度v与轨道半径r，或者轨道半径r与角速度ω，或者角速度ω与线速度v；
由于太阳质量m在等式左右可以约去，故太阳质量对求银河系中心“黑洞”的质量无用处；
故选：BD。
（多选）22．“天宫一号”目标飞行器绕地球做匀速圆周运动时，由天文观测可得其运行周期为T、速度为v，已知万有引力常量为G，则由此可求出（　　）
A．地球的半径
B．“天宫一号”运动的轨道半径
C．地球的质量
D．“天宫一号”受到的万有引力
【答案】BC
【解答】解：A、由天文观测可得其运行周期为T、速度为v，
根据圆周运动的公式得
“天宫一号”运动的轨道半径r，不能求出地球半径，故A错误，B正确
C、研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式得
m
r，所以可以求出地球质量，故C正确
D、由于不知道天宫一号的质量，所以无法求解天宫一号所受到的万有引力，故D错误
故选：BC。
▉题型8 卫星或行星运行参数的计算
【知识点的认识】
对于一般的人造卫星而言，万有引力提供其做圆周运动的向心力。于是有：
①Gm→v
②Gmω2r→ω
③Gm→T
④Gma→a＝G
在卫星运行的过程中，根据题目给出的参数，选择恰当的公式求解相关物理量。
23．据报道，2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。假如月球车在月球表面以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后小球回到出发点，已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．月球的第一宇宙速度为
B．月球的质量为
C．月球表面的重力加速度为
D．探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
【答案】A
【解答】解：C、小球在月球表面做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动规律有
Δv＝2v0＝gt
解得在月球表面的重力加速度为，故C错误；
B、根据在月球表面，物体的重力等于月球对物体的万有引力可知
解得月球的质量为
，故B错误；
A、根据万有引力提供向心力可知
由此解得，月球的第一宇宙速度为
，故A正确；
D、探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为，故D错误。
故选：A。
24．中国科学院紫金山天文台发现的国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图，“樊锦诗星”绕日运行的椭圆轨道面与地球圆轨道面间的夹角为20.11度，轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1天文单位），远日点到太阳中心距离为4.86天文单位。若只考虑太阳对行星的引力，关于“樊锦诗星”，下列说法正确的是（　　）
A．绕太阳一圈大约需要3.18年
B．在远日点的速度小于地球的公转速度
C．在远日点的速度大于地球的公转速度
D．在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为
【答案】B
【解答】解：A、根据开普勒第三定律有
解得“樊锦诗星”绕太阳一圈的时间T樊≈5.67年，故A错误；
BC、地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力可得
则地球的公转速度为
“樊锦诗星”在远日点做向心运动，则
故“樊锦诗星”在远日点的速度
由于r远＞r地，所以“樊锦诗星”在远日点的速度小于地球的公转速度，故B正确，C错误；
D、根据牛顿第二定律可得
“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为
，故D错误。
故选：B。
（多选）25．北京时间2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F运载火箭成功发射升空。载人飞船中有一体重计，体重计上放了一个质量为m的物体。在火箭竖直向上匀加速运动的过程中，经过时间t，地面测控站监测到体重计读数为F。载人飞船经火箭继续推动，进入预定圆轨道，其周期约为1.5小时。已知万有引力常量为G，地面处重力加速度为g0，地球半径为R，忽略地球自转的影响，则（　　）
A．火箭竖直向上匀加速运动的过程中体重计的示数是逐渐减小的
B．根据题给条件可以求出t时刻火箭距离地面的高度
C．预定轨道的半径大于同步卫星的轨道半径
D．飞船在预定圆轨道运行过程中，体重计的示数为零
【答案】ABD
【解答】解：A、忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力可得
匀加速上升过程，对飞船中物体，由牛顿第二定律得F﹣mg＝ma
解得，随h增大，F减小，即火箭竖直向上匀加速运动的过程中体重计的示数逐渐减小，故A正确；
B、在地球表面，根据万有引力等于重力，有，结合，根据位移—时间公式有，联立可以求出h，故B正确；
C、预定轨道的周期为1.5小时，地球同步卫星的运行周期为24h，根据开普勒第三定律k可知，预定轨道的半径小于同步卫星的轨道半径，故C错误；
D、飞船在预定圆轨道运行过程中，物体处于完全失重状态，体重计示数为零，故D正确。
故选：ABD。
▉题型9 不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较
【知识点的认识】
1.卫星运行的一般规律如下：
①Gm→v
②Gmω2r→ω
③Gm→T
④Gma→a＝G
由此可知，当运行半径r增大时，卫星运行的线速度v减小，角速度ω减小，加速度a减小，周期T变大。所以可总结出一条规律为“高轨低速长周期”。即轨道大时，速度（“所有的速度”：线速度、角速度、加速度）较小、周期较大。
2.卫星的运行参数如何与赤道上物体运行的参数相比较？
赤道上运行的物体与同步卫星处在同一个轨道平面，并且运行的角速度相等，所以比较赤道上物体与一般卫星的运行参数时，可以通过同步卫星建立联系。
26．两种卫星绕地球运行的轨道如图，设地球半径为R，地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为v1，加速度大小为a1；近地卫星的轨道半径近似为R，运行速度大小为v2，加速度大小为a2；地球静止卫星的轨道半径为r，运行速度大小为v3，加速度大小为a3。下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：BD．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得：
可得，
则有线速度之比：，向心加速度之比：
故B正确，D错误；
AC．地球赤道上的物体与静止卫星的角速度相等，根据线速度和角速度的关系：v＝ωr，向心加速度的表达式：a＝ω2r
可得，
则有线速度之比：
故AC错误。
故选：B。
27．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，由55颗卫星组成。如图所示，人造地球卫星A、B均做匀速圆周运动，卫星B为地球静止卫星，C是静止在赤道上的物体。若某时刻A、B、C与地心O在同一平面内，且OA⊥AB，下列说法正确的是（　　）
A．卫星A的周期大于卫星B的周期
B．卫星A的角速度大于卫星B的角速度
C．卫星B的线速度小于物体C的线速度
D．物体C的向心加速度大于卫星A的向心加速度
【答案】B
【解答】解：AB、卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得
解得，，
因卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径，故卫星A的周期小于卫星B的周期，卫星A的角速度大于卫星B的角速度，卫星A的向心加速度大于卫星B的向心加速度，故A错误，B正确；
CD、地球静止卫星的角速度与地球自转角速度相等，卫星B为地球静止卫星，C是静止在赤道上的物体，可知B、C的角速度相等，根据v＝ωr，a＝ω2r可知，卫星B的线速度大于物体C的线速度，卫星B的向心加速度大于物体C的向心加速度，结合卫星A的向心加速度大于卫星B的向心加速度，可知卫星A的向心加速度大于物体C的向心加速度，故CD错误。
故选：B。
28．a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星，其中a、c的轨道相交于P，b、d均为同步卫星，b、c轨道在同一平面上，某时刻四颗卫星的运行方向以及位置如图所示，下列说法中正确的是（　　）
A．a、c的加速度大小相等，且小于b的加速度
B．a、b、c、d四颗卫星均能覆盖全球
C．d卫星提速可以和b卫星成功对接
D．a、b、c、d四颗卫星的角速度关系是ωa＝ωc＞ωb＝ωd
【答案】D
【解答】解：AD、卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得
解得
a、c两颗卫星公转轨道半径相同，可知ωa＝ωc。b、d两颗卫星公转轨道半径相同，可知ωb＝ωd，由图可知b、d的公转轨道半径大于a、c的公转轨道半径，根据上述分析可知ωa＝ωc＞ωb＝ωd
根据
解得
所以a、c的加速度大小相等且大于b的加速度，故A错误，D正确；
B、因地球要自转，故a轨道卫星能够覆盖全球，但b、c、d三颗卫星为赤道轨道卫星，不能覆盖两极附近，故B错误；
C、两颗卫星不能在同轨道提速对接，d卫星提速后将会做离心运动，远离地球到外侧轨道运行，不能与b卫星对接，故C错误。
故选：D。
▉题型10 卫星的发射及变轨问题
【知识点的认识】
1.卫星从发射到入轨运行不是一蹴而就的，要经过多次的轨道变化才能实现。
2.一般来说卫星的发射包括以下步骤：
①发射地球卫星，如下图
a、先进入近地轨道Ⅲ
b、在B点加速进入椭圆轨道Ⅱ
c、在远地点A加速进入高轨道Ⅰ
②发射其他行星的卫星，如下图（以月球为例）
a、先进入近地轨道
b、加速进入椭圆轨道
c、多次在近地点加速增加远地点高度，从而进入地月转移轨道
d、在地月转移轨道上的某点被月球引力俘获进入月球轨道
e、在近地点减速减小远地点高度
f、进入环月轨道
29．如图所示，在“嫦娥”探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0。飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月做圆周运动，则（　　）
A．飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为8：1
B．飞船在轨道Ⅲ的运行速率大于
C．飞船在轨道Ⅰ上经过A处的加速度小于在轨道Ⅱ上经过A处的加速度
D．飞船在轨道Ⅰ上经过A处的运行速率等于飞船在轨道Ⅱ上经过A处的运行速率
【答案】A
【解答】解：A、依题意，轨道Ⅰ、Ⅲ的轨道半径分别为4R和R，根据开普勒第三定律k得，解得飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为TⅠ：TⅢ＝8：1，故A正确；
B、飞船在轨道Ⅲ上绕月球表面飞行，由重力提供向心力，则得，解得飞船在轨道Ⅲ的运行速率为，故B错误；
C、根据牛顿第二定律得，可得，所以飞船在轨道Ⅰ上经过A处的加速度等于在轨道Ⅱ上经过A处的加速度，故C错误；
D、飞船由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ做近心运动，需要在A处减速，所以飞船在轨道Ⅰ上经过A处的运行速率大于飞船在轨道Ⅱ上经过A处的运行速率，故D错误。
故选：A。
30．如图所示，发射距地球较远的圆轨道卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为目标圆轨道上的Q点），到达远地点Q时再次变轨，使卫星在目标圆轨道上稳定运动。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在目标圆轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，三个轨道在P、Q两点的加速度分别为a1、a2P、a2Q、a3，则下列说法正确的是（　　）
A．发射卫星时为了节约能源可以由东向西发射
B．a1＞a2P＞a2Q＞a3
C．T1＞T2＞T3，v2＞v1＞v4＞v3
D．在P、Q点变轨时，想让卫星进入远离地球的目标轨道，需要在P、Q点加速，如想让在目标轨道上运动的卫星返回近地圆轨道，则需要在Q、P点减速
【答案】D
【解答】解：A、发射卫星时为了节约能源，可以充分利用地球自转，卫星要由西向东发射，故A错误；
BC、设近地圆轨道半径为r1，目标圆轨道半径为r2。
根据牛顿第二定律得，可得，可知在同一位置卫星的加速度相等，Q点比P点更高，r2＞r1，则有a1＝a2P＞a2Q＝a3
卫星在P点点火加速做离心运动才能由圆轨道变轨到椭圆轨道上，则v2＞v1。同理，卫星在Q点点火加速做离心运动才能变轨到目标圆轨道上，则v4＞v3。
卫星在两个圆轨道上运行时，根据万有引力提供向心力得
解得
目标圆轨道半径更高，则v1＞v4，可知线速度关系是v2＞v1＞v4＞v3。椭圆轨道半长轴大小处于两个圆轨道半径之间，根据开普勒第三定律知周期关系是T1＜T2＜T3，故BC错误；
D、结合上边分析可知，在P、Q点变轨时，想让卫星进入远离地球的目标轨道，在P、Q点加速，相反，如要想让在目标轨道上运动的卫星返回近地圆轨道，则需要在Q、P点减速，故D正确。
故选：D。
▉题型11 卫星的追及相遇问题
【知识点的认识】
一、卫星的对接问题
1.在卫星运行的过程中，会遇到这样的一类问题，那就是处于低轨道的物体要和高轨道的物体相会和；或处于高轨道的物体要和低轨道的物体相会和。在现实中的应用比如卫星的对接。
2.卫星对接的原理可以简单概括为：加速进高轨，减速进低轨。本质上是近心和离心作用。
3.现实生活中的卫星对接常常一般采用从低轨加速进入高轨的方式完成对接。
二、卫星角速度不同引起的共线问题
1.不同轨道的卫星运行的速度不同，如果某一个时刻两个卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧），一定时间后它们还会再次共线。这种情况也可以认为卫星发生了追及相遇现象。
2.这类问题的本质可以看成卫星运行的角速度不同引起的，根据角速度与角度的关系可以得出，每一次卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧）时有：
（ω1﹣ω2）t＝2nπ，n＝1，2，3，...
31．三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是（　　）
A．C加速可追上同一轨道上的A
B．经过时间，A、B相距最远
C．A、C向心加速度大小相等，且小于地面物体的自转加速度
D．在相同时间内，A与地心连线扫过的面积等于B与地心连线扫过的面积
【答案】B
【解答】解：A．卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的A点，故A错误；
B．卫星A、B由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为π，所以可得ωBt﹣ωAt＝π
其中ωB，ωA。则经历的时间t，故B正确；
C．卫星A和C的角速度与地球表面物体自转的角速度相等，轨道半径大于地球半径，根据an＝ω2r
可知，卫星A和C的向心加速度大于地球表面物体自转向心加速度，故C错误；
D．绕地球运动的卫星与地心的连线在相同时间t内扫过的面积Svtr
由万有引力提供向心力，可知
整理解得Svtr
可知，在相同时间内，A与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积，故D错误。
故选：B。
（多选）32．关于人造地球卫星与宇宙飞船的下列说法中，正确的是（　　）
A．如果知道人造地球卫星的轨道半径和它的周期，再利用万有引力恒量，就可算出地球质量
B．两颗人造地球卫星，只要它们的绕行速率相等，不管它们的质量、形状差别有多大，它们的绕行半径和绕行周期就一定是相同的
C．原来在同一轨道上沿同一方向绕行的人造卫星一前一后，若要后一卫星追上前一卫星并发生碰撞，只要将后者速率增大一些即可
D．一只绕火星飞行的宇宙飞船，宇航员从舱内慢慢走出，并离开飞船，飞船因质量减小，所受万有引力减小，故飞行速度减小
【答案】AB
【解答】解：A、根据：可知，若知道人造地球卫星的轨道半径和它的周期可以算出地球的质量，故A正确；
B、根可知，两颗人造地球卫星，只要它们的绕行速率相等，它们的绕行半径一定相同，周期也一定相同，故B正确；
C、原来某一轨道上沿同一方向绕行的两颗卫星，一前一后，若后一卫星的速率增大，根，那么后一卫星将做离心运动，故C错误；
D、根知飞行速度与飞船质量无关，故D错误。
故选：AB。
33．如图所示，两颗卫星绕某行星在同一平面内做匀速圆周运动，两卫星绕行方向相同（图中为逆时针方向）。已知卫星1运行的周期为T1＝T0，行星的半径为R，卫星1和卫星2到行星中心的距离分别为r1＝2R，r2＝8R，引力常量为G。某时刻两卫星与行星中心连线之间的夹角为，求：（题干中T0、R、G已知）
（1）行星的质量M；
（2）行星的第一宇宙速度；
（3）从图示时刻开始，经过多长时间两卫星第一次相距最近？
【答案】（1）行星的质量是；
（2）行星的第一宇宙速度是；
（3）从图示时刻开始，经过时间T0两卫星第一次相距最近。
【解答】解：（1）万有引力提供向心力，对卫星1，由牛顿第二定律得：Gmr1
解得：M
（2）第一宇宙速度的轨道半径为R，由牛顿第二定律得：G
解得：v
（3）由开普勒第三定律得：
解得：T2＝8T0
设由图示时刻经过时间t两卫星第一相距最近，
则（）t2π
解得：tT0
答：（1）行星的质量是；
（2）行星的第一宇宙速度是；
（3）从图示时刻开始，经过时间T0两卫星第一次相距最近。
▉题型12 天体运动中机械能的变化
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对卫星变轨过程中的机械能变化情况。
2.卫星变轨有两种情况，一种是低轨加速进高轨；一种是高轨减速进低轨。
3.加速过程需要发动机向后喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向前，对卫星做正功，卫星的机械能增加；反之，减速过程需要发动机向前喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向后，对卫星做负功，卫星的机械能减小。
34．如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中（　　）
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变大
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】D
【解答】解：A、海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，则PM段的时间小于MQ段的时间，所以P到M所用的时间小于，故A错误。
B、从Q到N的过程中，由于只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误。
C、从P到Q阶段，万有引力做负功，速率减小，故C错误。
D、根据万有引力方向与速度方向的关系知，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，故D正确。
故选：D。
35．某人造地球卫星在半径为r的轨道1上做匀速圆周运动，动能为Ek，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了ΔE，在轨道2上也做匀速圆周运动，忽略空气阻力及卫星质量的变化，则（　　）
A．轨道2的半径为
B．轨道2的半径为
C．由轨道1变轨到轨道2的过程中，卫星发动机做功为﹣ΔE
D．由轨道1变轨到轨道2的过程中，卫星的机械能减少了ΔE
【答案】A
【解答】解：AB.某卫星在半径为r的轨道1上做圆周运动，动能，由万有引力提供向心力有 ；在轨道2上运行时，动能，由万有引力提供向心力有，联立以上各式得，故A正确，B错误；
CD.人造地球卫星在轨道1与轨道2上运行相比，动能减少ΔE，说明是从低轨变到高轨，需要点火加速才能实现，因此在变轨过程中动能增加。此过程重力势能同时增加，卫星机械能增加，发动机对卫星做正功，故CD错误。
故选：A。
▉题型13 双星系统及相关计算
【知识点的认识】
1.模型特点：众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星。
2.模型特点
（1）两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；
（2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；
（3）两星的运动周期、角速度相同；
（4）两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1+r2＝L。
3.处理方法
（1）双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即。
（2）两个结论：
①运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
②质量之和：由于，r1+r2＝L，所以两恒星的质量之和为m1+m2。
36．在浩瀚的银河系中，我们发现的半数以上的恒星都是双星体，组成双星的两颗恒星都称为双星的子星。有的双星不但相互之间距离很近，而且有物质从一颗子星流向另一颗子星。设子星B所释放的物质被子星A全部吸收，并且两星间的距离在一定的时间内不变，两星球的总质量不变，则下列说法正确的是（　　）
A．子星A的轨道半径不变
B．子星A的运动周期变大
C．两星间的万有引力不变
D．两星速率之和不变
【答案】D
【解答】解：A、设子星A的质量为M，轨道半径为rA，子星B的质量为m，轨道半径为rB，两星由相互作用的万有引力提供向心力，可知两星所需的向心力相等，则有：
，可得：，子星A质量变大，子星B质量变小，所以子星A的半径变小，故A错误；
B、设两星之间的距离为r，两星角速度为ω，则对A星有：；对子星B有：，又有：rA+rB＝r
联立解得：，由此式可知，因为两星球的总质量不变且两星间的距离在一定的时间内不变，故两星球的角速度不变，根据：，可知两星的周期不变，即子星A周期不变，故B错误；
C、设子星B释放的物质的质量为Δm，根据万有引力定律的：，可知质量变化后，两星质量的乘积会变化，故两星间的万有引力会变化，故C错误；
D、因为角速度和线速度满足：v＝ωr，由上述关系和选项B的解答，可得两星球速率之和为：，因为两星球的总质量不变，且两星间的距离在一定的时间内不变，故两星球的速率之和不变，故D正确。
故选：D。
（多选）37．航天局的科学家基于我国“天关”卫星获得的数据，在名为“小麦哲伦云”的邻近星系内发现一组双星系统。这组双星系统由一颗质量较小的伴星A和一颗质较大的白矮星B组成，两颗星A、B环绕共同的圆心运行，白矮星从其伴星A那里不断缓慢拉扯物质，使得自身质量不断缓慢变大，而伴星A不断失去物质而质量变小。设在变化过程中A、B两天体球心之间的距离保持不变。随着A、B质量的消长，下列说法正确的是（　　）
A．A、B间相互作用力越来越大
B．A、B间相互作用力越来越小
C．A、B的环绕周期不变
D．A、B的环绕周期越来越小
【答案】BC
【解答】解：AB．设两星的质量分别为M1，M2，两者的距离为L，M1绕它们连线的某一点运动的轨道半径为R1，M2的轨道半径为R2，它们之间的引力提供向心力，它们具有相同的周期，万有引力F，M1+M2是不变的常数，白矮星从其伴星A那里不断缓慢拉扯物质，使得自身质量不断缓慢变大，而伴星A不断失去物质而质量变小，当M1＝M2时，M1与M2的乘积M1M2最大，M1与M2相差越多，M1M2越小，故相互作用力越来越小，故B正确，A错误；
CD．根据，
解得，
则总质量
解得
总质量M1+M2不变，L不 变，故周期T不 变，故C正确，D错误。
故选：BC。
▉题型14 多星系统及相关计算
【知识点的认识】
1.定义：由多个天体组成的系统叫作多星系统。
2.三星系统：由三个天体组成的系统叫作三星系统。常见的三星系统有两种：
①三颗恒星在一条直线上，一起绕着某个点运行
②三个恒星不在一条直线上，一起绕着某个点运行
4.研究多星系统的基本思路是，每一颗恒星都仅受到其它恒星的引力作用，这些引力的合力要么提供它做圆周运动的向心力，要么使它处于平衡状态。
（多选）38．天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法错误的是（　　）
A．三颗星的质量可能不相等
B．某颗星的质量为
C．它们的线速度大小均为
D．它们两两之间的万有引力大小为
【答案】ABC
【解答】解：ABD、轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，rl。
根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则F合＝2Fcos30°；
星球做匀速圆周运动，合力提高向心力，故：
F合＝mr，
解得：m
它们两两之间的万有引力：F，故D正确，AB错误；
C、根据F合＝m得：线速度大小为：v，故C错误。
故选：ABC。
39．在宇宙中存在一些离其它星较远的，质量相等三星组成的三星系统，通常可以忽略其它星体对它们的作用力。观察到的三星系统存在一种基本构成形式是：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿三角形的外接圆轨道做匀速圆周运动。已知三角形的边长为a，每颗星的质量都为m。
求：（1）每一颗星受到的万有引力大小？
（2）三颗星沿圆形轨道运动的线速度和周期？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据万有引力定律，任意两个星体间的引力大小为：F＝G；
每个星体的合力为：F合＝2Fcos30°G；
（2）星球做匀速圆周运动，合力提供向心力，
故：F合＝mm
其中有几何知识：rL；
解得：Tπ，v＝2π。
答：（1）其中一颗星所受合力为G；
（2）三颗星沿圆形轨道运动的线速度为2π，周期为π。
40．宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m，引力常量为G．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度大小和周期；
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）第一种形式下，三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力：，
解得：，
故周期：T
（2）另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
，
联立解得：．
答：（1）第一种形式下线速度大小为，周期为；
（2）第二种形式下星体之间的距离应为．
▉题型15 潮汐问题
【知识点的认识】
本考点以潮汐问题为背景考查万有引力定理的应用。
41．由于潮汐力的作用，地球与月球之间的距离会缓慢减小，当月球表面的物体受到地球对它的引力与月球对它的引力大小相等时，月球开始瓦解。已知地球的半径为R，地球表面的引力加速度是月球表面的引力加速度的6倍。不考虑自转影响，当月球开始瓦解时，月球表面到地球表面的最小距离为（　　）
A．R B．R C．（1）R D．（1）R
【答案】D
【解答】解：设地球质量就为M，则在地球表面物体重力等于地球的万有引力，即为：mg＝G①
设月球表面的物体受到地球对它的引力与月球对它的引力大小相等时月球上物体距地心距离为r，根据万有引力定律得：G②
联立①②解得：rR
当月球开始瓦解时，月球表面到地球表面的最小距离为：h＝r﹣R＝（1）R，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（多选）42．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（　　）
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【答案】AD
【解答】解：AB、根据万有引力定律得：
太阳引力F1，月球引力F2，
代入数据得：
168.75，故A正确，B错误；
CD、由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，地球潮汐是由于月球对海水不同程度的吸引造成的，故C错误，D正确。
故选：AD。
▉题型16 中子星与黑洞
【知识点的认识】
本考点以中子星或黑洞为背景考查万有引力定律。
43．2019年4月10日人类史上第一张黑洞照片在全球六地同步发布。如图所示，该图像的许多特征与爱因斯坦广义相对论的预言完全一致，在强引力极端环境下进一步验证了广义相对论。黑洞是宇宙空间内存在的一种超高密度的天体，它产生的引力场极强，以至于它的逃逸速度大于光速，光都不能逃逸。已知逃逸速度是近地卫星环绕速度的倍，光在真空中的传播速度c＝3×108m/s，太阳的质量约为M＝2.0×1030kg，半径约为7.0×105km，引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，若太阳能收缩成黑洞，则太阳半径大约要收缩到（　　）
A．3mm B．3m C．3km D．3000km
【答案】C
【解答】解：设太阳半径缩小为r，由，得太阳近地卫星的环绕速度
黑洞的逃逸速度大于光速，即逃逸速度
整理可得，故C正确，ABD错误。
故选：C。
44．浩瀚的宇宙中有着无数的未知天体，当宇宙中的天体的质量和密度大到一定程度就可以形成黑洞。根据万有引力知识可得出在黑洞表面，物体的逃逸速度等于光速。已知天体表面的逃逸速度v2和其第一宇宙速度v1的关系为，万有引力常量G＝6.67×10﹣11m3/kg s2，光速c＝3×108m/s。若某黑洞的密度约为2×1019kg/m3，试估算该黑洞半径最小为多少？（　　）
A．3×102m B．5×102m C．3×103m D．5×103m
【答案】C
【解答】解：由第一宇宙速度定义可知
又
由题意可知
且对于黑洞有
v2＝c
代入数据联立可得：R≈3×103m，故ABD错误，C正确。
故选C。
45．科学家于2017年首次直接探测到来自双中子星合并的引力波。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，在它们合并前的一段时间内，它们球心之间的距离为L，两中子星在相互引力的作用下，围绕二者连线上的某点O做匀速圆周运动，它们每秒钟绕O点转动n圈，已知引力常量为G。求：
（1）两颗中子星做匀速圆周运动的速率之和v；
（2）两颗中子星的质量之和M。
【答案】（1）两颗中子星做匀速圆周运动的速率之和v为2πnL。
（2）两颗中子星的质量之和M为。
【解答】解：（1）设中子星1和2的速率分别为v1、v2，轨道半径分别为r1、r2。
两颗中子星均绕O点做匀速圆周运动，角速度相等，由v＝ωr可知
v1＝ωr1
v2＝ωr2
结合r1+r2＝L
角速度ω＝2πn
解得v＝v1+v2＝2πnL
（2）设两颗中子星的质量分别为m1、m2，由万有引力提供向心力可得
Gm1ω2r1
Gm2ω2r2
解得M＝m1+m2
答：（1）两颗中子星做匀速圆周运动的速率之和v为2πnL。
（2）两颗中子星的质量之和M为。
▉题型17 拉格朗日点
【知识点的认识】
本考点以拉格朗日点为背景考查万有引力定律。
46．1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（　　）
A．该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等
B．该卫星在L2点处于平衡状态
C．该卫星绕太阳运动的向心加速度小于地球绕太阳运动的向心加速度
D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处大
【答案】D
【解答】解：A、据题意知，卫星与地球同步绕太阳做圆周运动，则卫星绕太阳运动周期和地球公转周期相等，与其自转周期不同，故A错误
B、卫星受的合力为地球和太阳对它引力的合力，这两个引力方向相同，合力不为零，处于非平衡状态，故B错误。
C、由于卫星与地球绕太阳做圆周运动的周期相同，“嫦娥二号”的轨道半径大，根据公式a分析可知，“嫦娥二号”的绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，故C错误。
D、由题可知，卫星在L1点与L2点的周期与角速度是相等的，根据向心力的公式：F＝mω2r，在L1点处的半径小，所以在L1点处的合力小。故D正确。
故选：D。
47．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是（　　）
A．a2＞a3＞a1 B．a2＞a1＞a3 C．a3＞a1＞a2 D．a3＞a2＞a1
【答案】D
【解答】解：在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，
根据向心加速度anr，
由于拉格朗日点L1的轨道半径小于月球轨道半径，所以a2＞a1，
同步卫星离地高度约为36000公里，故同步卫星离地距离小于拉格朗日点L1的轨道半径，
根据a得a3＞a2＞a1，
故选：D。
（多选）48．“拉格朗日点”的定义是：“受两大物体引力作用下，能使小物体稳定的点。”在数学上共有五个解，如下图中的L1、L2、L3、L4、L5点。2018年5月21日，我国用长征四号丙运载火箭，成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继卫星发射升空。“鹊桥”是世界首颗运行于拉格朗日点L2的卫星，当“鹊桥”处于“拉格朗日点”L2时，会在月球与地球共同的引力作用下，几乎不消耗燃料的情况下以与月球相同的周期同步绕地球运行。则以下判断正确的是（　　）
A．“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
B．“鹊桥”的角速度大于月球的角速度
C．“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
D．“鹊桥”的向心力由地球引力和月球引力的合力提供
【答案】AD
【解答】解：AB、“鹊桥”的轨道半径大于月球的轨道半径，但两者运行的角速度相同，根据v＝ωr可知，“鹊桥”的线速度大于月球的线速度，故A正确，B错误；
C、向心加速度a＝ω2r，“鹊桥”的角速度等于月球的角速度，则“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度，故C错误；
D、地球和月球的引力之和提供“鹊桥”所需向心力，故D正确。
故选：AD。第4章第2节 万有引力定律的应用
题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换） 题型2 用万有引力定律发现未知天体以及预言彗星回归
题型3 计算天体的质量和密度 题型4 第一、第二和第三宇宙速度的物理意义
题型5 宇宙速度的计算 题型6 同步卫星的特点及相关计算
题型7 近地卫星 题型8 卫星或行星运行参数的计算
题型9 不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较 题型10 卫星的发射及变轨问题
题型11 卫星的追及相遇问题 题型12 天体运动中机械能的变化
题型13 双星系统及相关计算 题型14 多星系统及相关计算
题型15 潮汐问题 题型16 中子星与黑洞
题型17 拉格朗日点
▉题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换）
【知识点的认识】
对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即
化简得到：GM＝gR2
其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，这个式子的应用非常广泛，被称为黄金代换公式。
1．如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（　　）
A．M，ρ
B．M，ρ
C．M，ρ
D．M，ρ
2．如图所示，“嫦娥一号”发射后绕地球椭圆轨道运行，多次调整后进入奔月轨道，接近月球后绕月球椭圆轨道运行，调整后进入月球表面轨道。已知a是某一地球椭圆轨道的远地点，b和c是不同月球椭圆轨道的远月点，a点到地球中心的距离等于b点到月球中心的距离。则“嫦娥一号”（　　）
A．在a点速度小于地球第一宇宙速度
B．在a点和在b点的加速度大小相等
C．在b点的机械能小于在c点的机械能
D．在奔月轨道上所受的万有引力一直减小
3．2025年2月11日17时30分，由航天科技集团五院研制的卫星互联网低轨“02组”卫星，在中国文昌航天发射场发射成功，在离地高度不变的低空轨道上围绕地球做匀速圆周运动。下列关于“02组”卫星的说法正确的是（　　）
A．地球对卫星引力为恒力
B．卫星的加速度为零
C．地球引力对卫星不做功
D．地球引力的功率不为零
4．美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星．荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地．若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是（　　）
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
C．火里探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H和运行周期T
D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T
▉题型2 用万有引力定律发现未知天体以及预言彗星回归
【知识点的认识】
（1）海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。人们称之为笔尖下的行星。
（2）其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
（3）预言哈雷彗星回归：英国天文学家哈雷依据万有引力，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
5．下列说法中正确的是（　　）
A．天王星偏离根据万有引力计算的轨道，是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
B．只有海王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的
C．天王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的
D．以上均不正确
6．下面说法错误的是（　　）
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．天王星的运动轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
▉题型3 计算天体的质量和密度
【知识点的认识】
1.天体质量的计算
（1）重力加速度法
若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得，解得天体的质量M，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。这是黄金代换公式的一个常见应用。
（2）环绕法
借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
2.天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度，将M代入上式，可得。
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则。
7．木卫三是太阳系中最大的卫星，主要由硅酸盐岩石和冰体构成。木卫三的平均半径约为2630km，是月球半径的1.5倍，质量约为1.5×1023kg，是月球质量的2倍，假设质量相等的两个飞行器分别落在木卫三和月球的表面，木卫三和月球对各自飞行器的引力大小之比为（　　）
A． B． C． D．
8．对于一颗密度未知的天体，要想知道它的密度，可以向这颗未知的天体发射一颗人造卫星，利用人造卫星参数推算出天体密度，设人造卫星的轨道为圆形轨道；已知天体自身的半径为R，引力常量为G，用万有引力定律推算出未知天体的密度，还需测出的卫星参数是（　　）
A．周期
B．线速度
C．向心加速度
D．角速度和卫星到天体表面的高度
9．对于一颗密度未知的天体，要想知道它的密度，可以向这颗未知的天体发射一颗人造卫星，利用人造卫星参数推算出天体密度，设人造卫星的轨道为圆形轨道；已知天体自身的半径为R，引力常量为G，用万有引力定律推算出未知天体的密度，还需测出的卫星参数是（　　）
A．周期
B．线速度
C．向心加速度
D．角速度和卫星到天体表面的高度
10．宇宙中有两颗恒星S1、S2，半径均为R0。如图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与公转半径r3的关系图像，则（　　）
A．恒星 S1 与恒星S2的质量之比为2：1
B．恒星 S1 与恒星S2的质量之比为4：1
C．恒星S1与恒星S2的密度之比为1：2
D．恒星S1与恒星S2的密度之比为2：1
▉题型4 第一、第二和第三宇宙速度的物理意义
【知识点的认识】
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度（环绕速度）
（1）大小：7.9km/s．
（2）意义：
①卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
②使卫星绕地球做匀速圆周运动的最小地面发射速度．
2．第二宇宙速度
（1）大小：11.2 km/s
（2）意义：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度．
第二宇宙速度（脱离速度）
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v＝11.2 km/s．
3．第三宇宙速度
（1）大小：16.7km/s
（2）意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度．
第三宇宙速度（逃逸速度）
在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为v＝16.7km/s．
三种宇宙速度比较
宇宙速度 数值（km/s） 意义
第一宇宙速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度
第二宇宙速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
11．探索宇宙的奥秘，奔向广阔而遥远的太空，这是人类自古以来的梦想。关于宇宙速度，下列说法正确的是（　　）
A．在地面发射飞行器，发射速度必须小于第一宇宙速度
B．第一宇宙速度是卫星在地面附近环绕地球做圆周运动的速度
C．第二宇宙速度的数值是7.9km/s，它是在地面上发射物体使之挣脱地球引力的最小速度
D．第三宇宙速度的数值是16.7km/s，它是在地面上发射物体使之挣脱地球引力的最小速度
12．火星是一颗类地行星，虽然载人登陆火星存在诸多挑战，但人类也在逐步将这一愿景变为现实。已知火星可近似看作球体，其半径为R，若能实现载人登陆火星，则登陆火星后在火星表面h（h R）高度处静止释放一个质量为m的小球，若测得小球落地的时间为t，引力常量为G，不考虑火星自转及空气阻力的影响，由此可知，小球落地过程中火星对小球的引力所做的功W＝　　 ，小球落地瞬间引力的瞬时功率P＝　　 ；火星的质量M＝　　 ，火星的第一宇宙速度v＝　　 。
13．据国家航天局副局长介绍，中国探月工程三期圆满收官后，探月四期已全面启动。中国航天将坚持面向世界航天发展前沿、而向国家航天重大战略需求，陆续发射嫦娥六号、嫦娥七号、嫦娥八号探测器，开展关键技术攻关和国际月球科研站建设等工作。其中嫦娥六号计划到月球背面采样，并正在论证构建环月球通信导航卫星星座。如果2028年我国的月球科研站建成后，宇航员在月球表面以速度v0竖直上抛一小球，经时间t小球返回抛出点。已知月球的半径为R，求
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）月球的第一宇宙速度大小。
▉题型5 宇宙速度的计算
【知识点的认识】
1.第一宇宙速度是指最大的环绕速度。
对地球而言，当卫星以最大的环绕速度绕地球运行时，此时卫星的轨道半径几乎等于地球的半径R，设此时速度为v，则根据万有引力提供向心力有
Gm，可以求出v
又在地球表面附近有GM＝gR2
所以v
所以如果知道地球表面的重力加速度和地球半径就可以计算出地球的第一宇宙速度了。
2.这一规律对其他天体同样成立。
14．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是（　　）
A．火星探测器降落到火星表面的过程中，处于失重状态
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星车在火星表面所受重力约为其在地球表面所受重力的
D．火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比约为
（多选）15．我国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施，计划在2030年前实现中国人首次登陆月球。若探测器登月前一段时间内绕月球做匀速圆周运动，轨道半径的三次方与周期的二次方的关系图像的斜率为k，月球的半径为R，引力常量为G，将月球视为质量分布均匀的球体，球的体积公式为，其中，r为球的半径，则下列说法正确的是（　　）
A．月球的质量为
B．月球的密度为
C．月球的第一宇宙速度为
D．月球表面的重力加速度大小为
16．火星是一颗类地行星，虽然载人登陆火星存在诸多挑战，但人类也在逐步将这一愿景变为现实。已知火星可近似看作球体，其半径为R，若能实现载人登陆火星，则登陆火星后在火星表面h（h R）高度处静止释放一个质量为m的小球，若测得小球落地的时间为t，引力常量为G，不考虑火星自转及空气阻力的影响，由此可知，小球落地过程中火星对小球的引力所做的功W＝　　 ，小球落地瞬间引力的瞬时功率P＝　　 ；火星的质量M＝　　 ，火星的第一宇宙速度v＝　　 。
▉题型6 同步卫星的特点及相关计算
【知识点的认识】
同步卫星的特点
（1）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
（2）周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400 s．
（3）角速度一定：与地球自转的角速度相同．
（4）高度一定：据，得r＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r﹣R≈6R（为恒量）．
（5）速率一定：运动速度v3.08 km/s（为恒量）．
（6）绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
17．世界上首家私人太空旅馆运营商西班牙“银河套房”公司宣布，拟在未来建立全球第一家太空旅馆—“太空度假村”，在游客入住期间，每天能欣赏到15次日出，并将以每小时3万公里的速度旅行，每85分钟环绕地球一周，下列说法正确的是（　　）
A．“太空度假村”运行的速度小于同步卫星运行的速度
B．“太空度假村”运行的速度大于同步卫星运行的速度
C．“太空度假村”到地球的距离大于同步卫星到地球的距离
D．没办法比较“太空度假村”到地球的距离与同步卫星到地球的距离大小关系
（多选）18．地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是（　　）
A． B．（）2
C． D．（）
（多选）19．同步卫星到地心的距离为r，加速度为a1，运行速率为v1，地球半径为R，赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，则（　　）
A． B．
C． D．
▉题型7 近地卫星
【知识点的认识】
1.近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径。
2.因为脱离了地面，近地卫星受到的万有引力就完全等于重力，所以有Gmg，化简得GM＝gR2，即近地卫星也满足黄金代换公式。
3.对于近地卫星而言，因为轨道半径近似等于地球半径，所以有
Gmg＝mmω2R＝m
20．如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相同，且小于c的质量，则（　　）
A．b、c周期相等，且大于a的周期
B．b、c的向心加速度大小相等，且b、c的向心力大小也相等
C．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
D．因c的质量最大，所以发射c最不容易，但三个的发射速度都必定大于11.2km/s
（多选）21．“黑洞”是近代引力理论所预言的宇宙中的一种特殊天体，研究认为，黑洞可能是由于超中子星发生塌缩而形成的．欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞并将它命名为：MCG6﹣30﹣15r，假设银河系中心仅此一个黑洞．已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，则根据下列哪一组数据可以估算出该黑洞的质量 （　　）
A．太阳的质量和运行速度
B．太阳绕黑洞公转的周期和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离
C．太阳质量和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离
D．太阳绕黑洞公转的运行速度和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离
（多选）22．“天宫一号”目标飞行器绕地球做匀速圆周运动时，由天文观测可得其运行周期为T、速度为v，已知万有引力常量为G，则由此可求出（　　）
A．地球的半径
B．“天宫一号”运动的轨道半径
C．地球的质量
D．“天宫一号”受到的万有引力
▉题型8 卫星或行星运行参数的计算
【知识点的认识】
对于一般的人造卫星而言，万有引力提供其做圆周运动的向心力。于是有：
①Gm→v
②Gmω2r→ω
③Gm→T
④Gma→a＝G
在卫星运行的过程中，根据题目给出的参数，选择恰当的公式求解相关物理量。
23．据报道，2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。假如月球车在月球表面以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后小球回到出发点，已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．月球的第一宇宙速度为
B．月球的质量为
C．月球表面的重力加速度为
D．探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
24．中国科学院紫金山天文台发现的国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图，“樊锦诗星”绕日运行的椭圆轨道面与地球圆轨道面间的夹角为20.11度，轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1天文单位），远日点到太阳中心距离为4.86天文单位。若只考虑太阳对行星的引力，关于“樊锦诗星”，下列说法正确的是（　　）
A．绕太阳一圈大约需要3.18年
B．在远日点的速度小于地球的公转速度
C．在远日点的速度大于地球的公转速度
D．在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为
（多选）25．北京时间2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F运载火箭成功发射升空。载人飞船中有一体重计，体重计上放了一个质量为m的物体。在火箭竖直向上匀加速运动的过程中，经过时间t，地面测控站监测到体重计读数为F。载人飞船经火箭继续推动，进入预定圆轨道，其周期约为1.5小时。已知万有引力常量为G，地面处重力加速度为g0，地球半径为R，忽略地球自转的影响，则（　　）
A．火箭竖直向上匀加速运动的过程中体重计的示数是逐渐减小的
B．根据题给条件可以求出t时刻火箭距离地面的高度
C．预定轨道的半径大于同步卫星的轨道半径
D．飞船在预定圆轨道运行过程中，体重计的示数为零
▉题型9 不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较
【知识点的认识】
1.卫星运行的一般规律如下：
①Gm→v
②Gmω2r→ω
③Gm→T
④Gma→a＝G
由此可知，当运行半径r增大时，卫星运行的线速度v减小，角速度ω减小，加速度a减小，周期T变大。所以可总结出一条规律为“高轨低速长周期”。即轨道大时，速度（“所有的速度”：线速度、角速度、加速度）较小、周期较大。
2.卫星的运行参数如何与赤道上物体运行的参数相比较？
赤道上运行的物体与同步卫星处在同一个轨道平面，并且运行的角速度相等，所以比较赤道上物体与一般卫星的运行参数时，可以通过同步卫星建立联系。
26．两种卫星绕地球运行的轨道如图，设地球半径为R，地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为v1，加速度大小为a1；近地卫星的轨道半径近似为R，运行速度大小为v2，加速度大小为a2；地球静止卫星的轨道半径为r，运行速度大小为v3，加速度大小为a3。下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
27．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，由55颗卫星组成。如图所示，人造地球卫星A、B均做匀速圆周运动，卫星B为地球静止卫星，C是静止在赤道上的物体。若某时刻A、B、C与地心O在同一平面内，且OA⊥AB，下列说法正确的是（　　）
A．卫星A的周期大于卫星B的周期
B．卫星A的角速度大于卫星B的角速度
C．卫星B的线速度小于物体C的线速度
D．物体C的向心加速度大于卫星A的向心加速度
28．a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星，其中a、c的轨道相交于P，b、d均为同步卫星，b、c轨道在同一平面上，某时刻四颗卫星的运行方向以及位置如图所示，下列说法中正确的是（　　）
A．a、c的加速度大小相等，且小于b的加速度
B．a、b、c、d四颗卫星均能覆盖全球
C．d卫星提速可以和b卫星成功对接
D．a、b、c、d四颗卫星的角速度关系是ωa＝ωc＞ωb＝ωd
▉题型10 卫星的发射及变轨问题
【知识点的认识】
1.卫星从发射到入轨运行不是一蹴而就的，要经过多次的轨道变化才能实现。
2.一般来说卫星的发射包括以下步骤：
①发射地球卫星，如下图
a、先进入近地轨道Ⅲ
b、在B点加速进入椭圆轨道Ⅱ
c、在远地点A加速进入高轨道Ⅰ
②发射其他行星的卫星，如下图（以月球为例）
a、先进入近地轨道
b、加速进入椭圆轨道
c、多次在近地点加速增加远地点高度，从而进入地月转移轨道
d、在地月转移轨道上的某点被月球引力俘获进入月球轨道
e、在近地点减速减小远地点高度
f、进入环月轨道
29．如图所示，在“嫦娥”探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0。飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月做圆周运动，则（　　）
A．飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为8：1
B．飞船在轨道Ⅲ的运行速率大于
C．飞船在轨道Ⅰ上经过A处的加速度小于在轨道Ⅱ上经过A处的加速度
D．飞船在轨道Ⅰ上经过A处的运行速率等于飞船在轨道Ⅱ上经过A处的运行速率
30．如图所示，发射距地球较远的圆轨道卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为目标圆轨道上的Q点），到达远地点Q时再次变轨，使卫星在目标圆轨道上稳定运动。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在目标圆轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，三个轨道在P、Q两点的加速度分别为a1、a2P、a2Q、a3，则下列说法正确的是（　　）
A．发射卫星时为了节约能源可以由东向西发射
B．a1＞a2P＞a2Q＞a3
C．T1＞T2＞T3，v2＞v1＞v4＞v3
D．在P、Q点变轨时，想让卫星进入远离地球的目标轨道，需要在P、Q点加速，如想让在目标轨道上运动的卫星返回近地圆轨道，则需要在Q、P点减速
▉题型11 卫星的追及相遇问题
【知识点的认识】
一、卫星的对接问题
1.在卫星运行的过程中，会遇到这样的一类问题，那就是处于低轨道的物体要和高轨道的物体相会和；或处于高轨道的物体要和低轨道的物体相会和。在现实中的应用比如卫星的对接。
2.卫星对接的原理可以简单概括为：加速进高轨，减速进低轨。本质上是近心和离心作用。
3.现实生活中的卫星对接常常一般采用从低轨加速进入高轨的方式完成对接。
二、卫星角速度不同引起的共线问题
1.不同轨道的卫星运行的速度不同，如果某一个时刻两个卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧），一定时间后它们还会再次共线。这种情况也可以认为卫星发生了追及相遇现象。
2.这类问题的本质可以看成卫星运行的角速度不同引起的，根据角速度与角度的关系可以得出，每一次卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧）时有：
（ω1﹣ω2）t＝2nπ，n＝1，2，3，...
31．三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是（　　）
A．C加速可追上同一轨道上的A
B．经过时间，A、B相距最远
C．A、C向心加速度大小相等，且小于地面物体的自转加速度
D．在相同时间内，A与地心连线扫过的面积等于B与地心连线扫过的面积
（多选）32．关于人造地球卫星与宇宙飞船的下列说法中，正确的是（　　）
A．如果知道人造地球卫星的轨道半径和它的周期，再利用万有引力恒量，就可算出地球质量
B．两颗人造地球卫星，只要它们的绕行速率相等，不管它们的质量、形状差别有多大，它们的绕行半径和绕行周期就一定是相同的
C．原来在同一轨道上沿同一方向绕行的人造卫星一前一后，若要后一卫星追上前一卫星并发生碰撞，只要将后者速率增大一些即可
D．一只绕火星飞行的宇宙飞船，宇航员从舱内慢慢走出，并离开飞船，飞船因质量减小，所受万有引力减小，故飞行速度减小
33．如图所示，两颗卫星绕某行星在同一平面内做匀速圆周运动，两卫星绕行方向相同（图中为逆时针方向）。已知卫星1运行的周期为T1＝T0，行星的半径为R，卫星1和卫星2到行星中心的距离分别为r1＝2R，r2＝8R，引力常量为G。某时刻两卫星与行星中心连线之间的夹角为，求：（题干中T0、R、G已知）
（1）行星的质量M；
（2）行星的第一宇宙速度；
（3）从图示时刻开始，经过多长时间两卫星第一次相距最近？
▉题型12 天体运动中机械能的变化
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对卫星变轨过程中的机械能变化情况。
2.卫星变轨有两种情况，一种是低轨加速进高轨；一种是高轨减速进低轨。
3.加速过程需要发动机向后喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向前，对卫星做正功，卫星的机械能增加；反之，减速过程需要发动机向前喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向后，对卫星做负功，卫星的机械能减小。
34．如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中（　　）
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变大
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
35．某人造地球卫星在半径为r的轨道1上做匀速圆周运动，动能为Ek，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了ΔE，在轨道2上也做匀速圆周运动，忽略空气阻力及卫星质量的变化，则（　　）
A．轨道2的半径为
B．轨道2的半径为
C．由轨道1变轨到轨道2的过程中，卫星发动机做功为﹣ΔE
D．由轨道1变轨到轨道2的过程中，卫星的机械能减少了ΔE
▉题型13 双星系统及相关计算
【知识点的认识】
1.模型特点：众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星。
2.模型特点
（1）两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；
（2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；
（3）两星的运动周期、角速度相同；
（4）两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1+r2＝L。
3.处理方法
（1）双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即。
（2）两个结论：
①运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
②质量之和：由于，r1+r2＝L，所以两恒星的质量之和为m1+m2。
36．在浩瀚的银河系中，我们发现的半数以上的恒星都是双星体，组成双星的两颗恒星都称为双星的子星。有的双星不但相互之间距离很近，而且有物质从一颗子星流向另一颗子星。设子星B所释放的物质被子星A全部吸收，并且两星间的距离在一定的时间内不变，两星球的总质量不变，则下列说法正确的是（　　）
A．子星A的轨道半径不变
B．子星A的运动周期变大
C．两星间的万有引力不变
D．两星速率之和不变
（多选）37．航天局的科学家基于我国“天关”卫星获得的数据，在名为“小麦哲伦云”的邻近星系内发现一组双星系统。这组双星系统由一颗质量较小的伴星A和一颗质较大的白矮星B组成，两颗星A、B环绕共同的圆心运行，白矮星从其伴星A那里不断缓慢拉扯物质，使得自身质量不断缓慢变大，而伴星A不断失去物质而质量变小。设在变化过程中A、B两天体球心之间的距离保持不变。随着A、B质量的消长，下列说法正确的是（　　）
A．A、B间相互作用力越来越大
B．A、B间相互作用力越来越小
C．A、B的环绕周期不变
D．A、B的环绕周期越来越小
▉题型14 多星系统及相关计算
【知识点的认识】
1.定义：由多个天体组成的系统叫作多星系统。
2.三星系统：由三个天体组成的系统叫作三星系统。常见的三星系统有两种：
①三颗恒星在一条直线上，一起绕着某个点运行
②三个恒星不在一条直线上，一起绕着某个点运行
4.研究多星系统的基本思路是，每一颗恒星都仅受到其它恒星的引力作用，这些引力的合力要么提供它做圆周运动的向心力，要么使它处于平衡状态。
（多选）38．天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法错误的是（　　）
A．三颗星的质量可能不相等
B．某颗星的质量为
C．它们的线速度大小均为
D．它们两两之间的万有引力大小为
39．在宇宙中存在一些离其它星较远的，质量相等三星组成的三星系统，通常可以忽略其它星体对它们的作用力。观察到的三星系统存在一种基本构成形式是：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿三角形的外接圆轨道做匀速圆周运动。已知三角形的边长为a，每颗星的质量都为m。
求：（1）每一颗星受到的万有引力大小？
（2）三颗星沿圆形轨道运动的线速度和周期？
40．宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m，引力常量为G．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度大小和周期；
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
▉题型15 潮汐问题
【知识点的认识】
本考点以潮汐问题为背景考查万有引力定理的应用。
41．由于潮汐力的作用，地球与月球之间的距离会缓慢减小，当月球表面的物体受到地球对它的引力与月球对它的引力大小相等时，月球开始瓦解。已知地球的半径为R，地球表面的引力加速度是月球表面的引力加速度的6倍。不考虑自转影响，当月球开始瓦解时，月球表面到地球表面的最小距离为（　　）
A．R B．R C．（1）R D．（1）R
（多选）42．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（　　）
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
▉题型16 中子星与黑洞
【知识点的认识】
本考点以中子星或黑洞为背景考查万有引力定律。
43．2019年4月10日人类史上第一张黑洞照片在全球六地同步发布。如图所示，该图像的许多特征与爱因斯坦广义相对论的预言完全一致，在强引力极端环境下进一步验证了广义相对论。黑洞是宇宙空间内存在的一种超高密度的天体，它产生的引力场极强，以至于它的逃逸速度大于光速，光都不能逃逸。已知逃逸速度是近地卫星环绕速度的倍，光在真空中的传播速度c＝3×108m/s，太阳的质量约为M＝2.0×1030kg，半径约为7.0×105km，引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，若太阳能收缩成黑洞，则太阳半径大约要收缩到（　　）
A．3mm B．3m C．3km D．3000km
44．浩瀚的宇宙中有着无数的未知天体，当宇宙中的天体的质量和密度大到一定程度就可以形成黑洞。根据万有引力知识可得出在黑洞表面，物体的逃逸速度等于光速。已知天体表面的逃逸速度v2和其第一宇宙速度v1的关系为，万有引力常量G＝6.67×10﹣11m3/kg s2，光速c＝3×108m/s。若某黑洞的密度约为2×1019kg/m3，试估算该黑洞半径最小为多少？（　　）
A．3×102m B．5×102m C．3×103m D．5×103m
45．科学家于2017年首次直接探测到来自双中子星合并的引力波。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，在它们合并前的一段时间内，它们球心之间的距离为L，两中子星在相互引力的作用下，围绕二者连线上的某点O做匀速圆周运动，它们每秒钟绕O点转动n圈，已知引力常量为G。求：
（1）两颗中子星做匀速圆周运动的速率之和v；
（2）两颗中子星的质量之和M。
▉题型17 拉格朗日点
【知识点的认识】
本考点以拉格朗日点为背景考查万有引力定律。
46．1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（　　）
A．该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等
B．该卫星在L2点处于平衡状态
C．该卫星绕太阳运动的向心加速度小于地球绕太阳运动的向心加速度
D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处大
47．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是（　　）
A．a2＞a3＞a1 B．a2＞a1＞a3 C．a3＞a1＞a2 D．a3＞a2＞a1
（多选）48．“拉格朗日点”的定义是：“受两大物体引力作用下，能使小物体稳定的点。”在数学上共有五个解，如下图中的L1、L2、L3、L4、L5点。2018年5月21日，我国用长征四号丙运载火箭，成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继卫星发射升空。“鹊桥”是世界首颗运行于拉格朗日点L2的卫星，当“鹊桥”处于“拉格朗日点”L2时，会在月球与地球共同的引力作用下，几乎不消耗燃料的情况下以与月球相同的周期同步绕地球运行。则以下判断正确的是（　　）
A．“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
B．“鹊桥”的角速度大于月球的角速度
C．“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
D．“鹊桥”的向心力由地球引力和月球引力的合力提供

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