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人民教育出版社A版 必修第二册
第六章 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第一课时 余弦定理
一、情景导入
问题1 武广高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及到一个问题，就是要测量出两山脚的长度.而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道两山脚的长度呢？
A
B
C
500m
120°
300m
b
a
c=？
千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名.
问题2 现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AB，BC的夹角为120°.岛屿A，B间的距离如何计算呢？
A
B
C
120°
6km
4km
A
B
C
b
a
c=？
A
B
C
120°
300m
500m
120°
6km
4km
我们能不能根据已知的边角条件得到我们需要的长度或距离呢？
这就是我们这节课要学习的余弦定理，它给出了一般三角形中的边角关系。
学习目标
1.熟练掌握余弦定理并会证明.
2.熟练掌握余弦定理的推论，能灵活应用余弦定理及其推论解决相关的解三角形问题.
对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了一些等判定三角形全等的方法，如SSS、SAS、ASA、AAS.
这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的. 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？
二、课内探究
问题3 在这个问题中，涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，我们在哪见过类似的情景？
如图示，在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c，怎样用a, b和C表示c？
我们先来探究其中的一种，SAS，由这个判定方法我们知道，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
问题4 如何用向量的语言来描述这个问题？
三、概念形成
通过以上探究，我们得到了三角形边角关系：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
余弦定理
问题5 你还能用其它方法证明余弦定理吗？
在问题4中我们是用向量的线性运算和数量积来得到余弦定理的，那你能否利用向量的坐标运算证明余弦定理呢？
能否用平面几何方法证明余弦定理呢？
四、概念深化
问题6： 余弦定理指出我们可以从三角形的两边及其夹角直接求出第三边，其余的两个角如何求呢？事实上，我们可以先求出角的某个三角函数值，进而确定这个角。结合本节课的知识，我们有
四、概念深化
问题6： 余弦定理指出我们可以从三角形的两边及其夹角直接求出第三边，其余的两个角如何求呢？事实上，我们可以先求出角的某个三角函数值，进而确定这个角。结合本节课的知识，我们有
余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
问题7：余弦定理与勾股定理的关系：
A
B
C
b
a
c=？
A
B
C
120°
300m
500m
120°
6km
4km
例5 在△ABC 中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解这个三角形 (角度精确到1°，边长精确到1 cm).
解：
五、典例精讲
例6 在中，,锐角满足，求(已知)
例6 在中，,锐角满足，求(已知)
解：因为,且为锐角，
所以
由余弦定理，得
所以
进而
考虑，
，
又,故.
五、典例精讲
感悟方法
若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；
若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
问题8 现阶段我们能解决的解三角形问题有哪些？
1.已知三角形的两边及一角,解三角形.
必须先判断该角是两边的夹角还是两边中一边的对角.
2.已知三边长，求角.
六、归纳小结
知识清单：
(1)余弦定理及推论.
(2)余弦定理解决相关问题
（两边及其夹角、两边和其中一边的对角、三边）.
思想方法：
(1)数形结合思想
(2)分类讨论思想
(3)方程思想
七、课后作业
必做题 教材第44页练习第1-3题.
选做题 教材第53页15题
制作单位 临清市第一中学
录制时间 2023年9月8日

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