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第一章 二次根式 单元测试·拔尖卷
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式是二次根式的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案．
【详解】解：二次根式有（1），（3），
故选：C．
2．（3分）（24－25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据程序写出代数式，再代入计算解答即可．
本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得程序式为，
∵，
∴
，
故选：B．
3．（3分）（24－25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可．
【详解】解：若是“最美实数”，
则有或，
若，解得，
若，解得，
综上，a的值为或，
故选：D．
4．（3分）（24－25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握二次根式的运算法则．
根据小长方形的长宽列式，依次计算，即可求解．
【详解】解：A、大长方形的长为：，故该选项正确，不符合题意，
B、大长方形的宽为：，故该选项正确，不符合题意，
C、大长方形的周长为：，故该选项不正确，符合题意，
D、大长方形的面积为：，故该选项正确，不符合题意，
故选：C．
5．（3分）（24－25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式：
；
；
；
……
根据你的观察，计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用．
根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律，将式子算：改写为，运用规律进行求解．
【详解】∵，
，
，
……
，
，
故选：C．
6．（3分）（24－25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（ ）
A．90 B．91 C．93 D．95
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题．
【详解】解：，，
∴，，
∴，
故选：D．
7．（3分）代数式的最小值是（ ）
A．0 B．3 C． D．不存在
【答案】B
【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据，，都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．
【详解】解：若代数式有意义，
则，
解得：x≥2，
∵由，，都随x的增大而增大，
∴当x＝2时，代数式的值最小，
即＝1＋0＋2＝3．
故选：B．
【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．
8．（3分）（24－25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可．
【详解】解： ，，
，
原式，
故选：C．
9．（3分）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键．
10．（3分）（24－25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可．
【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确．
②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误．
③：方程，x为整数且．
逐一验证：
当时，左边分别为，满足条件；
其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误．
④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即，
第三次操作时：，则；
第二次操作时：，则，其中；
第一次操作时：，则．
排除提前终止的情况：
若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除；
若，则，对应；
若，则，对应；
∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为，
∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确．
综上，正确说法为①④，共2个．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24－25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化：
（1）分母有理数后比较大小即可；
（2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可．
【详解】解：（1）∵，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
12．（3分）（24－25八年级下·全国·单元测试）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
13．（3分）（24－25八年级下·重庆渝北·期末）计算： ．
【答案】45
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：45．
14．（3分）（24－25八年级下·山西大同·阶段练习）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解．
【详解】解：∵长方形彩纸的长为，宽为，
∴长方形彩纸的面积为，
∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，
∴正方形彩纸的面积为．
故答案为： ．
15．（3分）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键.
16．（3分）仔细观察下列式子：，，，…
（1）请写出如上面的第4个同类型式子 ．
（2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ．
【答案】 （n为正整数）
【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可；
（2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可．
【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：，
故答案为：；
（2）∵，整理得：，
，整理得：，
，整理得：
…
则第n个式子为：．
故答案为：（n为正整数）．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24－25八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算或化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂运算法则，在运算过程中注意运算顺序和简便运算方法的运用，结果化为最简形式．掌握相应的公式，性质，运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质，零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可；
（2）根据二次根式的乘除法进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．（6分）（24－25八年级下·云南曲靖·期末）已知实数、满足，，
(1)求的值；
(2)试比较的值与3的大小．
【答案】(1)16
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，实数比较大小．
（1）利用完全平方公式将变形为，再代值计算即可；
（2）先求出，，再通分化简得，再代值计算，再比较与3的大小即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即．
19．（8分）（1）已知，求代数式的值．
（2）已知实数满足，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值：
（1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可；
（2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴
；
（2）∵有意义，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（8分）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算
(3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1)①，②
(2)
(3)
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可；
（2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可；
（3）由题意得，同理：，，则，进而可得．
【详解】（1）解：①，
故答案为：；
②解：，
故答案为：；
（2）解：
．
（3）解：；理由如下；
∵，
∴，
同理：，，
∴，
∴．
21．（10分）（24－25八年级下·江苏淮安·期中）行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是．
(1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）；
(2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由．
【答案】(1)该楼层落地时的速度为
(2)不正确，见解析
【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简．
（1）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果；
（2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式，然后与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论．
【详解】（1）解：把，，
代入得：
，
∴该楼层落地时的速度为；
（2）不正确，理由如下：
∵小明住的高度是小亮家的2倍，
∴，
将的值代入公式中得：
v小明 ，
∴2，
即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍，
因此，小明的说法不正确．
22．（10分）（24－25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，，，且，求m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)26
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴．
23．（12分）（24－25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形闲置区域的周长；
(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1）
【答案】(1)米
(2)1350.7元
【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答．
（2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，（米）．
答：该长方形闲置区域的周长为米
（2）解：
（平方米）．
∴其余的面积为平方米，
（元）．
答：购买红毯大约需要花费1350.7元．
24．（12分）（24－25七年级上·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，，
当即时，的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
(1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)４；
(2)
(3)
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用．熟练掌握配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用，是解本题的关键．
（1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值；
（2）当时，由，可得时， 的最小值是；
（3）设的面积为a，根据，得．可得四边形的面积，可得当时，四边形的面积的最小值为：．
【详解】（1）解：当时，
∵，
∴当即时，的最小值为4；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴当，即时，的最大值为；
故答案为：4；；
（2）解：当时，
∵，
∴当，即时， 的最小值是：．
（3）解：设的面积为a，
∵，
∴，
∴．
∴四边形的面积：，
∵，
∴当，即时，四边形的面积的最小值为：．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 二次根式 单元测试·拔尖卷
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式是二次根式的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（3分）（24－25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（24－25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（3分）（24－25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24
5．（3分）（24－25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式：
；
；
；
……
根据你的观察，计算的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24－25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（ ）
A．90 B．91 C．93 D．95
7．（3分）代数式的最小值是（ ）
A．0 B．3 C． D．不存在
8．（3分）（24－25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（24－25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24－25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小：
（1） ；
（2） ．
12．（3分）（24－25八年级下·全国·单元测试）已知，则 ．
13．（3分）（24－25八年级下·重庆渝北·期末）计算： ．
14．（3分）（24－25八年级下·山西大同·阶段练习）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ．
15．（3分）计算的结果是 ．
16．（3分）仔细观察下列式子：，，，…
（1）请写出如上面的第4个同类型式子 ．
（2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24－25八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算或化简：
(1)
(2)
18．（6分）（24－25八年级下·云南曲靖·期末）已知实数、满足，，
(1)求的值；
(2)试比较的值与3的大小．
19．（8分）（1）已知，求代数式的值．
（2）已知实数满足，求的值．
20．（8分）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算
(3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
21．（10分）（24－25八年级下·江苏淮安·期中）行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是．
(1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）；
(2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由．
22．（10分）（24－25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，，，且，求m．
(3)已知，求的值．
23．（12分）（24－25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形闲置区域的周长；
(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1）
24．（12分）（24－25七年级上·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，，
当即时，的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
(1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值．

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