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北师大实验中学 2026 届高三下学期开学测验 高三数学
2026 年 2 月
本试卷共 4 页, 共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 (选择题, 共 40 分)
一、选择题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分, 在每小题列出的四个选项中, 选 出符合题目要求的一项.
1. 已知全集 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数 对应的点坐标为 ,则实数 ( )
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
3. 在 的展开式中， 的系数为( )
A. 10 B. -10 C. 40 D. -40
4. 设 ,则()
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 ，则()
A. B. C. D.
6. 等比数列 中, ,设甲: ,乙: ,则甲是乙的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知点 为直线 上的一个动点， 为圆 上任意两个不重合的点,记 的最小值为 的最大值为 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 经研究表明,糖块的溶解过程可以用指数型函数 ( 为常数)来描述，其中 (单位: 克) 代表 分钟末未溶解糖块的质量. 现将一块质量为 7 克的糖块放入到一定量的水中，在第 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克，则
A. B. C. ln 2 D.
9. 已知函数 的部分图象如图所示. 若 四点在同一个圆上， 则 ( )
A. 1 B. C. D.
10. 对于无穷数列 和正整数 ,若存在 满足 且 ,则称数列 具有性质 . 下列选项中错误的是 ( )
A. 若 ,则数列 不具有性质
B. 若 ,则数列 具有性质
C. 存在数列 和 ,使得 和 均不具有性质 ,且 具有性质
D. 若数列 和 均具有性质 ,则 具有性质
第二部分(非选择题，共 110 分)
二、填空题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分.
11. 如图,角 以 为始边,它的终边与单位圆 相交于点 ,且点 的横坐标为 ,则 的值为_____
12. 设 ,则 _____.
13. 已知双曲线 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为_____；若双曲线上存在四个点 使得四边形 为正方形,则 的一个取值为_____.
14. 在如图所示的多面体中，平面 平面 ， ， ， ,直线 与平面 所成的角均为 , ，则点 到平面 的距离为_____；该多面体的体积为_____.
15. 已知曲线 ，给出下列四个结论:
①曲线 关于 轴对称；
②当 时，曲线 上任意一点到点 ，的距离均不超过 ；
③曲线 与直线 围成图形的面积小于 5;
④经过点 且与 平行的直线与曲线 的所有交点的横、纵坐标均为有理数. 其中所有正确结论的序号是_____.
三、解答题共 6 小题, 共 85 分.解答题应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在，求 .
条件①: ;
条件②: ;
条件③: .
注: 如果选择的条件不符合要求, 第 (2) 问得 0 分; 如果选择多个符合要求的条件分别解答, 按第一个解答计分.
17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年, 某学校开展了历史知识竞赛.决赛设置 两类题型,每位选手先抽取两道 类题,再抽取一道 类题. 类题答对一道得 10 分, 类题答对得 20 分. 已知选手甲答对 类题的概率为 ,答对 类题的概率为 ,且各题是否答对相互独立.
(1)求甲恰好答对一道题的概率；
( 2 )设 为甲的总得分，求 的分布列和数学期望 ；
(3)若选手乙答对 类题的概率为 ，答对 类题的概率为 ，设 为乙的总得分，比较 和 的大小. (结论不要求证明)
18. 如图 1,五边形 中, . 将三角形 沿 翻折,使得平面 平面 ,如图 2.
图1
图2
(1)求证: 平面 ；
(2)记直线 与平面 所成角为 . 若 ，求 的长.
19. 已知椭圆 . 设直线 交椭圆 于不同的两点 ,与 轴交于点 .
(1)当 时，求 的值；
(2)若点 满足 且 ，求 的大小.
20. 设函数 ,其中 .
(1)当 时,求 的零点:
(2)当 时,证明:
(i) 1 为 的极小值点;
(ii) 对于任意 ,存在 ,使得曲线 在点 处的切线斜率与在点 处的切线斜率互为相反数.
21. 已知有穷整数数列 ,满足 . 记集合 为
,或 ,或 . 若数列 ,则称数列 是 的“恒元”.
(1)已知数列 ,请写出 中所有满足 的数列;
(2)当 时，是否存在数列 满足 ，且 是 的“恒元” 若存在，请写出一个满足条件的数列 ; 若不存在,请说明理由;
(3)当数列 是 的“恒元”时，若 是 个连续正整数的一个排列，求数列 的项数 的最大值.
1. B
因为全集 ,集合 , 所以 ,
故选: B
2. B
,则 对应的点的坐标为 ,故 .
故选: B
3. D
通项公式 ,
令 ,得 ,所以 的系数为 ,
故选: D
4. D
, 故 .
故选: D
5. C
抛物线 的准线方程为 ,
又点 在 上且 ,则 ,所以 ,
即 ,故 错误, 正确;
又 ，所以 ，所以 ，故 B、D 错误.
故选: C
6. C
已知等比数列 中 ,若 ,设公比为 .
根据等比数列通项公式 ,即 ,解得 .
再根据通项公式求 ,所以由 能推出 ,充分性成立.
若 ,同样根据等比数列通项公式 ,即 ,解得 ,则 .
又因为 ,所以由 能推出 ,必要性成立.
由于充分性和必要性都成立, 所以甲是乙的充要条件.
故选: C.
7. A
由题意得 的标准方程为 ,所以圆心 ,半径为 2, 如图:
所以圆心 到直线 的距离为 ,所以直线 与 相离,
所以当 分别为圆的切线,且 最小时,
最大，又 ，则 最大，
所以 最大，此时 最小，
此时 .
显然 的最大值为 1,故 .
故选: A
8. A
由题意,当 时, ,
当 时, ,则 ,
则 ,即 .
故选: A.
9. D
连接 交 轴于 ,
由于 四点在同一个圆上,且 和 均关于点 对称, 故 为圆心,故 ,
故 ，解得 ，
故选: D
10. D
对于 : 因 ,则 ,由于 是 2 个不同的正整数, 因此 不可能相等,故数列 不具有性质 ,故 A 正确;
对于 ,故当 为偶数时, ,此时 ,
故取 为 2026 个不同的偶数,此时 ,
则数列 具有性质 ,故 正确;
对于 : 取 ,由 选项可知,数列 不具有性质 ;
取 ,则 ,由于 是 2 个不同的正整数,因此 不可能相等，
故数列 不具有性质 ;
,则 ,
故任取 为 2026 个不同的正整数,
有 ,则数列 具有性质 ,故 正确;
对于 : 取 ,
则当 为奇数时, ,
故取 为 2026 个不同的奇数,此时 ,
故数列 具有性质 ;
当 为偶数时, ,故取 为 2026 个不同的偶数,
此时 ,故数列 具有性质 ;
,则 ,由于 为 2026 个不同的正整数,
则 不可能相等,
此时数列 不具有性质 ,故 错误.
故选: D
11.
由题意,点 的横坐标为 ,则 ,
则 .
故答案为: .
12.
由题意,
由 ,得 ,
,
,即 ,
.
故答案为: .
13.
当 时,双曲线为 ,此时 ,
则双曲线的渐近线方程为 .
双曲线 ,即 ,
其渐近线方程为 ,
要使双曲线上存在四个点 满足四边形 是正方形,
根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点, 且在第一象限内的顶点横纵坐标相等, 则 ,解得 ,可取 .
故答案为: ； (答案不唯一).
对于 ①:因为平面 平面 ,且交线为 ,过点 作 平面 垂足为 ,
则 在直线 上，因为 与平面 所成角为 ，所以 ，
在 Rt 中, ,
即点 到平面 的距离为 .
对于②: 将多面体分割为四棱锥 和四棱锥 两部分.
对于四棱锥 ，因为 ，
所以底面 为直角梯形,又 ,
所以 ,高为 到平面 的距离 ,
所以 ;
对于四棱锥 ，因为 ，
所以底面 为梯形,
过点 作 垂直 ,垂足为 ,因为平面 平面 ,平面 平面
所以 平面 ,以 为原点,分别以 所在直线为 轴,以过 与 平行的直线为 轴,
建立如图所示空间直角坐标系,由① ，
又 与平面 所成角均为 ，所以 ，
则 ,
则 ,令 ,
则点 到直线 的距离 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则 ,所以 是平面 的一个法向量,
又 ,所以点 到平面 的距离为
又 ，
所以 ,
所以该多面体的体积
15. ①③④
由曲线 ,
用 代换方程中的 ,方程不变,所以曲线 关于 轴对称,所以①正确;
设曲线 上的一点 ,其中 ,
则点 到点 的距离为 ,
当 时,可得 ,
所以点 到点 的距离可以超过 ,所以②不正确；
当 时,可得 ,即 ;
当 时,可得 ,即 ;
令 ,可得 ,所以 为增函数,
令 ,可得 ,所以 为单调递增函数,
所以 的增长趋势越来越快,可得曲线大致图象如图所示,
可得梯形 的面积为 ，
所以曲线 与直线 围成图形的面积小于 5,所以③正确；
过点 且与直线 平行的直线方程为 ,
联立方程组 ,整理得 ,
整理得 ,解得 或 ,
当 时,可得 ; 当 时,可得 ,
所以经过点 且与 平行的直线与曲线 的所有交点的横、纵坐标均为有理数, 所以④正确.
故答案为:①③④.
16.
(1) 在 中,因为 ,
由余弦定理 ,得 .
因为 ,所以 .
(2)选择条件①:
因为 ,所以 .
由题意得 ,所以 .
因为 ,
所以
由正弦定理 ,得 ,
又 ，解得 ，所以 .
选择条件②:
由题意得 ,所以 .
因为 ,且 ,所以 .
又 ,所以 ,
又 ,解得 或 .
选择条件③:不符合题意，因为 中， ，不可能 .
17. (1)由题意可知甲答对一道 类题且答错 类题的概率为 , 答错两道 类题且答对 类题的概率为 ,
故甲恰好答对一道题的概率为 ;
(2)由题意可知 的取值为0,10,20,30,40，
则 ，
故 的分布列为:
0 10 20 30 40
1 18 2 9 5 18 2 9 2 9
故 ;
(3)由题意可知 的取值为0,10,20,30,40，
则 ,
故 的分布列为:
Y 0 10 20 30 40
1 6 1 6
故 ;
结合 (2) 可知
18.(1)因为平面 平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 .
(2)如图，过点 作 于点 ，则 ，
在 中, ,所以 ,得 .
过点 作 轴上平面 ,建立如图空间直角坐标系 ,
设 ,则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,
令 ,则 ,所以 ,
所以 ,
解得 ,即 .
19.
(2)
(1) 设点 ,当 时,直线 的方程为 ,
联立 可得 或 ,
所以 .
(2)设点 、 ，设线段 的中点为 ，
因为 ,则 ,且 ,
联立 ,可得 ,
则 ,
由韦达定理可得 ,
则 ,故点 ,
所以, ,
又因为 ,
因为 ,则 ,故 .
20. (1) 已知 ,定义域为 ,令 , 则 ,解得 (舍去) 或 (舍去) 或 ,故 的零点为 1 .
(2)(i)当 时，函数 ，定义域为 ，
,则 ,
当 时, ,所以 ,
故 在区间 上单调递减,
当 时, ,所以 ,
故 在区间 上单调递增,
因为 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,故 1 为 的极小值点.
(ii) 已知 ,
故曲线 在点 处的切线斜率为 ,
在点 处的切线斜率为 ,
因为 与 互为相反数,所以 ,
令 ,
则 ,
当 时, 单调递增,且 ,
根据零点存在定理可知: 存在 ,使得 ,
故函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
且 ,故函数 在区间 上的值域为 ,
令 ,
则 ,
当 时, 单调递减,且 ,
故 时， 恒成立，所以函数 在区间 单调递减，
故 的值域为 ,
因为当 时, ,
所以 是 的子集,
故对于任意 ，存在 ，使得曲线 在点 处的切线斜率与在点 处的切线斜率互为相反数.
21. (1)因为数列 ，所以 中的数列满足 . 因为
所以 中所有满足 的数列有
.
(2)假设存在满足条件的数列 ，
则满足 ,有 ,或 ,或 .
所以 与 同为奇数或同为偶数.
所以 是偶数.
所以 是偶数.
又 是奇数,矛盾.
所以假设不成立,不存在满足条件的数列 .
(3)当数列 是 的“恒元”时，
因为数列 中, 是 个连续正整数的一个排列,
所以当 时,有 ,且至多一项为 1 .
不妨记 ,所以 ,且 .
当 时， .
当 时,有 .
此时 ,或 .
又 ，所以 ， ，或 ， .
① 当 时，有 ，或 ，所以 ，或者 .
当 时,有 ,
所以 .
因为 ,所以 . 所以 .
当 时,有 ,所以 (舍).
② 当 时，有 ，或 ，所以 ，或者 .
当 时,有 ,
所以 ,
所以 .
当 时,有 ,
所以 . 所以 (舍).
又由于数列 和 满足条件.
综上所述， .

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