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第一章 相交线与平行线 全章题型归纳
【基础巩固】 2
【题型1 相交线】 2
【题型2 对顶角与对顶角相等】 3
【题型3 垂线的画法及相关计算】 4
【题型4 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 7
【题型5 垂线段最短】 8
【题型6 点到直线的距离】 10
【题型7 同位角、内错角、同旁内角】 11
【题型8 平行线及其画法】 13
【题型9 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行】 15
【题型10 同位角相等，两直线平行】 16
【题型11 内错角相等，两直线平行】 18
【题型12 同旁内角互补，两直线平行】 20
【题型13 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行】 22
【题型14 两直线平行，同位角相等】 25
【题型15 两直线平行，内错角相等】 27
【题型16 两直线平行，同旁内角互补】 29
【能力提升】 31
【题型17 与对顶角有关的计算与证明】 31
【题型18 与垂线有关的计算与证明】 34
【题型19 利用平行线的判定与性质求角度】 38
【题型20 利用平行线的判定与性质证明】 42
【思维拓展】 46
【题型21 平行线的性质在生活中的应用】 46
【题型22 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 50
【题型23 平行线的判定与性质与分类讨论思想的综合运用】 57
【基础巩固】
【题型1 相交线】
【例1】（2024·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】A
【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
将直线m，n分别延长之后，会交于一点，即可判断．
【详解】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交，
故选：A．
【变式1－1】同一平面内两条直线若相交，则公共点的个数为 个．
【答案】
【分析】根据相交线的性质，即可得出交点个数．
【详解】解：两直线不同的位置关系，可得不同的交点个数，
同一平面内，两直线相交，有且只有1个交点，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了相交线的交点个数，若同一平面内，两直线相交，有且只有1个交点；若两直线重合，有无数个交点．
【变式1－2】下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意；
B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意；
C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意；
D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意；
故选：C．
【变式1－3】（24－25七年级上·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（ ）个部分．
A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8
【答案】C
【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键．
根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可．
【详解】解：分两种情况：
①若，不平行，如图所示，
观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分．
②若，平行，如图所示，
观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分，
综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分．
故选：C．
【题型2 对顶角与对顶角相等】
【例2】如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（ ）
A． B． C． D．和
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义求解即可．
【详解】解：的对顶角是，
故选C
【变式2－1】如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对．
【答案】12
【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数．
【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角，
三条直线相交于一点，有对不同的对顶角，
四条直线相交于一点，有对不同的对顶角，
故答案为：12．
【变式2－2】（25－26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，若加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， 且， 则 的度数为 ．
【答案】/48度
【分析】本题考查了角平分线的判定，先根据题意得是的角平分线，再根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2－3】如图，直线相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，平角的定义，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案；
（2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【题型3 垂线的画法及相关计算】
【例3】（24－25七年级下·吉林白山·期末）如图，直线、相交于点于点O，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，由垂直的定义得到，再利用角的和差和对顶角相等，求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
【变式3－1】下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查画垂线，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．
【详解】解：用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，
∴D选项的画法正确，
故选：D．
【变式3－2】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数．
【答案】，
【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，平角的定义及比例的应用，根据题目中的条件，利用角度比例关系和角平分线的性质，计算出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【变式3－3】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）先根据平角求出，再由角平分线得，最后结合直角，用减去与的关系求出．
（2）仿照（1）的思路，把用表示，重复上述步骤，用含的代数式表示．
【详解】（1）解： 是直线上一点，
平分
；
（2）解： 是直线上一点，
平分
．
【题型4 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】
【例4】（24－25七年级下·广西崇左·阶段练习）如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（ ）
A．垂线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】本题考查了垂线的性质，关键是掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断．
【详解】解：依题意，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，
∴其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：D．
【变式4－1】如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点，并折出过点且与垂直的直线，能折出这样的直线的条数为( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条
【答案】B
【分析】本题考查垂线的基本性质，过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．
根据垂线的性质，这样的直线只能作一条．
【详解】过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，
这样的直线只有条．
故选B．
【变式4－2】如图是一张长方形纸片，纸片的一边为，小亮在纸片内部任取一点，并通过折叠折出过点且与垂直的折痕，他发现这样的折痕只能折出一条，理由是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】C
【详解】解：由题意可知，
理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【变式4－3】经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢
【答案】解： 在同一平面内，经过直线上一点画的垂线，这样的垂线能画出条
在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，这样的垂线能画出条．
【详解】本题考查垂线的性质，解题的关键是掌握过平面内一点，有且只有一条直线垂直于已知直线．
【题型5 垂线段最短】
【例5】（24－25七年级下·河南南阳·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ）

A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可．
【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，
其中蕴含的数学道理是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
故选：C．
【变式5－1】（24－25七年级下·吉林·阶段练习）如图，小智同学的家在处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键 ．利用垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：小智同学的家在处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短 ．
【变式5－2】（24－25七年级下·云南红河·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活，我们要学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的思维思考现实世界，学会用数学的语言表达现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．两钉子固定木条 B．建筑工人砌墙
C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直
【答案】C
【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可．
【详解】解：A、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
B、建筑工人砌墙用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”，符合题意；
D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短，不符合题意；
故选：C．
【变式5－3】（24－25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m．
【答案】5
【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，，
当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，，
∴的最大值与最小值相差，
故答案为：5
【题型6 点到直线的距离】
【例6】（25－26七年级上·黑龙江·阶段练习）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．
根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可．
【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为．
故答案为：，，．
【变式6－1】（24－25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键．
【详解】解：∵A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，
∴代表点M到直线l的距离的是线段的长度．
故选：C．
【变式6－2】（24－25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可．
【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意；
B、表示点A到的距离，不符合题意；
C、表示不是点B到的距离，不符合题意；
D、表示点C到的距离，不符合题意；
故选：A．
【变式6－3】（24－25七年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在探究垂线的性质时，李老师将直角三角尺的一条直角边摆放在钝角的边上，另一条直角边经过顶点，则下列线段的长度能表示点到距离的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离定义：“点到直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离”，得出点到距离的是线段的长度，进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点到距离的是线段的长度．
故选：D．
【题型7 同位角、内错角、同旁内角】
【例7】如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．和是同位角 B．和是对顶角
C．和是同旁内角 D．和是内错角
【答案】A
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角，正确识图，掌握这些角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义判断，即可得答案．
【详解】解：A、和不是同位角，故符合题意；
B、和是对顶角，故不符合题意；
C、和是同旁内角，故不符合题意
D、和是内错角，故不符合题意；
故选 ：A．
【变式7－1】（24－25七年级下·全国·期末）如图，∠1的同旁内角是 ，∠2的内错角是 ．
【答案】
【分析】本题考查同旁内角和内错角，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同旁内角和内错角定义判断即可．
【详解】解：（1）当直线、被直线所截时，的同旁内角是，
当直线、被直线所截时，的同旁内角是，
故答案为：；
（2）当直线、被直线所截时，的内错角是，
当直线、被直线所截时，的内错角是，
故答案为：．
【变式7－2】如图，直线被直线所截，与交于点A，则图中共有同旁内角 对．
【答案】
【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角．
【详解】解：根据同旁内角的定义可知， 图中共有对同旁内角，
故答案为：
【变式7－3】如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同位角 D．与是同旁内角
【答案】D
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，同位角、内错角、同旁内角都是两直线被第三条直线所截形成的具有特殊位置关系的角，解决本题的关键是判断这两个角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的．
【详解】解：A选项：与是直线和直线被直线所截形成的同旁内角，故A选项判断正确，不符合题意；
B选项：与是直线和直线被直线所截形成的内错角，故B选项判断正确，不符合题意；
C选项：与是直线和直线被直线所截形成的同位角，故C选项判断正确，不符合题意；
D选项：与不是两直线被第三条直线所截形成的有特殊位置关系的角，故D选项判断错误，符合题意．
故选：D．
【题型8 平行线及其画法】
【例8】在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行和垂直 B．平行和相交
C．垂直和相交 D．平行、垂直和相交
【答案】B
【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，根据在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，
故选：B．
【变式8－1】（24－25七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列图形中，不平行于的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线和相交线．根据平行线和相交线的概念判断即可．
【详解】解：因为选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交，
∴不平行于的是选项D，
故选：D．
【变式8－2】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的定义，结合图形与平行线的定义求解即可．
【详解】解：在正方体中，与棱平行的是，，，
故选D
【变式8－3】（24－25七年级下·吉林·阶段练习）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图．
(1)在图①中，画出垂线段，使得．
(2)在图②中，画出，使得．
(3)在图③中，画出，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据网格图画出图形即可；
（2）根据网格图画出图形即可；
（3）根据网格图画出图形即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图所示，即为所求．
【题型9 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行】
【例9】已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（ ）
A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条
【答案】C
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）．
【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现．
【变式9－1】如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线m平行的，只能是一条，
图中共计4条直线，则与直线m相交的直线至少有3条．
故选：C．
【变式9－2】（24－25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了画垂线和平行线，同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条，据此可得答案．
【详解】解：同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条，
∴，
∴，
故选：B．
【变式9－3】（24－25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ．
【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键．
【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
【题型10 同位角相等，两直线平行】
【例10】（24－25七年级下·福建厦门·期末）如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键．根据平行线的判定解答即可．
【详解】解：依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【变式10－1】（24－25七年级下·河南郑州·阶段练习）下列图形中，由，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定对题目中的各个选项逐一进行判断即可得出答案
【详解】解：对于选项A，
图中的和既不是，被所截的内错角，也不是同位角，
因此不能由判断，
故该选项不符合题意；
对于选项B，
图中的和既不是，被所截的内错角，也不是同位角，
因此不能由判断，
故该选项不符合题意；
对于选项C，
图中的和既不是，被所截的内错角，也不是同位角，
不能由判断，
故该选项不符合题意；
对于选项D，
图中的和是，被直线所截得到的一组同位角，
∴当∠1＝∠2时，可以判断（同位角相等，两直线平行），
故该选项符合题意．
故选：D．
【变式10－2】（24－25七年级下·广西南宁·期中）如图，已知，请完成下面的填空．
解：因为（ ），
（已知），
所以 （等量代换），
所以 （ ，两直线平行）
【答案】对顶角相等；；；；同位角相等
【分析】本题考查的是平行线的判定，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可．
【详解】解：因为（对顶角相等）
（已知），
所以（等量代换），
所以（同位角相等，两直线平行）．
【变式10－3】（24－25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，．
求证：．（请完成下面的证明过程）
证明：∵（已知），
∴______（______），即______．
又（已知），
______（______），
∴（______）．
【答案】；垂线的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【分析】本题考查了垂线的性质、等角的余角相等及平行线的判定，解题的关键是通过垂线定义和已知角的关系推导出同位角（或内错角）相等，进而证明两直线平行．
根据垂线的定义得出，分解该角得到与（即的和为；结合已知，利用等角的余角相等得到；最后根据同位角相等判定两直线平行．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂线的定义），即．
又∵（已知），
∴（等角的余角相等）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案依次为：；垂线的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【题型11 内错角相等，两直线平行】
【例11】（24－25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意；
B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意；
C、由，不能判定，故C不符合题意；
D、由不能判定，故D不符合题意；
故选：B．
【变式11－1】（24－25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行．
【答案】/45度
【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角、同位角相等两直线平行是解题的关键；
由内错角相等，两直线平行，即可得到答案．
【详解】解：,
要使木条，由内错角相等，两直线平行得：
当时，．
故答案为：．
【变式11－2】（25－26八年级上·河南开封·期中）已知：如图，，，，求证：

【答案】见详解
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据三角形内角和定理得，又因为，得出，故，即可证明．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
【变式11－3】如图，已知、分别垂直于，且，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查垂直的定义及平行线的判定，熟练掌握垂直的定义及平行线的判定是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求证．
【详解】证明：∵、分别垂直于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型12 同旁内角互补，两直线平行】
【例12】（24－25七年级下·河南·阶段练习）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论．
【详解】证明：，
，
，
，
平分，
，
，
．
【变式12－1】（25－26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，下列条件无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式12－2】（24－25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，先理解速度和旋转方向，以及与第1次平行，运用同旁内角互补，两直线平行进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设转动时间为时，与第1次平行，
如图所示：
当，则与第1次平行，
依题意，
∴
解得，
故答案为：
【变式12－3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）．
(1)若，求的度数；
(2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
（1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解；
（2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴．
同理：．
∵，
∴．
∴．
【题型13 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行】
【例13】如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由．
【答案】互余，理由见详解
【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质、垂直的定义等知识，根据题意正确添加辅助线是解题关键．作,即可证明，从而得到，根据即可证明与互余．
【详解】解：与互余，理由如下：
如图，作,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即与互余．
【变式13－1】（24－25七年级下·安徽六安·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出护眼灯．其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，垂线，利用，，求出，利用，，得出，结合，求出，即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式13－2】（24－25七年级下·山东德州·阶段练习）如图是某移动硬臂助力机械手示意图，现立柱基座，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成的角的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过作，可得，进而根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
故答案为：．
【变式13－3】已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．
(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P在线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)不成立，，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可；
（2）同（1）即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
过点作，
，
，
，，
，
．
（2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下：
过点作．
，
∴
，
，
，即．
【题型14 两直线平行，同位角相等】
【例14】（25－26九年级上·云南·阶段练习）如图，，直线与直线，分别交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，先根据对顶角相等得，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
故选：B．
【变式14－1】如图，已知，垂直于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线及垂线的性质；两直线平行，同位角相等．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
【变式14－2】（25－26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题的关键．
根据两直线平行，同位角相等，得，，结合和三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴．
故答案为：．
【变式14－3】（24－25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数
【答案】，
【分析】本题主要考查平行线的性质，由，推出，再根据，推出的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补即可推出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型15 两直线平行，内错角相等】
【例15】（25－26八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，交直线b于点C．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的性质，根据垂线的定义得，再结合两直线平行，内错角相等，故，然后列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式15－1】（24－25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
由题意得，推出，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴
故选：C．
【变式15－2】（25－26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．
根据折叠的性质和邻补角的定义求得的度数，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，由折叠的性质知：．
∵，，
∴．
又，
∴．
故答案为：．
【变式15－3】（24－25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据平行线的性质，可知，，从而得证；
（2）先根据，推出，然后利用，求得，接着利用平角，求得，根据（1）可得，最后利用三角形内角和定理求得．
【详解】（1）证明： ，，
，，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
．
【题型16 两直线平行，同旁内角互补】
【例16】（25－26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图是A，B，C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B 岛的北偏东方向．
(1)从B 岛看A，C两岛的视角是多少度？
(2)从C岛看A，B两岛的视角是多少度？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是方向角的知识，熟练掌握方向角的定义、灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据可求出，结合可得出；
（2）根据三角形内角和定理可求出．
【详解】（1）解：根据题意，得，，，．
∴．
，
∴．
（2）解：∵，
，
∴．
【变式16－1】（24－25九年级上·贵州安顺·期末）吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是关键．
根据由平行线的性质逐项判定即可．
【详解】解：A、由推出和是同位角，由两直线平行、同位角相等可知该选项正确，符合题意；
B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意；
C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意；
D、无法判断和关系，故此选项不符合题意．
故选：A．
【变式16－2】（25－26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用两直线平行，同旁内角互补求出的度数．
【详解】解： ，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
故选：C．
【变式16－3】如图，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质得，，根据对顶角相等得，可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
【能力提升】
【题型17 与对顶角有关的计算与证明】
【例17】（25－26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，则 °；
（2）若，则 °．
【答案】 36
【分析】本题考查了对顶角的性质与角的和差计算，解题的关键是利用对顶角相等、角平分线定义及平角性质求解角度．
（1）利用对顶角相等，将角度单位换算后求解；
（2）先根据比例和平角求出，再由角平分线得，最后利用对顶角相等求解．
【详解】（1）解：∵与是对顶角，
∴．
故答案为：．
（2）解：设，
∵，
∴，解得，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式17－1】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求及的度数．
【答案】，
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算、对顶角相等、角平分线的定义，由题意结合对顶角相等可得，从而可得，再求出的度数，最后再由角平分线的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴．
∴，
∴．
∵平分，
∴．
【变式17－2】（24－25七年级下·广东广州·期中）如图，直线与相交于点O，平分，且，射线在内部．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．根据角平分线的定义求出，然后根据邻补角的定义求，由可求解，结合，利用角的和差可求解的度数．
【详解】解：，平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式17－3】如图，直线、相交于点O，，且平分．
(1)【探究发现】若时，则的度数是 ；
(2)【类比延伸】若时，求的度数 ；
(3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明．
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键．
（1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解；
（2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可；
（3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴ ，
又∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
即，
解之得：，
即．
（3）解：猜想：
理由：设
∵
∴
∵
∴
又∵平分，
∴，
∴
∴ ，
则，
解之得，
即．
【题型18 与垂线有关的计算与证明】
【例18】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数．
【答案】，
【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，平角的定义及比例的应用，根据题目中的条件，利用角度比例关系和角平分线的性质，计算出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【变式18－1】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）先根据平角求出，再由角平分线得，最后结合直角，用减去与的关系求出．
（2）仿照（1）的思路，把用表示，重复上述步骤，用含的代数式表示．
【详解】（1）解： 是直线上一点，
平分
；
（2）解： 是直线上一点，
平分
．
【变式18－2】如图，交于点O，平分，且，，求的度数．
【答案】115度
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据垂直得到，平角的定义得到，，，结合平分，进行等量代换求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式18－3】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分．
(1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数．
(2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数．
(3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)的度数是或或或
【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果；
（2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果；
（3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴．
（3）解：①当，在直线的上方时，如图所示：
，
∵平分，
∴，
即．
②当，在直线的下方时，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
即．
③当，在直线的上方时，如图所示：
，
，
∵平分，
∴，
即．
④当，在直线的下方时，如图所示：
∵，
，
∵平分，
∴，
即．
综上分析可知， 或或或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键．
【题型19 利用平行线的判定与性质求角度】
【例19】如图，已知：，．
(1)判断与的大小关系，并说明理由；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果；
（2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
【变式19－1】已知：如图，
(1)和平行吗？为什么？
(2)的度数是多少？为什么？
【答案】(1)和平行，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质为解题关键．
（1）根据对顶角相等得到，再根据等量代换得到，利用同位角相等两直线平行即可得出结论；
（2）根据邻补角求出的度数，再根据两直线平行同位角相等即可求解．
【详解】（1）解：和平行，理由如下：
，，
，
；
（2），
，
，
．
【变式19－2】如图：分别平分
(1)若，求的度数
(2)若，那么吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】此题考查了平行线的判定和性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键．
（1）求出，根据得到，即可得到答案；
（2）证明，根据同位角相等，两直线平行即可得到结论．
【详解】（1）解：∵
∴
∵分别平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2），理由如下：
∵分别平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【变式19－3】如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．
(1)阅读并补充下面推理过程：
解：过A点作，所以______， ______．
又因为，所以．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)如图2，已知，求的度数．
(3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______；
②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)
(2)∠
(3)①；②
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等可得，再由平角的定义可得结论；
（2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质可推出，据此可得答案；
（3）①过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案；
②如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案．
【详解】（1）解：过A点作，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：如图所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
②如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴．
【题型20 利用平行线的判定与性质证明】
【例20】如图，，与相交于点，，，分别平分和．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行线的判定与角平分线的性质，灵活运用平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质得到角的等量关系，再结合角平分线定义推出同位角相等，进而依据同位角相等判定两直线平行．
【详解】解：，
，
，
，
分别平分和，
，，
，
．
【变式20－1】如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：，（_____），（_____），
（_____），_____，
，_____，
（_____），（_____），
，，，（_____）．
【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，先证明，得到，再证明，得到，进而得到，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：，（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
，
，
（垂直的定义）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义．
【变式20－2】（24－25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点．
(1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题：
①，则___________；
②用等式表示、、之间的数量关系，并证明．
(2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系．
【答案】(1)①；②，见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质；
（1）①直接根据平行线的性质求解即可；
②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论；
（2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论．
【详解】（1）解∶①如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为∶45；
②；
理由：过M作，则，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：；
理由：过M作，则，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴．
【变式20－3】（24－25七年级下·海南海口·期中）如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且．
(1)若，求的度数；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
（1）先根据得，再根据可得出答案；
（2）先根据得，再根据得，由此可判定与的位置关系；
（3）根据角平分线的定义设，，则，，再根据得，，，则，，据此可得与之间的数量关系．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：与的位置关系是：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：与之间的数量关系是：，理由如下：
∵平分，平分，
∴设，，
则，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【思维拓展】
【题型21 平行线的性质在生活中的应用】
【例21】（24－25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．
如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下：
(1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________．
(2)如图②，根据小明的思路求和的度数；
(3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由．
【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行
(2)，
(3)对，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键．
（1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解；
（2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解；
（3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解．
【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行；
（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；
（2）解：如图，过点C作，
，
，
，
，
，
,
，
；
，
，
，
，
，
；
（3）解：对，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
,
，
．
【变式21－1】（24－25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵与地面平行，，
∴，
∴，
∴．
【变式21－2】如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．

【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到．
【详解】解：如图：延长到点C，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式21－3】（24－25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程；
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得；
（2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：结论：，
证明：如图，过点F作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点C作，
∴，
∵，
∴，
根据题意可知，，
∴，
∴．
【题型22 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】
【例22】（24－25七年级上·河南周口·期末）综合与实践
如图1，，为直线上的点，和交于点．
(1)若，则的度数是______．
(2)写出之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
（1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可．
（2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可．
（3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：过点E作直线，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．
理由：如图，过点作，
，
，
，
，
即．
（3）解：．理由如下：
由（2）可知，
平分，平分，
，
，
，
∴．
【变式22－1】已知直线，点P为平面内一点，连接与．
(1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
（1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．
【详解】（1）解：如图1，过作，
，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作，
，
，
，，
，
过作，
，
，
，，
，
，
与的角平分线相交于点，
，
；
（3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下：
如图3，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过作，
，
，
，，
，
，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴．
【变式22－2】（24－25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持．
(1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）；
(2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系．
【答案】(1)否
(2)图见解析，，理由见解析
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质与判定．
（1）根据角的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明；
（3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可．
【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧，
∴点P与点Q不共点，
∴和没有公共顶点，
∴和不可能为对顶角，
故答案为：否；
（2）解：补全图形，如图，
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：分以下四种情况：
当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
综上，α与β之间的数量关系为或或．
【变式22－3】已知，，点为射线上一点．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键．
（1）过E作，根据平行线的性质得到，，即可求得.
（2）过E作，根据平行线的性质得到，，即．
【详解】（1）解：过E作，
∵，
∴，
∴，，
∴.
（2）解：．
理由如下：
过E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【题型23 平行线的判定与性质与分类讨论思想的综合运用】
【例23】如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．

(1)将图①中的三角板沿方向平移至图②的位置，与相交于点，求的度数；
(2)将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使，如图③，与相交于点，求的度数；
(3)将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，恰好与平行．
【答案】(1)
(2)
(3)第5或17秒时，恰好与平行
【分析】（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）根据内错角相等，两直线平行判断出，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）作出图形，然后分两种情况求出旋转角，再根据时间旋转角速度计算即可得解．
【详解】（1）在中，；
（2），
，
；
（3）如图1，在上方时，设与相交于，
，
，
在中，
，
旋转角为，
（秒；
在的下方时，设直线与相交于，
，
，
在中，
，
旋转角为，
（秒；
综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于（3）分情况讨论，作出图形更形象直观．
【变式23－1】（24－25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法．
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，过点作，
，
，，
，，，，
，
平分，
，
平分，
，
；
（3）解：如图，过点作，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点逆时针以每秒的速度进行旋转，
∴，
综上，时，第一次与平行，此时．
【变式23－2】（24－25七年级下·广西南宁·期中）【综合与实践】折纸中的数学
【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①－②－③－④)．
（1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°；
（2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】
（3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置．
①用含t的式子表示______；
②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
【答案】 ；
张华的说法正确，理由见解析；
在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行．
【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线判定及性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据折叠的性质和平行线的性质找角之间的关系，根据角之间的关系列方程求解．
根据折叠的性质可知；
根据折叠的性质可知、，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行可得张华的说法正确；
灯射线转动秒后，灯射线开始转动，所以当灯转动秒时，灯转动了秒，根据灯转动的速度和时间可知在灯射线第一次到达之前；
根据灯和灯转动的速度可知：在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，根据灯转动的速度可知灯从转到需要的时间是秒，所以应分三种情况讨论两灯光束平行：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时．
【详解】解：根据折叠的性质可知，
故答案为：；
张华的说法正确，
证明：根据折叠的性质可知，
由可知，
，
；
灯射线转动秒后，灯射线开始转动，
当灯转动秒时，灯转动了秒，
在灯P射线第一次到达之前，，
故答案为：；
解：灯的射线从转到需要的时间是秒，
在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，
灯的射线转动的速度是每秒，
灯从转到需要的时间是秒，
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
∴
，
解得：；
综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行．
【变式23－3】（24－25七年级下·浙江金华·阶段练习）实践与探究：
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度；
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数；
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值．
【答案】(1)105
(2)
(3)20或50或80
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解；
（2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答；
（3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过点作，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：105；
（2）解：如图②，过点作，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：①当且在上方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
②当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
③当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，
由①得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 相交线与平行线 全章题型归纳
【基础巩固】 2
【题型1 相交线】 2
【题型2 对顶角与对顶角相等】 2
【题型3 垂线的画法及相关计算】 3
【题型4 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 4
【题型5 垂线段最短】 5
【题型6 点到直线的距离】 6
【题型7 同位角、内错角、同旁内角】 7
【题型8 平行线及其画法】 8
【题型9 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行】 8
【题型10 同位角相等，两直线平行】 9
【题型11 内错角相等，两直线平行】 10
【题型12 同旁内角互补，两直线平行】 11
【题型13 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行】 12
【题型14 两直线平行，同位角相等】 13
【题型15 两直线平行，内错角相等】 13
【题型16 两直线平行，同旁内角互补】 14
【能力提升】 15
【题型17 与对顶角有关的计算与证明】 15
【题型18 与垂线有关的计算与证明】 16
【题型19 利用平行线的判定与性质求角度】 17
【题型20 利用平行线的判定与性质证明】 18
【思维拓展】 20
【题型21 平行线的性质在生活中的应用】 20
【题型22 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 21
【题型23 平行线的判定与性质与分类讨论思想的综合运用】 22
【基础巩固】
【题型1 相交线】
【例1】（2024·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【变式1-1】同一平面内两条直线若相交，则公共点的个数为 个．
【变式1-2】下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25七年级上·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（ ）个部分．
A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8
【题型2 对顶角与对顶角相等】
【例2】如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（ ）
A． B． C． D．和
【变式2-1】如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对．
【变式2-2】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，若加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， 且， 则 的度数为 ．
【变式2-3】如图，直线相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【题型3 垂线的画法及相关计算】
【例3】（24-25七年级下·吉林白山·期末）如图，直线、相交于点于点O，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数．
【变式3-3】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含的代数式表示）．
【题型4 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】
【例4】（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（ ）
A．垂线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式4-1】如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点，并折出过点且与垂直的直线，能折出这样的直线的条数为( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条
【变式4-2】如图是一张长方形纸片，纸片的一边为，小亮在纸片内部任取一点，并通过折叠折出过点且与垂直的折痕，他发现这样的折痕只能折出一条，理由是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【变式4-3】经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢
【题型5 垂线段最短】
【例5】（24-25七年级下·河南南阳·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ）

A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式5-1】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，小智同学的家在处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理是 ．
【变式5-2】（24-25七年级下·云南红河·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活，我们要学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的思维思考现实世界，学会用数学的语言表达现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．两钉子固定木条 B．建筑工人砌墙
C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直
【变式5-3】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m．
【题型6 点到直线的距离】
【例6】（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
【变式6-1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在探究垂线的性质时，李老师将直角三角尺的一条直角边摆放在钝角的边上，另一条直角边经过顶点，则下列线段的长度能表示点到距离的是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 同位角、内错角、同旁内角】
【例7】如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．和是同位角 B．和是对顶角
C．和是同旁内角 D．和是内错角
【变式7-1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，∠1的同旁内角是 ，∠2的内错角是 ．
【变式7-2】如图，直线被直线所截，与交于点A，则图中共有同旁内角 对．
【变式7-3】如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同位角 D．与是同旁内角
【题型8 平行线及其画法】
【例8】在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行和垂直 B．平行和相交
C．垂直和相交 D．平行、垂直和相交
【变式8-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列图形中，不平行于的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图．
(1)在图①中，画出垂线段，使得．
(2)在图②中，画出，使得．
(3)在图③中，画出，使得．
【题型9 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行】
【例9】已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（ ）
A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条
【变式9-1】如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式9-2】（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
【变式9-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ．
【题型10 同位角相等，两直线平行】
【例10】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ．
【变式10-1】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）下列图形中，由，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，已知，请完成下面的填空．
解：因为（ ），
（已知），
所以 （等量代换），
所以 （ ，两直线平行）
【变式10-3】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，．
求证：．（请完成下面的证明过程）
证明：∵（已知），
∴______（______），即______．
又（已知），
______（______），
∴（______）．
【题型11 内错角相等，两直线平行】
【例11】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　）
A． B． C． D．
【变式11-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行．
【变式11-2】（25-26八年级上·河南开封·期中）已知：如图，，，，求证：

【变式11-3】如图，已知、分别垂直于，且，求证：．
【题型12 同旁内角互补，两直线平行】
【例12】（24-25七年级下·河南·阶段练习）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：．
【变式12-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，下列条件无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-2】（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为 ．
【变式12-3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）．
(1)若，求的度数；
(2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由．
【题型13 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行】
【例13】如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由．
【变式13-1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出护眼灯．其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
【变式13-2】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图是某移动硬臂助力机械手示意图，现立柱基座，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成的角的度数为 ．
【变式13-3】已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．
(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P在线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
【题型14 两直线平行，同位角相等】
【例14】（25-26九年级上·云南·阶段练习）如图，，直线与直线，分别交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】如图，已知，垂直于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ．
【变式14-3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数
【题型15 两直线平行，内错角相等】
【例15】（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，交直线b于点C．若，求的度数．
【变式15-1】（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【变式15-2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则 ．
【变式15-3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【题型16 两直线平行，同旁内角互补】
【例16】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图是A，B，C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B 岛的北偏东方向．
(1)从B 岛看A，C两岛的视角是多少度？
(2)从C岛看A，B两岛的视角是多少度？
【变式16-1】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式16-2】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-3】如图，，，则的度数为 ．
【能力提升】
【题型17 与对顶角有关的计算与证明】
【例17】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，则 °；
（2）若，则 °．
【变式17-1】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求及的度数．
【变式17-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，直线与相交于点O，平分，且，射线在内部．若，求的度数．
【变式17-3】如图，直线、相交于点O，，且平分．
(1)【探究发现】若时，则的度数是 ；
(2)【类比延伸】若时，求的度数 ；
(3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明．
【题型18 与垂线有关的计算与证明】
【例18】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数．
【变式18-1】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含的代数式表示）．
【变式18-2】如图，交于点O，平分，且，，求的度数．
【变式18-3】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分．
(1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数．
(2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数．
(3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
【题型19 利用平行线的判定与性质求角度】
【例19】如图，已知：，．
(1)判断与的大小关系，并说明理由；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
【变式19-1】已知：如图，
(1)和平行吗？为什么？
(2)的度数是多少？为什么？
【变式19-2】如图：分别平分
(1)若，求的度数
(2)若，那么吗？请说明理由．
【变式19-3】如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．
(1)阅读并补充下面推理过程：
解：过A点作，所以______， ______．
又因为，所以．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)如图2，已知，求的度数．
(3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______；
②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示）
【题型20 利用平行线的判定与性质证明】
【例20】如图，，与相交于点，，，分别平分和．试说明：．
【变式20-1】如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：，（_____），（_____），
（_____），_____，
，_____，
（_____），（_____），
，，，（_____）．
【变式20-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点．
(1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题：
①，则___________；
②用等式表示、、之间的数量关系，并证明．
(2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系．
【变式20-3】（24-25七年级下·海南海口·期中）如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且．
(1)若，求的度数；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【思维拓展】
【题型21 平行线的性质在生活中的应用】
【例21】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．
如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下：
(1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________．
(2)如图②，根据小明的思路求和的度数；
(3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由．
【变式21-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数．
【变式21-2】如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．

【变式21-3】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程；
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．
【题型22 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】
【例22】（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践
如图1，，为直线上的点，和交于点．
(1)若，则的度数是______．
(2)写出之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数．
【变式22-1】已知直线，点P为平面内一点，连接与．
(1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由．
【变式22-2】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持．
(1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）；
(2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系．
【变式22-3】已知，，点为射线上一点．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论．
【题型23 平行线的判定与性质与分类讨论思想的综合运用】
【例23】如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．

(1)将图①中的三角板沿方向平移至图②的位置，与相交于点，求的度数；
(2)将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使，如图③，与相交于点，求的度数；
(3)将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，恰好与平行．
【变式23-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数．
【变式23-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【综合与实践】折纸中的数学
【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)．
（1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°；
（2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】
（3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置．
①用含t的式子表示______；
②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
【变式23-3】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）实践与探究：
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度；
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数；
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值．

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