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北师大版数学八年级下册培优精做课件1.2.2等腰三角形的判定与反证法第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1. 掌握等腰三角形的判定定理并学会运用.(重、难点)
2. 理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明.(重点)
3. 通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，发展推理能力，培养分析、归纳问题的能力.
A
B
C
如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
问题：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
两底角相等
(简写成“等边对等角”).
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 “三线合一”).
等腰三角形
边
角
推论
两边相等(定义)
既是性质也是判定
1．在△ABC中，∠A＝∠C，则(　　)
A．AB＝AC B．AB＝BC
C．AC＝BC D．AB＝AC＝BC
B
返回
2．下列三角形中，不是等腰三角形的是(　　)
A
返回
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
B
C
实际模型
C
A
B
数学模型
【回顾导入】
抽象
探究点1：等腰三角形的判定
如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
AB = AC
你能验证你的结论吗？
方法思考：
①作高 AD 可以吗
②作角平分线 AD 呢
③作中线 AD 呢
探究点1：等腰三角形的判定
在 △ABD 与 △ACD 中，
∠B =∠C，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∠1 =∠2，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形
还有别的方法吗？
【证一证】
探究点1：等腰三角形的判定
3．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4，则CD的长为(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
B
返回
4．如图，AB＝10，BC＝8，∠A＝∠ACD，则△BCD的周长是(　　)
A．28
B．26
C．20
D．18
D
返回
等腰三角形的判定定理：
在△ABC 中，
∵∠B =∠C，
应用格式：
∴ AB = AC (等角对等边).
A
C
B
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
【知识要点】
探究点1：等腰三角形的判定
A
B
C
D
2
1
∵∠1 = ∠2 ， ∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2 ， ∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗
探究点1：等腰三角形的判定
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴ AE = DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
探究点1：等腰三角形的判定
【练一练】1. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC.
求证：△ADE 为等腰三角形.
证明：∵ AB = AC，
∴∠B =∠C.
又∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠ADE =∠AED.
∴△ADE 为等腰三角形.
探究点1：等腰三角形的判定
5．(4分)[自贡中考]如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF。求证：AE＝BF。
证明：∵∠ABE＝∠BAF，
∴AC＝BC。
又∵∠ACE＝∠BCF，CE＝CF，
∴△ACE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF。
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6．(4分)[西安长安区期中]如图，BD是等边三角形ABC的中线，E是BC延长线上一点，且BD＝DE，求证：CD＝CE。
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想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为小明这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C，
那么 AB ≠ AC.
A
B
C
探究点2：反证法
C
A
B
如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，
此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等.
假设 AB = AC，那么根据定理“等角对等边”可得∠C =∠B，这与已知条件是∠B≠∠C，
相矛盾，因此 AB ≠ AC.
小明是这样想的：
你能理解他的推理过程吗
探究点2：反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
【知识要点】
探究点2：反证法
用反证法证题的一般步骤
1. 假设： 先假设命题的结论不成立；
2. 归谬： 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出
与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确.
【方法总结】
探究点2：反证法
7．[宝鸡一中月考]用反证法证明“若a＋b≥0，则a，b至少有一个不小于0”时，第一步应假设(　　)
A．a，b都不小于0 B．a，b不都小于0
C．a，b都小于0 D．a，b都大于0
C
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8．已知△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°。下面是用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；
④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°。
这四个步骤正确的顺序是________(填序号)。
③④①②
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例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
探究点2：反证法
证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，
不妨设∠A 和∠B 是直角，∠A＝90°，∠B＝90°.
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
这与三角形的内角和定理矛盾，因此“∠A 和∠B 是直角”的假设不成立．
于是 ∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C＞180°．
探究点2：反证法
【练一练】2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角≤60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，
则　　　　　　　　　　　　　　　.
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
即　　　　　　　　　　.
这与　　　　　　　　　　　矛盾，故假设不成立．
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
△ABC 中没有一个内角小于或等于 60°
∠A > 60°，∠B > 60°，∠C > 60°
∠A +∠B +∠C > 180°
三角形的内角和为 180°
△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°
∠A +∠B +∠C > 60° + 60° + 60° = 180°
等腰三角形的判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推出与已知条件或基本事实、定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立
1. 在△ABC中，∠B＝∠C. 若AC＝4，则AB的
长为(　C　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
C
第2题图　　
2. 如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.
若OD＝3 cm，则CD的长为(　A　)
A. 3 cm B. 4 cm
C. 1.5 cm D. 2 cm
A
3. 把两个全等的含30°角的直角三角板按如图所示
的方式拼在一起，其中等腰三角形有(　D　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
第3题图
D
4. 用反证法证明“等角对等边”，应先假设____
____________________________________________.
某三
角形中的两个角相等，这两个角所对的边不相等　
5. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∠DBC＝36°.
(1)求∠1的度数；∠DBC＝36°.
(1)解：在△ABC中，
∵∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°，
∴∠1＝∠ABC－∠DBC＝36°.
∴BD＝BC.
∵∠1＝∠A＝36°，
∴BD＝AD.
∴BC＝BD＝AD.
(2)求证：BC＝BD＝AD.
(2)证明：在△BCD中，
∵∠2＝180°－∠DBC－∠C＝72°，
∴∠2＝∠C.
9．[教材P18“习题1.2”第12题变式]如图，一艘船上午9时从海岛A出发，以20 n mile/h的速度向正西方向航行，上午11时到达海岛B处，分别从A，B望灯塔C，测得∠DAC＝34°，∠DBC＝68°，则海岛B到灯塔C的距离为________n mile。
40
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10．如图，∠AOB的边OA，OB均为平面反光镜，一束光线从OB上的点C射出，经OA上的点D反射后，反射光线DE恰好与OB平行，已知∠ADE＝∠ODC，OC＝10，则光线CD的长度是(　　)
A．8 B．10
C．15 D．20
B
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11．(8分)如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF。
(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________。
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平行
12．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D与B，C两点不重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E。
(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝________；
点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变
________(填“大”或“小”)；
25°
小
(2)当△ABD≌△DCE时，求∠BAD的度数；
解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°－40°×2＝100°。
∵△ABD≌△DCE，∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA。
又∵∠ADE＝40°，∴∠DAE＝∠DEA＝70°。
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝100°－70°＝30°。
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA＝110°时，请判断△ADE的形状，并证明。
解：当∠BDA＝110°时，△ADE是等腰三角形。
证明如下：∵∠BDA＝110°，∴∠ADC＝70°。
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°。∴∠DAC＝70°。
在△ADE中，∵∠ADE＝40°，∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180°－40°－70°＝70°。∴∠AED＝∠DAE。
∴DA＝DE。∴△ADE是等腰三角形。
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