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北师大版数学八年级下册培优精做课件1.4.1线段的垂直平分线的性质与判定第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题. (重点)
2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法. (难点)
如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O.
你发现了什么
我们把垂直且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线.
A(B)
B
O
A
B
如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗 改变点 P 的位置，结论还成立吗
A
P
B
C
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
你能证明这一结论吗？
探究点1：线段垂直平分线的性质
【证一证】已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，AC = BC，P 是 MN 上的任意一点.
求证：PA = PB．
证明：∵ MN⊥AB，
∴ PA = PB
(全等三角形的对应边相等)．
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
又 AC = BC，PC = PC，
∴∠PCA =∠PCB = 90°．
P
A
B
M
C
N
如果点 P 与点 C 重合，那么结论显然成立.
探究点1：线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
【知识要点】
探究点1：线段垂直平分线的性质
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上的一点，PA＝6，则线段PB的长为(　　)
A．3
B．4
C．6
D．7
C
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2．[达州中考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，
则△BDC的周长为(　　)
A．21 B．14
C．13 D．9
C
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例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
C
探究点1：线段垂直平分线的性质
解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
探究点1：线段垂直平分线的性质
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC等于________。
60°
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4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB。若AB＝4，则DC的长是________。
4
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练一练： 1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
探究点1：线段垂直平分线的性质
它是真命题吗？你能证明吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
逆命题
探究点2：线段垂直平分线的判定
5．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，连接BD。求∠CBD的度数。
解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°。
∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°。
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想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
探究点2：线段垂直平分线的判定
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∵ PA = PB，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
探究点2：线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【知识要点】
探究点2：线段垂直平分线的判定
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
A
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7．[榆林二模]如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　　)
A．4 B．5
C．2 D．6
A
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例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
你还有其他证明方法吗？
C
A
B
O
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 点A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
探究点2：线段垂直平分线的判定
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
C
A
B
O
D
探究点2：线段垂直平分线的判定
8．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在线段________的垂直平分线上。(填“AB”或“AC”)
AC
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试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD.
求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∴ OE 是 CD 的垂直平分线.
探究点2：线段垂直平分线的判定
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
1. 已知PA＝6，当PB＝ 时，点P在线段AB
的垂直平分线上.
2. 如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN
上.若∠ACB＝80°，则∠A的度数为 .
6　
50°　
3. 如图，已知DE⊥BC于E，BE＝CE，
AB＋AC＝15，则△ABD的周长为(　A　)
A. 15 B. 20
C. 25 D. 30
第3题图
A
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分
∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB于D.
求证：BE＋DE＝AC.
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE.
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝90°＝∠C.
在△DEB和△CEB中，
∴△DEB≌△CEB(AAS).
∴DE＝CE.
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE.
∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE.
∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.
9．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：点D在AB的垂直平分线上。
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10．[威海中考]我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是(　　)
A．BO＝DO，AC⊥BD
B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA
D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
D
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11．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC，AB分别交于点M，N，连接BM，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．5
A
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12．[西安铁一中期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，DE垂直平分AB，交BC于点D，交AB于点E，连接AD，FG垂直平分AC，交AD于点F，交AC于点G，连接CF，∠DCF＝20°，则∠BAC的大小为(　　)
A．60° B．70°
C．80° D．90°
C
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13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________。
7
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14．(8分)[西安高新一中期末]如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE2－DC2＝AD2。判断BE与AC的数量关系，并说明理由。
解：BE＝AC。理由如下：如图，连接AE。
∵EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE。
∵D为线段CE的中点，∴ED＝CD。
∵BE2－DC2＝AD2，∴AE2－ED2＝AD2。
∴△AED是直角三角形，且∠ADE＝90°。∴AD⊥BC。
∴AD是线段CE的垂直平分线。
∴AE＝AC。∴BE＝AC。
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