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第19章《二次根式》 章节检测卷
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．计算的结果是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
2．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若，则化简（ ）
A．m B．-m C．n D．-n
5．如果最简二次根式和是同类最简二次根式，那么a，b的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．设+···+，则不超过m的最大整数为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．前三个选项都不对
7．若规定为的整数部分，即，为的小数部分，即，计算的结果为（ ）
A．2 B．5 C． D．
8．将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（ ）
第一行
第二行 2
第三行
……
A． B． C． D．
9．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①；
②比较大小：；
③计算：
④变形：.
以上结论中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．若式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．已知最简二次根式与可以合并，则x的值是 ．
13．化简：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ；
（5） ， ；
（6） ， ．
14．设，其中n为正整数，则 ．
15．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则 ．
16．某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是 ．
17．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ．
18．读取表格中的信息，解决下列问题
… … … …
已知，求 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
20．已知，．
(1)求的值；
(2)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值．
21．你能找到规律吗？
(1)计算：___________；___________；___________；___________；
(2)由（1）的结果猜想：___________；
(3)请按照找到的规律计算：
①；
②
(4)已知：，则___________．（用含的式子表示）
22．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：

(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ；
(3)当时，求的值．
23．【观察规律】
观察下列式子：，，，…，
【类比分析】
（1）按照上述式子的书写格式，再写出两个同类型的式子．
【推理证明】
（2）用含（的正整数）的式子表示上述规律，并给出证明．
【创新应用】
（3）按此规律，若（，为正整数），求的值．
24．阅读与思考
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化，通常把分子、分母同时乘一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．
解：．
(1)化简；
(2)请根据你的猜想，归纳，运用规律计算：．
25.阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题：
(1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解）
(2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解）
26．某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米．
(1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？
(2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵，
又∵，
∴ ，
故选：C．
2．B
解： A、 ，计算错误，不符合题意；
B、 ，计算正确，符合题意；
C、 ，计算错误，不符合题意；
D 、，计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．A
解：，无法再开方，它们是最简二次根式；
，，，中被开方数中含有分母，它们都不是最简二次根式；
则最简二次根式共2个，
故选：A
4．B
解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
5．B
解：由题意知，，
解得．
故选：B．
6．C
解：
，
，
不超过m的最大整数是2026，
故选：C．
7．B
解：∵，
∴，即，
∴，，
∴，
故选：B．
8．D
解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有个数，
则第八行左起第2个数是，
故选：D．
9．C
解：①
，故①错误；
②
，
，
因为，根据分子相同，分母越大分数越小，
所以，即，故②正确；
③
，故③正确；
④
，故④正确．
综上分析可知，正确的有3个．
故选：C．
10．D
解：设，，，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题
11．
解：由二次根式的意义，得，解得．
故答案为．
12．4
∵最简二次根式与可以合并，
∴二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得．
故答案为：4．
13． 12 18
解：（1），，
故答案为：12，；
（2），，
故答案为：，18；
（3），，
故答案为：，；
（4），，
故答案为：，；
（5），，
故答案为：，；
（6），，
故答案为：，．
14．
∵n为正整数，
∴，
∴
故答案为：．
15．15
解：∵，，
，
，
故答案为：15．
16．
解：长方形的面积为
设圆的半径为，则圆的面积为，
由题意可知，即，
，
∴（半径为正数，舍去负根）
故答案为：．
17．
解：
，
故答案为：．
18．7
解：由题意得：，
，
，
归纳类推得：，其中为正整数，
当时，
则，即，
解得，
故答案为：7．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．（1）解：∵，，
∴，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是0，小数部分，
∴，
∴，
∴的值为．
21．（1）解：；；
；；
故答案为：；；；；
（2）由（1）得：；；
猜想：
故答案为：；
（3）解；①；
②；
（4）解：∵，，
∴；
故答案为：．
22．（1）解：∵，
∴，，
∴
，
当时，
原式，
∴小亮的解法是错误的．
故答案为：小亮；
（2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，．
故答案为：当时，；
（3），
∴a-3=-1<0,1-a<0．
原式．
23．解：（1）由题意可得：，．
（2）由题意可得：，
证明：左边，
右边，
∴左边=右边，等式成立；
（3）由规律可知，，
．
24．（1）解：；
（2）解：
．
25．（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，．
∴．
根据海伦公式，得该三角形的面积．
（2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，，
∴，，．
根据秦九韶公式，得该三角形的面积．
26．（1）解：由题意可知喷水池的边长为米，
花坛的边长为米．
所以周长一共是：（米）
答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米；
（2）解：新喷水池的边长为米，
新喷水池的面积为（平方米），
花坛的绿化面积变成（平方米），
答：花坛的绿化面积变成平方米．

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