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第十九章《二次根式》章节检测卷
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．计算：（ ）
A． B． C．3 D．2
2．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
4．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则的值为（ ）．
A． B．5 C． D．
6．若式子在实数范围内有意义，则m的值可能为（ ）
A．2025 B．2023 C． D．2022
7．观察下列等式：
①；
②；
③；
…
化简：（ ）（n为正整数）．
A． B． C． D．
8．张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．按一定规律排列的单项式，，，，…，第（为正整数）个单项式是（ ）
A． B．
C． D．
10．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．化简： ．
12．当时， ．
13．计算 ．
14．若式子有意义，则x的取值范围是 ．
15．化简的结果是
16．已知实数x，y满足，则的小数部分是 ．
17．对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ．
18．小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请利用小明发现的方法，化简 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．计算：
(1) (2)
20．已知二次根式与是同类二次根式，求的值．
21．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)当时，求的值．
22．小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程是正确的．你认为这个化简过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程．
23．在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
例如：化简．
解：由，得，∴，∴原式．
按照上面的解法，试化简：．
24．将化简，如果你能找到两个数m，n，使，且，那么将变成，即变成，从而使得方便化简．
例如：，所以
．
请仿照上例解决下列问题：
(1)化简：
①；
②．
(2)已知，求的值．
25．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空）
(2)已知，，求的值；
(3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）．
26．阅读材料1：
在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小2．
阅读材料2：
我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如：
(1)若为正数，则的最小值为______，此时，______；
(2)若为正数，则的最小值为______，此时，______；
(3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值．
①
②
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵二次根式的除法法则为（，），
∴．
故选：B．
2．C
解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
3．A
解：∵，
又∵
∴
∵
∴的值在3和4之间，
故选：A．
4．A
解：由数轴可知，，且，因此，
故，
∵，
∴ 原式
．
故选：A．
5．C
解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
6．A
解：由题意可知：，
解得：，
故选：A．
7．D
解：．
故选：D．
8．C
解：加法时：，为有理数；
减法时：，为无理数；
乘法时：，为有理数；
除法时：，为无理数；
∴ “”中填“”或“”时，结果为有理数，
故选：．
9．B
解：a＝（ 1）2×1×a1，
＝（ 1）3×2× a2，
＝（ 1）4×3× a3，
＝（ 1）5×4× a4，
…，
第n（n为正整数）为
故选：B．
10．D
解：设图1小长方形卡片的长为，宽为，根据题意得，
则图2中两块阴影部分周长和是
，
故选：D．
二、填空题
11．
解：依题意，，
故答案为：．
12．2024
解：∵，
∴
，
故答案为：．
13．
解：
故答案为：．
14．且
解：由题意得且，
解得：且，
故答案为：且．
15．
解：首先，化简最内层．
设，则，，
解得，，
故．
代入原式，得．
其次，化简．
设，则，，
解得，，
故．
代入，得．
最后，化简．
设，则，，
解得，，
故．
故答案为．
16．
解：由题意可得：，
则，
则，
，
，
则的小整数部分是2，小数部分是，
故答案为：．
17．
解：化简根式：，，，
计算：由于，根据规则，
计算：由于，根据规则，
整体计算：
故答案为：．
18．
解：，
，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：原式=
=20-50
=-30；
（2）解：原式=
=
=
=．
20．解：二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，此时，不符合题意，
或，
解得：， 符合题意，
．
所以的值为1．
21．（1）解：小亮的解法中：，
当时，，
∴小亮的解法是错误的；
故答案为：小亮.
（2）解：由（1）知，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
故答案为：.
（3）解：∵，
∴，，
∴原式
．
22．解：不正确．．
正确的解答过程：．
23．解：隐含条件，
解得：，
∴．
24．（1）（1）①．
②．
（2）∵，
∴，
∴，，
∴．
25．（1）解：由题意知，，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：由题意知，，，
∴，
∴的值为；
（3）解：令，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，整理得，，
∴，
解得，，
经检验，是原方程的解．
26．（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，
∴x为正数，则的最小值为，此时，
解得：或（不符合题意，舍去）；
（2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，
∴x为正数，则的最小值为，此时，
解得：或（不符合题意，舍去）；
（3）①
=
当且仅当时取等号，得
或，即或，
又，
当时取等号，即时，原式有最小值4．
②
=
当且仅当时取等号，得
或，即或，
又，
∴当时取等号，即时，原式有最小值5．

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