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第一章《三角形的证明》章节复习题
一、单选题
1．如图，是 ABC的外角，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 ABC中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
3．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（ ）
A．17 B．18.5 C．20 D．25
4．把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， ABC中，是边的中线，有，垂足为点交于点，且平分交于，交于，连接，则下列结论：
①；②；
③；④；
错误的有（ ）个．
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在直角三角形中，．若，则 ．
7．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是 ．
8．如图，在 ABC中，，，,D是边的中点，在的延长线上取一点E,连接并延长，交边于点F．若，则的长为 ．
9．如图，在 ABC中，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 °．
10．如图，已知等腰 ABC中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到 ADE处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ．
三、解答题
11．如图，在中，， ABC的外角的平分线交的延长线于点E．
(1)求的度数；
(2)过点作，交的延长线于点F，求的度数．
12．如图，在 ABC中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求 ABC的周长．
13．如图，在 ABC中，，点D在线段上运动（点D与B、C不重合），连接，作，交线段于点E．
(1)若求证：；
(2)在点D的运动过程中， ADE的形状也在改变．当 ADE是等腰三角形时，求的度数．
14．在边长为的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
(1)如图1，若，则t的值为___________ ；
(2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形．
(3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“为腰，为底的等腰三角形，且，”，点P在从A向B运动到中点时静止，此时点M，N同时分别在上运动，点M以每秒的速度从点B向C运动，同时点N以每秒的速度从点C向A运动（各点均不再返回），当以B、P、M三点构成的三角形与全等时，求a的值．
15．在 ABC中，为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接．
(1)如图1，当时，则__________；
(2)当时，
①如图2，连接，当时，求的长；
②如图3，直线与交于点F，满足为直线上一动点．当的值最大时，探索与之间的数量关系．
16．几何直观是初中阶段数学核心素养的主要表现之一，也是一种可视化的思维方式． 已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接．
初步感知
（1）如图1，当点在边上时，求的度数．
类比探究
（2）如图2，当点在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段的数量关系，并说明理由．
拓展运用
（3）如图3，当点在边的延长线上时，，求线段的长．
参考答案
一、单选题
1．C
解：是 ABC的外角，
∴，
∵，，
∴；
故选：C．
2．A
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
3．C
解：由作图可知，平分，，
的周长等于
故选：C.
4．D
解：如图，过点A作于F，
在中，，
∴，，
∵两个同样大小的含角的三角尺，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
故选：D．
5．A
解：如图，作交延长线于，
，，平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，，，故②③正确；
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
在 CDM和中，
，
，
，，
，，故①④正确．
故选：．
二、填空题
6．3
解：在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：3．
7．
解：∵，
∴，
∵是外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，即，
故答案为： ．
8．
解：过点F作于点H，
则，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
设，则，，
在Rt FHD中，
，
∵，
∴，
解得，
∴，
则.
故答案为：．
9．15或30或60
解：设，
当点在线段上时，
∵将沿翻折至处，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴当时，，
∴，
∴，
∴不存在；
当时，则，
∴，
∴，
当时，则，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，
由折叠可知，，
∴，
∴是钝角等腰三角形，
∴只能，
∴，
在中，，
∴．
综上，的度数或或．
故答案为：15或30或60．
10．5或或或10
解：∵将沿着折叠到 ADE处，再将边折叠到与重合，折痕为，
∴，
①当时，且点F在边上时，是等腰三角形，如图1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在的延长线上时，是等腰三角形，如图，
由折叠得：，，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在 ABC和中，
，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图2，作，连接，延长交于N，
∵，
∴，
∴，
∵将沿着折叠到 ADE处，再将边折叠到与重合，折痕为，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，且，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
③若，如图3，过点A作于H，延长交于M，
同理可求，
∴，
故答案为：5或或或10．
三、解答题
11．（1）解：∵在中，，
是的平分线，
（2）
12．（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ABC的周长，
即 ABC的周长为．
13．（1）证明：，，，
，
，
；
（2）解：当时，
，
，
；
当时，
，
，
；
；
当时，
，
，
这与三角形的外角大于任何一个不相邻的内角矛盾，不成立；
综上所述，等于或．
14．（1）解：∵边长为的等边三角形，
∴，
如图1，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒，
∴，则，
∴，
解得：，
∴当t的值为3时，，
故答案为：3；
（2）解：①当点Q在边上时，如图2.1，
此时不可能为等边三角形；
②当点Q在边上时，如图2.2，
若为等边三角形，则，
由题意可知，，
∴，
即：，
解得：，
∴当时，为等边三角形；
（3）解：，点P是上一动点，以每秒的速度从点A向点B移动，点从A向B运动到中点时静止，
∴，点运动的时间为，
∵，点M以每秒的速度从点B向C运动，
∴点的运动时间为；
由题意可知：，
∴，
若，则，
∴，
解得，，此时点在线段的中点处，处于静止，
∴，
∴，
解得：，
若，则，
∴，
解得，，此时点在未到线段的中点出，处于运动，
，
解得：，
综上所述：当全等时，a的值为或．
15．（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）①如图2中，
∵点E是线段的垂直平分线的交点，
，
，
，
，
，
，
∴ ADE是等边三角形；
②结论：．
理由：如图3中，作点关于直线的对称点，连接．
当点P在的延长线上时，的值最大，此时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
16．（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：存在的数量关系为．理由：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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