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10.3《实际问题与二元一次方程组》
一、单选题
1．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（ ）
A．1，2 B．2，1 C．2，2 D．
2．习近平总书记说“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，设每尺绫分，每尺绢分（注：1钱＝10分），则可列方程组为 ．
7．某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了 本．
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将暗文发送给接收方，接收方收到暗文后按照某种规则解密为明文．某种加密规则为：，其中，，例如，，当发送方发送的暗文是时，解密得到的明文是 ．
9．沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务．若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂和乙厂每天生产数量共计1620块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，求甲、乙两厂每天分别生产多少块光伏板？设甲厂每天生产块，乙厂每天生产块，根据题意列出的方程组为 ．
10．某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是 ．
参赛者 胜场数 负场数 积分
A 4 1 19
B 3 2 13
C 3 2 13
D 2 3 7
三、解答题
11．甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克．
12．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地．
(1)两人每小时分别行进多少千米？
(2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？
13．根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？
(2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？
14．冬春季节是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元．
(1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格．
(2)若我校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案．
15．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房.
(1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
16．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元．销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元．
(1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？
(2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车（两种汽车都要买），请你帮助该公司设计共有几种购买方案．并通过计算说明哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
17．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表：
队伍 场次 胜 平 负 积分
长沙队 2 0
永州队 3
岳阳队 4
(1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？
(2)求永州队一共胜了多少场？
(3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？
18．综合与实践：根据下面素材，探索完成任务．
背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局．
素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元．
素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元．
解决问题
任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？
任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案．
任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵，，
∴，，
∴，，
即，
解得：．
故选：C．
2．A
解：∵每本甲种书比每本乙种书少5元，设每本甲种书元，每本乙种书元
∴，
又∵购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元
∴
因此可列方程组为．
故选：A．
3．A
解：设甲带了钱，乙带了钱，
∵甲得到乙所有钱的一半后共有50钱，
∴，
∵乙得到甲所有钱的后共有50钱，
∴，
∴方程组为．
故选：A．
4．C
解：42分钟小时，48分钟小时，
∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时，
∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：，
∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时，
∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：，
∴列得方程组为，
故选：C．
5．C
解：设小长方形的长为米，宽为米，
根据题意，得，
解得，
∴布置文化展示区域的面积是，
故选：C．
二、填空题
6．
解：设每尺绫值分，每尺绢值分，根据题意得，
，
故答案为：．
7．2000
解：设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本，
由题意得，，
解得，
即丁种练习本共买了2000本．
故答案为：2000．
8．
解：根据加密规则可得：，
解得：，
故对应的明文为，
故答案为：．
9．
解：设甲厂每天生产块光伏板，乙厂每天生产块光伏板，由题意得：
，
故答案为：．
10．54或78
解：设胜一场得分，负一场得分．
由A（4胜1负积分19）得：
由D（2胜3负积分7）得：
解方程组：，
得，
故胜一场得5分，负一场得分．
设B在18轮后胜场数为，负场数为，则，且（为正偶数）．
代入得，．
为18的正因数，且为偶数，为奇数．
18的正因数有1、2、3、6、9、18．
时，不是偶数；
时，是偶数；
时，不是偶数；
时，是偶数；
时，不是偶数；
时，不是正偶数，故无效．
因此或．
B总积分．
若，则；
若，则．
故答案为：54或78．
三、解答题
11．解：设甲工厂原计划每天加工，乙工厂原计划每天施工，
因为甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，
所以，
又因为甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，
所以，
即，解得：，
答：原计划甲工厂每天加工180kg，乙工厂每天加工．
12．（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米；
（2）解：，
答：相遇后经过刘伟到达A地．
13．（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个，
由题意得：，解得
答：放入的大球为4个，放入的小球为6个．
（2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个，
由题意得：，变形为，
∵为正整数，为奇数，
∴当时，；当时，．
答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球．
14．（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，
由题意可得，
，
解得，
答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元；
（2）解：设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，则由题意可得，
，
整理得，，
当时，，
当时，，
∴方案一：购买10瓶甲消毒液，瓶乙消毒液；
方案二：购买5瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液．
15．（1）解：设该店有客房间，房客有人，
由题意得，，
解得，
答：该店有客房间，房客有人；
（2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱），
若一次性订客房间，需付房费（钱），
∵，
∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算．
16．（1）解：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，根据题意得：
解得，
答：型汽车进价为万元，型汽车进价为万元；
（2）解：设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆，
，整理得
均为正整数，或或
共种购买方案，当时：（万元），
当时：（万元），
当时：（万元），
，故时利润最大（其它作法得第三个方案利润最大也可以）
答：共有种方案，其中购买型汽车辆，B型汽车辆利润最大，最大利润为万元．
17．（1）解：湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），
共比赛：（场），
答：这一次湘超常规赛中一共比了场比赛；
（2）解：设永州队胜场，平场，根据题意得：
解得，
答：永州队一共胜了6场；
（3）解：设岳阳队胜场，平场，根据题意得：
解得，
∵不是整数，故不可能．
18．解：（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，
由题意得：，
解得，
即H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元．
（2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，
得：，
，
∵和24均为偶数，
∴必为偶数，
∴m为正偶数，
解得，
即方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车；
方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车；
方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车．
（3）方案一：（万元），
方案二：（万元），
方案三：（万元）．
，
∴购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元．

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