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第10章《二元一次方程组》--二元一次方程（组）中含参数问题
一、单选题
1．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（ ）
A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0
2．已知是关于x、y的方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
3．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程组的解为，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
5．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个．
A．4 B．5 C．6 D．8
6．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
7．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
8．已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是 ．
9．已知是方程的解，则代数式的值为 ．
10．已知方程组的解为，则的算术平方根是 ．
11．关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为 ．
12．已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ．
13．已知关于的方程组，给出下列说法：
①若方程组的解互为相反数，则；
②若方程组的解也满足，则；
③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解；
④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有 ．（填序号）
14．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”．
（1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则 ， ；
（2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为 ．
三、解答题
15．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值．
16．若关于x，y的方程组．
(1)求方程组的解（用含m的代数式表示）；
(2)若方程组的解满足，，求m的整数解．
17．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的值．
18．我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程．
根据上述规定，回答下列问题．
(1)判断方程_______“最佳”方程（填“是”或“不是”）．
(2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值．
19．已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)如果方程组有整数解，求整数m的值．
20．定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”．
(1)方程的“2阶方程”为： ；
(2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值；
(3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值．
21．我们把关于、的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组．例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组．
(1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则______， ______；
(2)若二元一次方程中、的值满足下列表格：
1 0
0 2
则这个方程的共轭二元一次方程是______；
(3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为______．
(4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请计算的值．
22．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，
已知，，则根据定义可以得到：
(1)_______，_______；
(2)若，求的值；
(3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；
(4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵方程是二元一次方程，
∴的指数，的指数
解，
∴
解，
∴
∴，
故选：B．
2．B
解：∵是关于x、y的方程的解，
∴，
则，
故选：B．
3．C
解：，
由，得，
又，
，
．
故选：C．
4．A
解：∵方程组的解为，
∴
∴得，．
故选：A．
5．D
解：，
得，，
整理得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程组的解为，
∵方程组的解均为整数，
∴的值可为，
∴符合条件的整数的值有个，
故选：D ．
6．A
解：关于、的二元一次方程组的解是，
关于、的二元一次方程组中，
解得：，
故选：A．
7．D
解：，
得：，
∴，
代入②得：，
结论①：当与互为相反数时，，
∴，
∴，正确；
结论②：当时，，，方程，且，正确；
结论③：，为定值，正确；
∴①②③都正确；
故选：D．
二、填空题
8．
解：是关于x，y的二元一次方程，
，且，
，且，
，
故答案为：．
9．
解：∵是方程的解，
∴，
∴代数式．
故答案为 ：．
10．2
解：依题意，将代入，得，
即，
解得，
故，
将，代入，得，
即，
解得，
则，
∴4的算术平方根为2，
故答案为：2．
11．2
解：．
方程组的解互为相反数，
③．
将代入①，得，
解得，
将代入②，得，
解得，
，
．
故答案为：2．
12．9
解：解方程组得
，．
将，代入得．
将，代入得．
∴，
解得 ，
∴ ，其算术平方根．
∵ ，
∴ ，其立方根．
∵ ，
∴ ．
故答案为：．
13．②③④
解：若方程组的解互为相反数，
则，
将代入，
得，
解得：；
将代入，
得，
即；
∴，
解得：，
这与矛盾，
故说法①错误；
方程组，
解得：，
将代入，
得，
即，
解得：，
故说法②正确；
当时，，；
代入，得左边，
且右边，左边=右边，
故说法③正确；
计算，
结果为定值，与无关，
故说法④正确，
故答案为：②③④．
14． 2 1 0或或
解：（1）∵关于、的方程组为“友好方程组”，
∴，
解得，
故答案为：2；1；
（2）解方程组得，
∵关于、的“友好方程组”的解为整数，
∴是整数，
∴或，
解得或或或（舍去），
∴整数的值为0或或，
故答案为：0或或．
三、解答题
15．解：甲看错了方程①中的
满足题中的方程②，
，
解得．
乙看错了方程②中的
满足题中的方程①，
，
解得．
．
16．（1），
②-①得：
解得：，
把代入①得：，
解方程组为；
（2），，
，
解得：，
的整数解是：2，
17．（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解，
联立方程组得，，
得，，解得，
把代入得，，解得，
这两个方程组相同的解为：；
（2）根据题意，把代入方程组，
得，
得，，解得，
把代入得，，解得，
方程组的解为，
．
18．（1）解：方程，其中，，，满足，
故方程是“最佳”方程．
故答案为：是；
（2）解：∵二元一次方程是“最佳”方程，
∴，
解得，
故的值是3．
19．（1）解：方程，
解得：，
当时，；
当，；
即方程的正整数的解为，；
（2）解：联立得，
解得，
代入得：，
解得；
（3）解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
当，1，，，4，时，为整数，此时，，，，2，，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意，
综上所述，整数的值为或2．
20．（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即，
故答案为：；
（2）解：方程的4阶方程为，即，
方程的1阶方程为，即
∵两方程有无数相同的解
∴两个方程可以看作同一个方程，
∴可变形为
∴，
解得；
（3）解：原方程为，其3阶方程为，
∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，
∴将代入和，
则，
由①得，，
由②得，，
∴
将代入
则，
解得
∴
将代入，则
∴，
∴-．
21．（1）解：由定义可得，
，
故答案为：；1．
（2）解：将代入，
得，
解得，
二元一次方程为，
这个方程的共轭二元一次方程是．
故答案为：．
（3）解：，
得，，
得，，
解得，
将代入得，，
方程组得解为，
故答案为：．
（4）解：由定义可得，
，
方程组是共轭方程组，
得，，
，，
，
，
方程组的解是，
，
．
22．（1）解：，
，得
，
∴，
把代入②，得
，
∴，
解得：；
故答案为：1，；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
解得；
（3）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
（4）解：由方程组得：，
∵的解为，
∴，
解得：．

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