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2025-2026学年第二学期九年级数学开学学情检测
　　　　　　　　　　 （满分：120分）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若α，β是方程的两个根，则的值为（ ）
A．7 B． C． D．3
3．如图， AOB中，，将 AOB绕点顺时针旋转，得到，边与边交于点（不在上），则的度数为（ ）．
第3题图 第6题图 第8题图 第9题图
A． B． C． D．
4．近年来，随着环保理念的普及，传统高能耗家电的销量持续走低，商家接连推出降价优惠方案．某品牌的一款节能冰箱今年3月份的售价为4500元，5月份的售价降至3645元．设该款冰箱这两个月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个解
6．如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③直线与轴的交点坐标是．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．函数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，函数图象过点
B．若，函数图象与轴没有交点
C．若，则当时，随的增大而减小
D．若，则当时，随的增大而增大
8．如图，已知内接于，且圆心在上，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交、于、点，再以为圆心，长为半径作弧，交于另一点，连接并延长交于，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知为外一点，连接交于，为的切线，为切点，，，则阴影的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________．
12．若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______．
13．把二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件_____．
14．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
第14题图 第15题图 第16题图 第18题图
九年级数学 第1页，共3页
15．如图，在中，，，，将 ABC绕点C顺时针旋转得到（点A与点对应，点B与对应）．当点A，，在同一直线上时，的长为________．
16．如图，是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，________．
17．某校为推动中小学科学教育，激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．小明从四类科技社团中选择一种参加，选中“机器人”的概率是 _．
18．如图，是正五边形的外接圆，点P为ED 弧上的一点，，则的度数为___ ___．
三、解答题（共66分）
19．（8分）解方程：
(1) (2)
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为，，
(1)（2分）将 ABC绕点顺时针旋转得到，点A、B、
C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；
写出点的坐标是 ；的形状是 ．
（2分）若将 ABC经过平移后得到，点A、B、C平
移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ；
(3)（2分）已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ．
21．（6分）关于的方程有两个不相等的实数根，．
(1)（3分）求的取值范围； (2)（3分）若，求的值．
22．（6分）如图1，在等边 ABC中，是边上的一点，以为边作等边 ABC，将 ABC绕点顺时针方向旋转至如图2所示的位置，连接．
(1)（3分）若，求的度数．
(2)（3分）求证：．
23．（6分）某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
(1)（3分）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)（3分）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)（3分）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？
九年级数学 第2页，共3页
24．（8分）如图，是的直径，点在圆上，．过点作交的延长线于点．
(1)（4分）求证：是的切线；
(2)（4分）若，求的长．
25．（8分）如图，在 ABC中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，过点D作于点F．
(1)（4分）判断与的位置关系，并说明理由；
(2)（4分）若的半径为4，，求阴影部分的面积．
26．（8分）学校为进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目．现有4种体育项目供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．足球，D．跳绳，每名学生只能选择其中一项体育项目．
(1)（4分）若小明在这4种体育项目中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是 ；
(2)（4分）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮随机选到同一种体育项目的概率．
27．（10分）已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、．
(1)（3分）二次函数的对称轴是直线__ ____；（用含m的代数式表示）
(2)（3分）求证：；
(3)（6分）若直线与二次函数的图像交于点A、C．
①求二次函数的表达式；
②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由．
九年级数学 第3页，共3页《九年级数学》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C B B A D C A D
11．
12．11
13．且
14．
15．
16．
17．
18．
19．（1）解：，
∴，
则或，
解得，；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）解：将 ABC绕点顺时针旋转90°得到，
点A、B、C旋转后的对应点分别为，
点的坐标是；
的形状是等腰直角三角形．
；等腰直角三角形．
（2）解：将 ABC经过平移后得到，
点A、B、C平移后的对应点分别为，
则线段和的关系是且．
故答案为：且．
（3）解：∵P为x轴上一点，
∴设，
则，
∵的面积为6，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
当时，
，
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
21．（1）解：由题意得，，
即，
；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，即，
，即，
，
解得或，
由（1）知，，
．
22．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ABC是等边三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵ BDE是等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴在中，设，则，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件，
可得函数关系式为，
每件售价不能高于20元，
，即且为整数，
与的函数关系式为（且为整数）；
（2）解：，
因为，
所以当时，y有最大值640，此时售价为元，
答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元；
（3）解：当时，可得，
解得，
∵且为整数，
∴均不符合自变量的取值范围，
∴不存在符合条件的售价，
答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元．
24．（1）解：连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，作交于点F，
∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
25．（1）解：与相切，理由如下：
连接，如图所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D在上，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
26．（1）解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．足球，D．跳绳，
∴选中“乒乓球”的概率是；
（2）解：画树状图为：
，
由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中小明和小亮随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种，
∴小明和小亮随机选到同一种体育活动的概率是．
27．（1）解：根据二次函数图像轴对称的性质，的对称轴为．
（2）证明：∵二次函数与x轴交于A、B两点，
∴和是一元二次方程的两个根．
由根与系数的关系可得：，，
两式联立可得：，
∴，
∵，
∴，
整理得．
（3）解：①∵点在直线上．
∴，则．
由（2）可得．
故二次函数表达式为：．
②联立直线和二次函数可得：．
解得：或2，
∴，
设点P坐标为．
∴．
整理得：．
解得：或1．
∴点P的坐标或．
③原抛物线沿直线方向平移等同于先沿着x轴向右平移p个单位长度，再沿着y轴向上平移p个单位长度．
对于二次函数：，其顶点式为：．
∴根据平移的性质新的抛物线解析式为，
联立直线可得：，
整理得：．
设，，则，，
由根与系数的关系可得：，．
∴．
∴．
∴
，
∴．
∴在抛物线平移过程中，线段的长度为定值．
答案第2页，共2页
答案第1页，共1页

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