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(共25张PPT)
§19.4.1 海伦—秦九韶公式
第十九章
人教版八年级数学下册
学习目标及重难点
学习目标
学习重难点
1.了解海伦—秦九韶公式；
2.经历由秦九韶公式变形到海伦公式的过程，培养严谨的数学逻辑思维；
学习重点：能根据题目选择海伦公式和秦九韶公式与公式计算三角形面积.
学习难点：秦九韶公式变形到海伦公式的过程.
3.掌握海伦—秦九韶公式的证明方法.
温故知新
问题1：如果已知三角形的三边的长，能够直接通过三角形的边求面积呢？
利用公式 求三角形的面积，需要先知道一条边的长及该边上的高，再利用公式计算.
课本P17
a
c
b
A
B
C
h
理论分析
课本P17
　　分析 　如图 ，已知三条线段 a，b，c（其中任意两条线段的和大
于第三条线段），求作△ABC，使其三边分别为 a，b，c．
C
A
B
a
b
c
三边长确定
全等三角形的判定“边边边”.
三角形的形状大小确定
面积确定
学习新知
课本P17
海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式.
a
c
b
A
B
C
其中a，b，c是△ABC的三边长， p= (p是周长的一半).
海伦公式：
海伦
（Heron，约1世纪，古希腊的几何学家）
注意：公式中a，b，c无特定的顺序.
巩固练习
练习1，在△ABC，BC＝6，AC＝4，AB＝5，用海伦公式求
△ABC的面积.
A
B
C
解：∵BC＝6，AC＝4，AB＝5，
∴p＝(6＋4＋5)÷2＝7.5.
学习新知
课本P17
秦九韶
（约1202-约1261，我国南宋时期的数学家）
秦九韶在他的著作《数书九章》中，记述了“三斜求积术”,即利用三角形的三边求面积的公式.
a
c
b
A
B
C
秦九韶公式：
其中a，b，c是△ABC的三边长.
注意：公式中a，b，c无特定的顺序.
学习新知
巩固练习
练习2 在△ABC，BC＝ ，AC＝ ，AB＝ ，用秦九韶公式求△ABC的面积.
A
B
C
解：∵BC＝ ，AC＝ ，AB＝ ，
∴
问题2：可否用海伦公式计算本题？在使用秦九韶公式和海伦公式时，如何选择才能使得计算更方便？
巩固练习
问题2：可否用海伦公式计算本题？在使用秦九韶公式和海伦公式时，如何选择才能使得计算更方便？
可以，但是不方便.两个公式各有特点，一个含有各边的平方，一个先求半周长.若边长带根号，利用秦九韶公式将边长平方可以简化根式运算；若半周长数据简单，可直接用海伦公式更方便.
学习新知
课本P17
问题3：海伦公式与秦九韶公式都能直接通过三角形的边求面积，那么它们之间有什么联系吗？
a
c
b
A
B
C
秦九韶公式：
a，b，c是△ABC的三边长.
海伦公式：
p= (p是周长的一半).
(去括号和积的乘方逆用)
(平方差公式)
(分式的加减和完全平方公式)
(平方差公式)
(用p表示)
学习新知
课本P17
问题3：海伦公式与秦九韶公式都能直接通过三角形的边求面积，那么它们之间有什么联系吗？
a
c
b
A
B
C
秦九韶公式：
a，b，c是△ABC的三边长.
海伦公式：
p= (p是周长的一半).
通过上面的推导，可以说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，因为我们称 为海伦-秦九韶公式.
学习新知
课本P17
问题4：已知：a，b，c是△ABC的三边长，证明秦九韶公式.
a
c
b
A
B
C
秦九韶公式：
提示：已知Rt△PQM，∠M＝90°，则p ＋q ＝m .
M
P
Q
p
q
m
学习新知
课本P17
问题4：已知：a，b，c是△ABC的三边长，证明秦九韶公式.
秦九韶公式：
a
c
b
A
B
C
图1
证明：如图1，过点A作AD⊥BC于点D.
D
设AD＝h，CD＝x，则BD＝a－x.
由勾股定理，得：
AD ＝AB －BD ＝AC －CD .
∴c －(a－x) ＝b －x .
h
x
a－x
解得x＝ .
∴h ＝b －x ＝
学习新知
课本P17
问题4：已知：a，b，c是△ABC的三边长，证明秦九韶公式.
秦九韶公式：
证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D.
设AD＝h，CD＝x，则BD＝a＋x.
由勾股定理，得：
AD ＝AB －BD ＝AC －CD .
∴c －(a＋x) ＝b －x .
解得x＝ .
∴h ＝b －x ＝
a
c
b
A
B
C
图2
a＋x
x
h
D
∴同理，得
∴当A在BC的左上方时，也可以如此证明.
∴综上所述，证毕.
练习1 海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦-秦九韶公式．
(1)若△ABC的三边长为7，8，9，求△ABC的面积；
(2)若△ABC的三边长为 ， ， ，求△ABC的面积；
(3)如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
CD＝ ，AD＝ ，求该四边形ABCD的面积．
巩固练习
解：
巩固练习
练习2 如图①，在△ABC中，BC＝7，AB＝4，AC＝5.
(1)△ABC的面积；
(2)设BC边上的高为h，求h的值；
(3)如图②，BD、CE分别为△ABC的两条角平线，
它们的交点为I，则△BIC的面积为_______.
A
B
C
图①
A
B
C
I
E
D
图②
解：
拓展新知
在平面几何中，婆罗门笈多公式以7世纪印度数学家(Brahmagupta)命名，用于计算任意圆内接四边形的面积，只需已知四边形的四条边a，b，c，d的长.
A
a
B
C
D
b
c
d
p= . (p是周长的一半).
课堂小结
学习新知
《数书九章》第五卷问:“沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何.”
《数书九章》中给出的方法——术曰：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”
小斜一十三里
中斜一十四里
大斜一十五里
A
B
C
新知拓展
秦九韶算法，又称秦九韶程序、霍纳法则（Horner's Method），是中国南宋时期数学家秦九韶于1247年提出的一种用于求解一元次多项式值的简化算法.该算法的核心思想是将高次多项式的求值问题转化为一系列的一次多项式求值问题，从而显著减少了乘法运算的次数，将原本需要O(n )次乘法运算的复杂度降低至O(n).
a
b
c
三、海伦-秦九韶公式拓展
如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，如果 ，那么三角形的面积为
新知拓展
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