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广东省深圳市红岭中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷
1．（2025九上·深圳月考）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．
故答案为A．
【分析】本题考查几何体三视图的识别能力，主视图是从物体正前方观察所得到的平面图形，这是区分主视图与俯视图、左视图的核心依据。解题时需结合云纹青铜大铙示意图的外形特征，判断四个选项中哪个图形符合从主视方向观察的结果，排除从上方、左侧等其他视角得到的选项B、C、D，即可确定正确答案。
2．（2025九上·深圳月考）一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B．
C． D．．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即，
故选：A．
【分析】根据题意配方，进而即可求解。
3．（2025九上·深圳月考）如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（　　）
A． B． C．平分 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查菱形的判定定理与平行四边形的性质综合运用。菱形的判定需基于平行四边形的基础，解题时结合平行四边形对边平行且相等的性质，逐一分析添加的条件，利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这两个核心判定定理，同时结合角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导邻边相等，以此判断各条件能否判定菱形。
4．（2025九上·深圳月考）如图，与是位似图形，点是位似中心，相似比为．若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似比为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2．
故答案为：B．
【分析】本题考查位似变换的核心性质，位似图形本质是特殊的相似图形，其相似比等于对应顶点到位似中心的距离比。已知两三角形位似比为，即，且位似中心为，可得对应边 ，进而推出 ，相似比与位似比一致为。根据相似三角形对应边成比例的性质，有 ，将代入该比例式，即可计算出的长度。
5．（2025九上·深圳月考）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
6．（2025九上·深圳月考）关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为
C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意；
B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意；
C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意；
D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次函数的图象即可判断A，根据二次函数与坐标轴的交点即可判断B，根据顶点式的性质即可得到顶点坐标，从而判定C；根据二次函数的图象结合增减性即可判断D。
7．（2025九上·深圳月考）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由于一次函数和二次函数的图象都经过点，故此选项不符合题意；
B、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，故此选项不符合题意；
C、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，且图象都经过点，故此选项符合题意；
D、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向下，故此选项不符合题意；
故选：C
【分析】根据二次函数和一次函数都经过一个点即可判断A，进而根据一次函数与二次函数的图象与性质即可求解。
8．（2025九上·深圳月考）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（　　）（参考数据：，，）
A．米 B．米 C．56米 D．66米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，，
斜坡的坡度为，
，
设米，则米，
在中，米，由勾股定理得，
，
即，
解得，
（米，（米，
斜坡的坡度为，
设米，则米，
，
米，
米，
在中，米，米，
，
，
解得，
（米，（米，
（米，
（米，
答：基站塔的高为米．
故答案为：B．
【分析】本题考查解直角三角形在仰角、坡度问题中的综合应用，需通过作辅助线构造直角三角形，结合坡度、仰角的定义及三角函数值求解。首先延长与水平线交于，过作、，形成多个直角三角形；根据坡度（垂直高度与水平宽度的比），设、，利用勾股定理结合，求出，得到米、米；再设、，由可知，进而表示出；在中，利用建立方程，求解后，通过计算出塔高。
9．（2025九上·深圳月考）若， 则 =　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】将 变形，把 代入即可求解.
10．（2025九上·深圳月考）在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为　 　．
【答案】12
【知识点】解分式方程；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设盒子中大约有白球x个，根据题意得：
解得：
经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【分析】设盒子中大约有白球x个，根据题意列出分式方程，进而解方程，再检验即可求解。
11．（2025九上·深圳月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】求余弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：过点A作交的延长线于点M，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴，，
在中，．
故答案为：
【分析】本题考查锐角三角函数的定义与勾股定理的结合应用，求角的余弦值需先构造以该角为锐角的直角三角形。过点作交的延长线于，利用网格特点（小正方形边长为1），通过勾股定理分别计算直角三角形的邻边和斜边的长度：，；再根据余弦的定义将数值代入并化简，得到的结果。
12．（2025九上·深圳月考）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OB于E，
∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，CE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数的图象上，
∴＝，得k＝﹣，
即，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及解直角三角形。首先根据菱形的对边相等、对角相等的性质，得到，；通过作垂线构造直角三角形，利用含角的直角三角形的性质求出直角边的长度，确定点的坐标；最后将点的坐标代入反比例函数解析式，求出的值，得到函数解析式。
13．（2025九上·深圳月考）如图，菱形边长为4，，点在线段上，射线绕点A逆时针旋转与射线于点，与线段交于点，且，则线段　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作于点，过点A作垂直射线于点，
四边形为菱形，
，．
．
，即，解得：．
，，
∴，
∴，，
，．
．
在中，，
．
设，在中，，
，
．
在中，，
．
又，
，即．
∵
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式的综合应用。首先利用菱形对边平行的性质判定，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度；通过作垂线构造直角三角形，解直角三角形求出、的长度，结合线段和差求出，再用勾股定理求出的长度并计算；设未知数表示出和中的相关线段，结合的长度列方程求出未知数，最后利用三角形面积的两种表示方法求出的长度。
14．（2025九上·深圳月考）计算：
（1）．
（2）用公式法解方程：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】零指数幂；公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)本题考察实数的综合运算，涉及算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值的计算规则。先分别计算各项：（算术平方根的定义），（特殊角的正弦值），（任何非零数的零次幂为1），（绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数），再按照从左到右的顺序进行加减运算，合并同类项后得到结果。
(2)本题考察公式法解一元二次方程，核心是掌握求根公式的应用条件和步骤。首先确定方程中、、，计算判别式，确认方程有两个不相等的实数根；再代入求根公式，将数值代入并化简，得到方程的两个根。
（1）解：原式
；
（2）解：，，，
∴，
∴，
∴，．
15．（2025九上·深圳月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
（1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的；
（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出；
（3）的面积为______．
【答案】（1）解：如图所示，即为所作图形．
（2）解：如图所示，即为所作图形．
（3）22
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：的面积为．
【分析】(1)本题考察关于轴对称的图形画法，关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。分别求出、、关于轴的对称点、、，再顺次连接这三个点，即可得到。
(2)本题考察位似图形的画法，以原点为位似中心，放大2倍时，各顶点的坐标需乘以位似比的绝对值（此处选择乘以，得到在第四象限的位似图形）。计算得、、，顺次连接各点，得到。
(3)本题考察位似图形的面积计算，采用割补法更简便。将置于一个长为8、宽为6的长方形内，长方形面积为；再减去周围三个直角三角形的面积：、、，用长方形面积减去三个三角形面积，得到的面积为。
（1）解：如图所示，即为所作图形．
（2）解：如图所示，即为所作图形．
（3）解：的面积为．
16．（2025九上·深圳月考）国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对、、、四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图；
（2）若某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有_____；
（3）旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率．
【答案】（1）600人，
（2）3200人
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3
男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3
女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3
女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2
那么一共有20种等可能的情况，其中抽到一男一女的情况有12种，那么获得此次纪念品的是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次参加抽样调查的游客有：（人），
则B景点的人数为：（人），
∴C景点的人数为：（人），
故答案为：600人，
补全条形统计图如下：
（2）解：某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有：（人）
故答案为：3200人；
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用、用样本估计总体以及古典概型的概率计算。
(1)根据扇形统计图中D景点的人数和所占百分比，用“部分量÷百分比=总量”求出抽样调查的总人数，再分别计算B、C景点的人数，补全条形统计图；
(2)用总游客数乘以扇形统计图中D景点的所占百分比，即可估计出选择D景点的人数；
(3)用列表法列出所有可能的抽取结果，数出一男一女的结果数，根据概率公式计算概率。
（1）解：本次参加抽样调查的游客有：（人），
则B景点的人数为：（人），
∴C景点的人数为：（人），
故答案为：600人，
补全条形统计图如下：
（2）解：某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有：（人）
故答案为：3200人；
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1
男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3
男2 男2，男1
男2，女1 男2，女2 男2，女3
女1 女1，男1 女1，男2
女1，女2 女1，女3
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
女2，女3
女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2
那么一共有20种等可能的情况，其中抽到一男一女的情况有12种，那么获得此次纪念品的是一男一女的概率为．
17．（2025九上·深圳月考）已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵是的中点，∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
，
∴四边形是平行四边形，
∴
，
是中线，
，
，
，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积．
∵
∴
∴
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】(1)本题考察菱形的判定，需先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等。首先由是中点得，结合、，用证明，得出、；再由、是中线，根据直角三角形斜边中线性质得，进而推出且，证明四边形是平行四边形，又因，故平行四边形是菱形。
(2)本题考察平行四边形的性质与菱形的面积计算，由且，得出四边形是平行四边形，因此；由菱形性质得，故，用勾股定理求出；菱形的面积为；又因，可得，故的面积为24。
（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
，
∴四边形是平行四边形，
∴
，
是中线，
，
，
，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积．
∵
∴
∴
∴
18．（2025九上·深圳月考）在九年级学生即将毕业之际，某商店购进了一批成本为4元/本的毕业纪念册，当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售出40本，为了扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本．
（1）商家要想平均每周盈利300元，每本纪念册应该降价多少元；
（2）商家要想获得最大收益，每本纪念册应该降价多少元？最大收益是多少元？
【答案】（1）解：设每本纪念册应降价元，商家平均每周盈利300元，根据题意，得，
整理，得，
解得，．
∵商家扩大销售量，减少库存，
∴应略去，
∴，
答：每本纪念册应降价3元；
每本纪念册应该降价3元
（2）解：设每本纪念册应降价元，商家获得收益最大为元，
根据题意，得．
所以，当时，商家获得收益最大，最大收益是320元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考察一元二次方程在盈利问题中的应用，关键是建立盈利与降价幅度的函数关系。设每本降价元，每本利润为元，每周销量为本，根据“盈利=每本利润×销量”，列出方程，整理得，解得、；结合“扩大销售量、减少库存”的要求，选择较大的降价幅度元。
(2)本题考察二次函数的最值问题，需将收益表示为二次函数并转化为顶点式。设每本降价元，收益为元，则，转化为顶点式；因二次项系数，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，故当时，最大收益为320元。
（1）解：设每本纪念册应降价元，商家平均每周盈利300元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
∵商家扩大销售量，减少库存，
∴应略去，
∴，
答：每本纪念册应降价3元；
（2）解：设每本纪念册应降价元，商家获得收益最大为元，
根据题意，得．
所以，当时，商家获得收益最大，最大收益是320元．
19．（2025九上·深圳月考）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】（1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______；
【深入探究】（2）若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______；
【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．若y关于x的函数表达式为，回答下列问题：
①在图2的平面直角坐标系中画出函数图象；
列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整．
x … 3 4 5 6 7 8 …
y … 6 4 　 　 …
描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
②观察图象可知该图象可由函数______的图象向上平移______单位长度，再向______平移2个单位长度得到；
③对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）不是，4；
（2）18；
（3）①列表如下，
如图所示：
②，2，右；
③，
，
对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为．
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（1），
点不是“美好点”，
点是第一象限内的一个“美好点”，
，
解得：，
故答案为：不是，4；
（2）是“美好点”，
，
解得：，
，
将代入双曲线，
得，
故答案为：18；
（3）②该图象可由向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，
故答案为：，2，右；
【分析】(1)本题考察“美好点”的定义应用，矩形周长为，面积为，两者数值相等即为“美好点”。对于点，，，，故不是“美好点”；对于点，由定义得，解方程得。
(2)本题考察“美好点”与反比例函数的结合，由“美好点”定义得，解得，故；将代入双曲线，得。
(3)①本题考察函数图象的绘制，根据函数表达式，代入得，代入得，补全表格后描点连线即可；②本题考察函数图象的平移规律，对比与，根据“左加右减、上加下减”，可知图象由向上平移2个单位、向右平移2个单位得到；③本题考察代数式的定值判断，将代入，化简得，故为定值。
20．（2025九上·深圳月考）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）
∴，
∵△ABC旋转得△EBD，
∴，
∴
又，
，
∴；
（2）如图2， 延长交于，连接交于，如图所示：
由（1）知：，
∴，
∵是中线，，
∴，
∴，
∴AH//BC，
∴，
∴FH=FA=CF=BF，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
，
，
，，
∴，
，
在Rt△EHM中，
解得，
；
（3）∵△ADE是以AE为直角边的直角三角形，
∴①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，过点作于，过点作于，如图所示：
，
∴四边形是矩形，
，
∵AB=BE，BQ⊥AE，
∴EQ=AQ=PQ，设AQ=m，
∴，
∵，
∴，
又∵∠EAD=∠BPD，
∴，
，即，
∴
∴Rt△ADE中，，
解得：(负值舍)，
；
②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°，过点B作BG⊥AE于点Q，如图所示：
∵∠BDE=∠AED=∠BQE=90°，
∴四边形BDEQ是矩形，
∴QE=BD=6.
∵BE=BA，BQ⊥AE，
∴AQ=QE=6.
∴AE=12.
∴在Rt△EHM中，.
综上，的长是或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）勾股定理计算得BE的长，再证明，即可解答；
（2）延长交于点，连接交于，证明四边形为矩形，设，先根据相似得，再利用AAS证明，可得，最后在Rt△EHM中利用勾股定理列方程，求出x的值，即可解答；
（3）分①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°两种情况进行讨论；①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，过点作于，过点作于，证明，得，设PD=m，证明EQ=AQ，表示出AD，再利用勾股定理，即可解答；②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°，过点B作BG⊥AE于点Q，证明AQ=QE=BD，再利用勾股定理即可解答.
1 / 1广东省深圳市红岭中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷
1．（2025九上·深圳月考）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·深圳月考）一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B．
C． D．．
3．（2025九上·深圳月考）如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（　　）
A． B． C．平分 D．
4．（2025九上·深圳月考）如图，与是位似图形，点是位似中心，相似比为．若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025九上·深圳月考）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·深圳月考）关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为
C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小
7．（2025九上·深圳月考）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·深圳月考）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（　　）（参考数据：，，）
A．米 B．米 C．56米 D．66米
9．（2025九上·深圳月考）若， 则 =　 　．
10．（2025九上·深圳月考）在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为　 　．
11．（2025九上·深圳月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为　 　．
12．（2025九上·深圳月考）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为　 　．
13．（2025九上·深圳月考）如图，菱形边长为4，，点在线段上，射线绕点A逆时针旋转与射线于点，与线段交于点，且，则线段　 　．
14．（2025九上·深圳月考）计算：
（1）．
（2）用公式法解方程：．
15．（2025九上·深圳月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
（1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的；
（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出；
（3）的面积为______．
16．（2025九上·深圳月考）国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对、、、四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图；
（2）若某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有_____；
（3）旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率．
17．（2025九上·深圳月考）已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
18．（2025九上·深圳月考）在九年级学生即将毕业之际，某商店购进了一批成本为4元/本的毕业纪念册，当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售出40本，为了扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本．
（1）商家要想平均每周盈利300元，每本纪念册应该降价多少元；
（2）商家要想获得最大收益，每本纪念册应该降价多少元？最大收益是多少元？
19．（2025九上·深圳月考）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】（1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______；
【深入探究】（2）若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______；
【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．若y关于x的函数表达式为，回答下列问题：
①在图2的平面直角坐标系中画出函数图象；
列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整．
x … 3 4 5 6 7 8 …
y … 6 4 　 　 …
描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
②观察图象可知该图象可由函数______的图象向上平移______单位长度，再向______平移2个单位长度得到；
③对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
20．（2025九上·深圳月考）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．
故答案为A．
【分析】本题考查几何体三视图的识别能力，主视图是从物体正前方观察所得到的平面图形，这是区分主视图与俯视图、左视图的核心依据。解题时需结合云纹青铜大铙示意图的外形特征，判断四个选项中哪个图形符合从主视方向观察的结果，排除从上方、左侧等其他视角得到的选项B、C、D，即可确定正确答案。
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即，
故选：A．
【分析】根据题意配方，进而即可求解。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查菱形的判定定理与平行四边形的性质综合运用。菱形的判定需基于平行四边形的基础，解题时结合平行四边形对边平行且相等的性质，逐一分析添加的条件，利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这两个核心判定定理，同时结合角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导邻边相等，以此判断各条件能否判定菱形。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似比为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2．
故答案为：B．
【分析】本题考查位似变换的核心性质，位似图形本质是特殊的相似图形，其相似比等于对应顶点到位似中心的距离比。已知两三角形位似比为，即，且位似中心为，可得对应边 ，进而推出 ，相似比与位似比一致为。根据相似三角形对应边成比例的性质，有 ，将代入该比例式，即可计算出的长度。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意；
B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意；
C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意；
D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次函数的图象即可判断A，根据二次函数与坐标轴的交点即可判断B，根据顶点式的性质即可得到顶点坐标，从而判定C；根据二次函数的图象结合增减性即可判断D。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由于一次函数和二次函数的图象都经过点，故此选项不符合题意；
B、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，故此选项不符合题意；
C、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，且图象都经过点，故此选项符合题意；
D、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向下，故此选项不符合题意；
故选：C
【分析】根据二次函数和一次函数都经过一个点即可判断A，进而根据一次函数与二次函数的图象与性质即可求解。
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，，
斜坡的坡度为，
，
设米，则米，
在中，米，由勾股定理得，
，
即，
解得，
（米，（米，
斜坡的坡度为，
设米，则米，
，
米，
米，
在中，米，米，
，
，
解得，
（米，（米，
（米，
（米，
答：基站塔的高为米．
故答案为：B．
【分析】本题考查解直角三角形在仰角、坡度问题中的综合应用，需通过作辅助线构造直角三角形，结合坡度、仰角的定义及三角函数值求解。首先延长与水平线交于，过作、，形成多个直角三角形；根据坡度（垂直高度与水平宽度的比），设、，利用勾股定理结合，求出，得到米、米；再设、，由可知，进而表示出；在中，利用建立方程，求解后，通过计算出塔高。
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】将 变形，把 代入即可求解.
10．【答案】12
【知识点】解分式方程；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设盒子中大约有白球x个，根据题意得：
解得：
经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【分析】设盒子中大约有白球x个，根据题意列出分式方程，进而解方程，再检验即可求解。
11．【答案】
【知识点】求余弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：过点A作交的延长线于点M，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴，，
在中，．
故答案为：
【分析】本题考查锐角三角函数的定义与勾股定理的结合应用，求角的余弦值需先构造以该角为锐角的直角三角形。过点作交的延长线于，利用网格特点（小正方形边长为1），通过勾股定理分别计算直角三角形的邻边和斜边的长度：，；再根据余弦的定义将数值代入并化简，得到的结果。
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OB于E，
∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，CE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数的图象上，
∴＝，得k＝﹣，
即，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及解直角三角形。首先根据菱形的对边相等、对角相等的性质，得到，；通过作垂线构造直角三角形，利用含角的直角三角形的性质求出直角边的长度，确定点的坐标；最后将点的坐标代入反比例函数解析式，求出的值，得到函数解析式。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作于点，过点A作垂直射线于点，
四边形为菱形，
，．
．
，即，解得：．
，，
∴，
∴，，
，．
．
在中，，
．
设，在中，，
，
．
在中，，
．
又，
，即．
∵
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式的综合应用。首先利用菱形对边平行的性质判定，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度；通过作垂线构造直角三角形，解直角三角形求出、的长度，结合线段和差求出，再用勾股定理求出的长度并计算；设未知数表示出和中的相关线段，结合的长度列方程求出未知数，最后利用三角形面积的两种表示方法求出的长度。
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】零指数幂；公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)本题考察实数的综合运算，涉及算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值的计算规则。先分别计算各项：（算术平方根的定义），（特殊角的正弦值），（任何非零数的零次幂为1），（绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数），再按照从左到右的顺序进行加减运算，合并同类项后得到结果。
(2)本题考察公式法解一元二次方程，核心是掌握求根公式的应用条件和步骤。首先确定方程中、、，计算判别式，确认方程有两个不相等的实数根；再代入求根公式，将数值代入并化简，得到方程的两个根。
（1）解：原式
；
（2）解：，，，
∴，
∴，
∴，．
15．【答案】（1）解：如图所示，即为所作图形．
（2）解：如图所示，即为所作图形．
（3）22
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：的面积为．
【分析】(1)本题考察关于轴对称的图形画法，关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。分别求出、、关于轴的对称点、、，再顺次连接这三个点，即可得到。
(2)本题考察位似图形的画法，以原点为位似中心，放大2倍时，各顶点的坐标需乘以位似比的绝对值（此处选择乘以，得到在第四象限的位似图形）。计算得、、，顺次连接各点，得到。
(3)本题考察位似图形的面积计算，采用割补法更简便。将置于一个长为8、宽为6的长方形内，长方形面积为；再减去周围三个直角三角形的面积：、、，用长方形面积减去三个三角形面积，得到的面积为。
（1）解：如图所示，即为所作图形．
（2）解：如图所示，即为所作图形．
（3）解：的面积为．
16．【答案】（1）600人，
（2）3200人
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3
男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3
女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3
女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2
那么一共有20种等可能的情况，其中抽到一男一女的情况有12种，那么获得此次纪念品的是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次参加抽样调查的游客有：（人），
则B景点的人数为：（人），
∴C景点的人数为：（人），
故答案为：600人，
补全条形统计图如下：
（2）解：某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有：（人）
故答案为：3200人；
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用、用样本估计总体以及古典概型的概率计算。
(1)根据扇形统计图中D景点的人数和所占百分比，用“部分量÷百分比=总量”求出抽样调查的总人数，再分别计算B、C景点的人数，补全条形统计图；
(2)用总游客数乘以扇形统计图中D景点的所占百分比，即可估计出选择D景点的人数；
(3)用列表法列出所有可能的抽取结果，数出一男一女的结果数，根据概率公式计算概率。
（1）解：本次参加抽样调查的游客有：（人），
则B景点的人数为：（人），
∴C景点的人数为：（人），
故答案为：600人，
补全条形统计图如下：
（2）解：某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有：（人）
故答案为：3200人；
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1
男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3
男2 男2，男1
男2，女1 男2，女2 男2，女3
女1 女1，男1 女1，男2
女1，女2 女1，女3
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
女2，女3
女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2
那么一共有20种等可能的情况，其中抽到一男一女的情况有12种，那么获得此次纪念品的是一男一女的概率为．
17．【答案】（1）证明：∵是的中点，∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
，
∴四边形是平行四边形，
∴
，
是中线，
，
，
，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积．
∵
∴
∴
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】(1)本题考察菱形的判定，需先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等。首先由是中点得，结合、，用证明，得出、；再由、是中线，根据直角三角形斜边中线性质得，进而推出且，证明四边形是平行四边形，又因，故平行四边形是菱形。
(2)本题考察平行四边形的性质与菱形的面积计算，由且，得出四边形是平行四边形，因此；由菱形性质得，故，用勾股定理求出；菱形的面积为；又因，可得，故的面积为24。
（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
，
∴四边形是平行四边形，
∴
，
是中线，
，
，
，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积．
∵
∴
∴
∴
18．【答案】（1）解：设每本纪念册应降价元，商家平均每周盈利300元，根据题意，得，
整理，得，
解得，．
∵商家扩大销售量，减少库存，
∴应略去，
∴，
答：每本纪念册应降价3元；
每本纪念册应该降价3元
（2）解：设每本纪念册应降价元，商家获得收益最大为元，
根据题意，得．
所以，当时，商家获得收益最大，最大收益是320元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考察一元二次方程在盈利问题中的应用，关键是建立盈利与降价幅度的函数关系。设每本降价元，每本利润为元，每周销量为本，根据“盈利=每本利润×销量”，列出方程，整理得，解得、；结合“扩大销售量、减少库存”的要求，选择较大的降价幅度元。
(2)本题考察二次函数的最值问题，需将收益表示为二次函数并转化为顶点式。设每本降价元，收益为元，则，转化为顶点式；因二次项系数，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，故当时，最大收益为320元。
（1）解：设每本纪念册应降价元，商家平均每周盈利300元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
∵商家扩大销售量，减少库存，
∴应略去，
∴，
答：每本纪念册应降价3元；
（2）解：设每本纪念册应降价元，商家获得收益最大为元，
根据题意，得．
所以，当时，商家获得收益最大，最大收益是320元．
19．【答案】（1）不是，4；
（2）18；
（3）①列表如下，
如图所示：
②，2，右；
③，
，
对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为．
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（1），
点不是“美好点”，
点是第一象限内的一个“美好点”，
，
解得：，
故答案为：不是，4；
（2）是“美好点”，
，
解得：，
，
将代入双曲线，
得，
故答案为：18；
（3）②该图象可由向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，
故答案为：，2，右；
【分析】(1)本题考察“美好点”的定义应用，矩形周长为，面积为，两者数值相等即为“美好点”。对于点，，，，故不是“美好点”；对于点，由定义得，解方程得。
(2)本题考察“美好点”与反比例函数的结合，由“美好点”定义得，解得，故；将代入双曲线，得。
(3)①本题考察函数图象的绘制，根据函数表达式，代入得，代入得，补全表格后描点连线即可；②本题考察函数图象的平移规律，对比与，根据“左加右减、上加下减”，可知图象由向上平移2个单位、向右平移2个单位得到；③本题考察代数式的定值判断，将代入，化简得，故为定值。
20．【答案】解：（1）
∴，
∵△ABC旋转得△EBD，
∴，
∴
又，
，
∴；
（2）如图2， 延长交于，连接交于，如图所示：
由（1）知：，
∴，
∵是中线，，
∴，
∴，
∴AH//BC，
∴，
∴FH=FA=CF=BF，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
，
，
，，
∴，
，
在Rt△EHM中，
解得，
；
（3）∵△ADE是以AE为直角边的直角三角形，
∴①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，过点作于，过点作于，如图所示：
，
∴四边形是矩形，
，
∵AB=BE，BQ⊥AE，
∴EQ=AQ=PQ，设AQ=m，
∴，
∵，
∴，
又∵∠EAD=∠BPD，
∴，
，即，
∴
∴Rt△ADE中，，
解得：(负值舍)，
；
②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°，过点B作BG⊥AE于点Q，如图所示：
∵∠BDE=∠AED=∠BQE=90°，
∴四边形BDEQ是矩形，
∴QE=BD=6.
∵BE=BA，BQ⊥AE，
∴AQ=QE=6.
∴AE=12.
∴在Rt△EHM中，.
综上，的长是或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）勾股定理计算得BE的长，再证明，即可解答；
（2）延长交于点，连接交于，证明四边形为矩形，设，先根据相似得，再利用AAS证明，可得，最后在Rt△EHM中利用勾股定理列方程，求出x的值，即可解答；
（3）分①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°两种情况进行讨论；①AD为另外一条直角边，即∠EAD=90°，过点作于，过点作于，证明，得，设PD=m，证明EQ=AQ，表示出AD，再利用勾股定理，即可解答；②DE为为另外一条直角边，即∠AED=90°，过点B作BG⊥AE于点Q，证明AQ=QE=BD，再利用勾股定理即可解答.
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