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贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁市屯脚镇屯脚中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（2026八上·兴仁期末）贵州文化源远流长，每一个城市的标志性建筑物都有自己独特的标志．以下文化场馆标志中，属于轴对称图形的是（　　）
A．贵州省地质博物馆
B．贵州科技馆
C．遵义大剧院
D．贵州省民族博物馆
2．（2026八上·兴仁期末）维生素D在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素D都扮演着重要的角色．某天林林维生素D的摄入量约为，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·兴仁期末）下列式子中，不是分式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·兴仁期末）若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
5．（2026八上·兴仁期末）体育课上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形，若点，，在同一条直线上，，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八上·兴仁期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．的平分线上 B．边的高线上
C．边的垂直平分线上 D．边的中线上
7．（2026八上·兴仁期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026八上·兴仁期末）已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（　　）
A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8
9．（2026八上·兴仁期末）若的运算结果中不含项，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2026八上·兴仁期末）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2026八上·兴仁期末）若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．（2026八上·兴仁期末）如图，在中， ，，，垂足为点，延长至点，取．若的周长为，，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（2026八上·兴仁期末）若分式有意义，则n的取值范围是　 　．
14．（2026八上·兴仁期末）如图．，相交于点，，请你补充一个条件　 　，使．
15．（2026八上·兴仁期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，若，，则的度数为　 　．
16．（2026八上·兴仁期末）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2026八上·兴仁期末）（1）分解因式：；
（2）解分式方程：．
18．（2026八上·兴仁期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2026八上·兴仁期末）如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
20．（2026八上·兴仁期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于轴对称的；
（2）点关于轴对称的点的坐标为________；
（3）是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个．
21．（2026八上·兴仁期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）．
（1）请用含字母a，b的代数式表示图3的面积．
（2）若，，此时图3的面积是多少平方米？
22．（2026八上·兴仁期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，，点O与坐标原点重合，C是边上一点，连接，P是y轴上一动点．
（1）若是的中线，求的最小值；
（2）若是的角平分线，Q是上一点，求的最小值．
23．（2026八上·兴仁期末）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
24．（2026八上·兴仁期末）已知的三边长分别为a，b，c．
（1）若，，且c为整数，求的周长的最大值及最小值；
（2）若a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由．
25．（2026八上·兴仁期末）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作理解
小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　 　；（填序号）
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线．
求证：平分；
（3）拓展应用
如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为　 　度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是不规则的曲线和形态，找不到任何一条对称轴，不是轴对称图形，故A不符合题意 ；B、图案由不对称的线条和字母构成，不具备轴对称性，故B不符合题意 ；
C、图案是流畅的曲线造型，左右或上下均无法找到对称轴，不是轴对称图形，故C不符合题意 ；
D、该图案可以找到一条竖直方向的对称轴，沿此轴对折后，左右两边能完全重合，是轴对称图形，故D符合题意 ；
故答案为：D。
【分析】先明确轴对称图形的定义，然后对每个选项的图形进行观察和判断，看是否存在一条对称轴。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：首先确定a，把原数的小数点向右移动，直到得到一个 1 到 10 之间的数，即 a=1.6。然后确定指数n，小数点一共向右移动了 6 位，所以 n=6。因此，0.0000016 用科学记数法表示为 1.6×10 6。故答案为：B。
【分析】先明确科学记数法表示小数的规则，再确定a和n的值，最后写出表达式。
3．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分式的定义是：形如 的式子，其中 A 和 B 是整式，且 B 中必须含有字母。
A、 的分母 是字母，A符合分式定义；
B、 的分母 含有字母，B符合分式定义；
C、 的分母是常数 3，不含有字母，它是一个整式，C不符合分式定义；
D、 中的 分母含有字母，D符合分式定义；
故答案为：C。
【分析】分母中必须含有字母的式子才是分式，只有 C 选项 的分母是常数 3，不含有字母，因此它是整式，不是分式。
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：首先，9x2 = (3x)2，所以公式里的 a 对应 3x，接着，中间项 12x 对应公式里的 2ab，代入 a=3x 可得 2 × 3x × b = 12x，解这个等式可以得到 b=2，最后，公式里的 b2 对应多项式里的 m，所以 m = b2 = 22 = 4。
故答案为：D。
【分析】先把多项式 和完全平方公式 对应起来，确定 。再通过中间项 算出 。最后根据公式里 对应 ，得出 。
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：已知∠1 = 120° 是△ABC 的外角，∠ABC = 90°。
根据三角形外角等于不相邻两内角之和，可得∠ACB = ∠1 - ∠ABC = 120° - 90° = 30°。
在 Rt△ABC 中，∠ACB = 30°，AB 是 30° 角所对的直角边。
根据 “直角三角形中 30° 角所对的直角边是斜边的一半”，可知斜边 AC = 2 × AB。
故答案为：C。
【分析】先通过外角性质算出∠ACB 的度数，再利用 30° 直角三角形的边长关系求出斜边 AC。
已知 AB = 2，代入 AC = 2 × AB，得到 AC = 2 × 2 = 4。
6．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AM，因为三角板完全相同，所以它们的直角边长度相等，即点 M 到 AB 的距离等于到 AC 的距离。根据角平分线的判定定理，点 M 一定在∠A 的平分线上。
故答案为：A。
【分析】先分析点 M 到角两边的距离关系，再结合角平分线的判定定理得出结论。根据上述分析，点 M 一定在∠A 的平分线上。
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、这是对完全平方公式的错误记忆。正确的展开式应为 ，A错误；
B、根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，
，B正确；
C、按照从左到右的顺序计算：；；结果为 ，不是 ，C错误；
D、多项式除以单项式，应每一项分别相除：；；，正确结果应为 ，D错误；
故答案为：B。
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘除法则、多项式除以单项式的法则，对每个选项逐一进行计算和验证。
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：需要分情况讨论等腰三角形 ABC 的边长，再结合全等三角形的性质来确定 DE 的可能值。确定△ABC 的边长已知等腰△ABC 周长为 18，BC = 8，分两种情况：情况一：BC 为腰：
则两腰长为 8，底边长 = 18 - 8×2 = 2。
三边长为 8、8、2，满足三角形三边关系。
情况二：BC 为底边：
则腰长 = (18 - 8) ÷ 2 = 5。
三边长为 5、5、8，满足三角形三边关系。
结合全等三角形性质因为△ABC 与△DEF 全等，对应边相等。DE 作为△DEF 的一边，与△ABC 的任意一边都可能是对应边。因此，DE 的可能值为 2、5 或 8。
故答案为：C。
【分析】先根据等腰三角形的性质，分 “BC 是腰” 和 “BC 是底边” 两种情况，算出△ABC 的所有可能边长为 8、8、2 或 5、5、8。再利用全等三角形对应边相等的性质，得出 DE 的可能值为 2、5 或 8。
9．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：首先，我们把式子 展开：
合并 项：；根据题意列方程：题目要求结果中不含 项，这意味着 项的系数必须为0：，解得 。
故答案为：A。
【分析】先展开并合并多项式，然后令不需要的项（ 项）的系数为0，从而解出未知数p 的值为 2。
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式结合题意即可求解。
11．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：原方程：；
先将右边变形：；
方程两边同乘 去分母：
；
展开并整理：
解得：，即 ；
因为解为正数： ，得 ，故 ；
分母不为零： ，得 ，得 ，得 ；
自然数m满足 且 ，则m可取 0， 1， 3，共3个值。
故答案为：A。
【分析】先解分式方程得到x的表达式，再根据“解为正数”和“分母不为零”的条件列出不等式，最后确定符合条件的自然数m的个数。
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ，，
是等边三角形，
的周长为，
，
，
是高线也是边上的中线、的平分线，
，，
，
，
，
，
的周长为：，
故选：C．
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的三线合一。首先根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，判定为等边三角形，结合周长求出边长；再利用直角三角形三线合一的性质，求出的长度和的度数；由结合三角形外角性质求出的度数，判定为等腰三角形，得到，最后结合线段的和差关系计算的周长。
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴解得：.
故答案为：.
【分析】首先明确分式有意义的核心条件：分母不能为零，然后对分式 ，令其分母 。
解不等式得到 ，这就是n的取值范围。
14．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，相交于点，，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或．
【分析】根据三角形全等的判定结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是的平分线，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】首先利用垂直平分线性质：P 在 BC 的垂直平分线上，所以 PB = PC，因此 ∠PBC = ∠PCB。
然后利用角平分线性质：BP 平分∠ABC，所以 ∠ABP = ∠CBP。接着建立角度关系：结合以上两点，可得 ∠ABP = ∠CBP = ∠PCB。最后用三角形内角和列方程：在△ABC 中，∠A + ∠ABP + ∠CBP + ∠PCB + ∠ACP = 180°，代入已知角度求解，得到 ∠ABP = 31°。
16．【答案】35
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：设，
则由题意可得，
即
故答案为：．
【分析】设，，由题意可得，，进而根据同底数幂的乘法结合题意即可求解。
17．【答案】解：（1）；（2）方程两边乘，得，解得，检验：当时，，∴原分式方程的解为．
（1）解：；
（2）解：方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；解分式方程
【解析】【分析】（1）先提取公因式 ，将原式化为 ，即可完成分解。
（2）先确定最简公分母为 ，方程两边同乘该公分母去分母，化为整式方程 。然后解这个整式方程，得到 。最后检验 时，分母 ，确认是原分式方程的解。
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂
【解析】【分析】先对括号内的部分 进行通分，得到 ，然后将除法转化为乘法，并对分子分母的多项式进行因式分解：，最后进行约分，得到最简式 。
当时，将 代入最简式，计算得到 。
19．【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∴ED=CE，
∵∠A=∠B=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）解：△CDE是直角三角形，理由如下：证明：由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠B=90°，
∴∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠AED+∠CEB=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∴△DEC为直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质以及直角三角形的判定。
(1)根据得到，再结合已知的和，利用HL判定定理证明两个直角三角形全等；
(2)利用全等三角形的对应角相等得到，结合推出，通过角的等量代换得到，再根据平角的定义求出，据此判定为直角三角形。
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）
（3）4
【知识点】等腰三角形的判定；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：；
（3）解：如图，
当以为等腰三角形的腰时，可得，，，
当以为等腰三角形的底时，可得，
所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个．
故答案为：．
【分析】（1）先求出△ABC 各顶点关于 x 轴对称的点，即横坐标不变，纵坐标取相反数，再依次连接这些点，得到△A'B'C'。
（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标取相反数，所以点 C (-3，1) 的对称点坐标为 (3，1)。
（3）分 “AB 为腰” 和 “AB 为底” 两种情况讨论：
AB 为腰：分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径画圆，与 x 轴的交点即为 P 点。
AB 为底：作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为 P 点。综合所有情况，共得到 4 个符合条件的点 P。
（1）解：如图所示：
（2）解：点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：；
（3）解：如图，
当以为等腰三角形的腰时，可得，，，
当以为等腰三角形的底时，可得，
所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个．
故答案为：．
21．【答案】（1）解：面积为：
；
（2）解：当，时，原式=，
故此时图3的面积是．
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）求面积表达式把图 3 的不规则图形拆分为左右两个梯形，分别计算它们的面积。将两个梯形面积相加，合并同类项并化简，最终得到用用 a、b 表示的面积公式。
（2）将 a= 2，b=4 代入（1）中得到的面积表达式，计算得出最终面积。
（1）解：面积为：
；
（2）解：当，时，原式=，
故此时图3的面积是．
22．【答案】（1）解：如图1，作点C关于y轴对称的点，连接，与y轴交于点，当点P在位置时，最小．
是的中线，
是边的中点，
∵A，B的坐标分别为，，
∴，，
．
由对称可知，
最小值为；
（2）解：是的角平分线，
点P关于对称的点在上，如图2．
此时，
．
当时，垂足为H，最小，即最小，为的长．
由，得，
解得，
的最小值为．
【知识点】轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；三角形的中线
【解析】【分析】（1）作点C关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为使最小的点P，根据AC是中线，得到，所以对称点到原点的距离也是2，的最小值就是线段的长度，即。
（2）因为AC是角平分线，点P关于AC的对称点在AB上，所以，，当时，这个值最小，最小值就是O到AB的距离OH，利用的面积公式 ，计算得。
（1）解：如图1，作点C关于y轴对称的点，连接，与y轴交于点，当点P在位置时，最小．
是的中线，
是边的中点，
∵A，B的坐标分别为，，
∴，，
．
由对称可知，
最小值为；
（2）解：是的角平分线，
点P关于对称的点在上，如图2．
此时，
．
当时，垂足为H，最小，即最小，为的长．
由，得，
解得，
的最小值为．
23．【答案】（1）
（2）解：①根据题意可得：
．
解得：．
经检验：是原方程的解．
，．
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元．
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得：，
解得：．
答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式.
（1）根据表中的信息：利用总费用除以路程可得：，再进行化简可求出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元可以列出分式方程，解方程可求出a的值，再进行检验，据此可求出答案；
②根据燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元 ， 买新能源车的年费用更低 ，可列出不等式，解不等式可求出x的取值范围，进而可求出答案．
（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
（2）解：①根据题意可得：
．
解得：．
经检验：是原方程的解．
，．
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元．
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得：，
解得：．
答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低．
24．【答案】（1）解：，，且c为整数，
，即，
，5，6，
当时，周长的最小值；
当时，周长的最大值；
（2）解：是等边三角形．
理由：，
，
，
，，
∴，
是等边三角形。
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则，5 减 2 小于 c 小于 5 加 2，也就是 3 小于 c 小于 7。因为 c 是整数，所以 c 可以取 4、5、6。把 c 的可能值代入，当 c=4 时周长最小，为 5+2+4=11；当 c=6 时周长最大，为 5+2+6=13。
（2）把等式 a2 + 2b2 + c2 = 2ab + 2bc 移项，整理成 (a b)2 + (b c)2 = 0 的形式。两个平方数相加等于 0，说明每个平方数都为 0，即 a b=0 且 b c=0，由此可得 a=b=c，所以这个三角形是等边三角形。
（1）解：，，且c为整数，
，即，
，5，6，
当时，周长的最小值；
当时，周长的最大值；
（2）解：是等边三角形．
理由：，
，
，
，，
∴，
是等边三角形．
25．【答案】（1）②
（2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示：
则，
四边形是邻等对补四边形，
，
又，
，
又由题知，
，
，
又，
，
，
平分．
（3），或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形；
③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形；
综上可知，是邻等对补四边形的有②．
（3）解：在中，，
∴，
四边形是邻等对补四边形，
，，
，．
根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得
当时，如图2.1：
结合，可得，
．
当时，如图2.2：
，
，
．
当时，如图2.3：
，
．
当时，如图2.4：
结合，可得，
．
综上可知，大小为或或．
【分析】本题考查新定义“邻等对补四边形”的理解与应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及分类讨论思想。
(1)根据邻等对补四边形的定义，逐一验证每个四边形是否满足“至少一组邻边相等”和“对角互补”两个条件，确定符合条件的四边形；
(2)通过作垂线构造两个直角三角形，利用邻等对补四边形的对角互补推出相等的角，结合用AAS证明三角形全等，得到对应高相等，再用HL证明另两个直角三角形全等，推出角相等，完成角平分线的证明；
(3)先根据邻等对补四边形的对角互补求出和的度数，再分、、、四种情况，结合等腰三角形和全等三角形的性质，分别计算的度数。
（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形；
③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形；
综上可知，是邻等对补四边形的有②．
（2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示：
则，
四边形是邻等对补四边形，
，
又，
，
又由题知，
，
，
又，
，
，
平分．
（3）解：在中，，
∴，
四边形是邻等对补四边形，
，，
，．
根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得
当时，如图2.1：
结合，可得，
．
当时，如图2.2：
，
，
．
当时，如图2.3：
，
．
当时，如图2.4：
结合，可得，
．
综上可知，大小为或或．
1 / 1贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁市屯脚镇屯脚中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（2026八上·兴仁期末）贵州文化源远流长，每一个城市的标志性建筑物都有自己独特的标志．以下文化场馆标志中，属于轴对称图形的是（　　）
A．贵州省地质博物馆
B．贵州科技馆
C．遵义大剧院
D．贵州省民族博物馆
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是不规则的曲线和形态，找不到任何一条对称轴，不是轴对称图形，故A不符合题意 ；B、图案由不对称的线条和字母构成，不具备轴对称性，故B不符合题意 ；
C、图案是流畅的曲线造型，左右或上下均无法找到对称轴，不是轴对称图形，故C不符合题意 ；
D、该图案可以找到一条竖直方向的对称轴，沿此轴对折后，左右两边能完全重合，是轴对称图形，故D符合题意 ；
故答案为：D。
【分析】先明确轴对称图形的定义，然后对每个选项的图形进行观察和判断，看是否存在一条对称轴。
2．（2026八上·兴仁期末）维生素D在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素D都扮演着重要的角色．某天林林维生素D的摄入量约为，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：首先确定a，把原数的小数点向右移动，直到得到一个 1 到 10 之间的数，即 a=1.6。然后确定指数n，小数点一共向右移动了 6 位，所以 n=6。因此，0.0000016 用科学记数法表示为 1.6×10 6。故答案为：B。
【分析】先明确科学记数法表示小数的规则，再确定a和n的值，最后写出表达式。
3．（2026八上·兴仁期末）下列式子中，不是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分式的定义是：形如 的式子，其中 A 和 B 是整式，且 B 中必须含有字母。
A、 的分母 是字母，A符合分式定义；
B、 的分母 含有字母，B符合分式定义；
C、 的分母是常数 3，不含有字母，它是一个整式，C不符合分式定义；
D、 中的 分母含有字母，D符合分式定义；
故答案为：C。
【分析】分母中必须含有字母的式子才是分式，只有 C 选项 的分母是常数 3，不含有字母，因此它是整式，不是分式。
4．（2026八上·兴仁期末）若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：首先，9x2 = (3x)2，所以公式里的 a 对应 3x，接着，中间项 12x 对应公式里的 2ab，代入 a=3x 可得 2 × 3x × b = 12x，解这个等式可以得到 b=2，最后，公式里的 b2 对应多项式里的 m，所以 m = b2 = 22 = 4。
故答案为：D。
【分析】先把多项式 和完全平方公式 对应起来，确定 。再通过中间项 算出 。最后根据公式里 对应 ，得出 。
5．（2026八上·兴仁期末）体育课上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形，若点，，在同一条直线上，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：已知∠1 = 120° 是△ABC 的外角，∠ABC = 90°。
根据三角形外角等于不相邻两内角之和，可得∠ACB = ∠1 - ∠ABC = 120° - 90° = 30°。
在 Rt△ABC 中，∠ACB = 30°，AB 是 30° 角所对的直角边。
根据 “直角三角形中 30° 角所对的直角边是斜边的一半”，可知斜边 AC = 2 × AB。
故答案为：C。
【分析】先通过外角性质算出∠ACB 的度数，再利用 30° 直角三角形的边长关系求出斜边 AC。
已知 AB = 2，代入 AC = 2 × AB，得到 AC = 2 × 2 = 4。
6．（2026八上·兴仁期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．的平分线上 B．边的高线上
C．边的垂直平分线上 D．边的中线上
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AM，因为三角板完全相同，所以它们的直角边长度相等，即点 M 到 AB 的距离等于到 AC 的距离。根据角平分线的判定定理，点 M 一定在∠A 的平分线上。
故答案为：A。
【分析】先分析点 M 到角两边的距离关系，再结合角平分线的判定定理得出结论。根据上述分析，点 M 一定在∠A 的平分线上。
7．（2026八上·兴仁期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、这是对完全平方公式的错误记忆。正确的展开式应为 ，A错误；
B、根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，
，B正确；
C、按照从左到右的顺序计算：；；结果为 ，不是 ，C错误；
D、多项式除以单项式，应每一项分别相除：；；，正确结果应为 ，D错误；
故答案为：B。
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘除法则、多项式除以单项式的法则，对每个选项逐一进行计算和验证。
8．（2026八上·兴仁期末）已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（　　）
A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：需要分情况讨论等腰三角形 ABC 的边长，再结合全等三角形的性质来确定 DE 的可能值。确定△ABC 的边长已知等腰△ABC 周长为 18，BC = 8，分两种情况：情况一：BC 为腰：
则两腰长为 8，底边长 = 18 - 8×2 = 2。
三边长为 8、8、2，满足三角形三边关系。
情况二：BC 为底边：
则腰长 = (18 - 8) ÷ 2 = 5。
三边长为 5、5、8，满足三角形三边关系。
结合全等三角形性质因为△ABC 与△DEF 全等，对应边相等。DE 作为△DEF 的一边，与△ABC 的任意一边都可能是对应边。因此，DE 的可能值为 2、5 或 8。
故答案为：C。
【分析】先根据等腰三角形的性质，分 “BC 是腰” 和 “BC 是底边” 两种情况，算出△ABC 的所有可能边长为 8、8、2 或 5、5、8。再利用全等三角形对应边相等的性质，得出 DE 的可能值为 2、5 或 8。
9．（2026八上·兴仁期末）若的运算结果中不含项，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：首先，我们把式子 展开：
合并 项：；根据题意列方程：题目要求结果中不含 项，这意味着 项的系数必须为0：，解得 。
故答案为：A。
【分析】先展开并合并多项式，然后令不需要的项（ 项）的系数为0，从而解出未知数p 的值为 2。
10．（2026八上·兴仁期末）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式结合题意即可求解。
11．（2026八上·兴仁期末）若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：原方程：；
先将右边变形：；
方程两边同乘 去分母：
；
展开并整理：
解得：，即 ；
因为解为正数： ，得 ，故 ；
分母不为零： ，得 ，得 ，得 ；
自然数m满足 且 ，则m可取 0， 1， 3，共3个值。
故答案为：A。
【分析】先解分式方程得到x的表达式，再根据“解为正数”和“分母不为零”的条件列出不等式，最后确定符合条件的自然数m的个数。
12．（2026八上·兴仁期末）如图，在中， ，，，垂足为点，延长至点，取．若的周长为，，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ，，
是等边三角形，
的周长为，
，
，
是高线也是边上的中线、的平分线，
，，
，
，
，
，
的周长为：，
故选：C．
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的三线合一。首先根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，判定为等边三角形，结合周长求出边长；再利用直角三角形三线合一的性质，求出的长度和的度数；由结合三角形外角性质求出的度数，判定为等腰三角形，得到，最后结合线段的和差关系计算的周长。
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（2026八上·兴仁期末）若分式有意义，则n的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴解得：.
故答案为：.
【分析】首先明确分式有意义的核心条件：分母不能为零，然后对分式 ，令其分母 。
解不等式得到 ，这就是n的取值范围。
14．（2026八上·兴仁期末）如图．，相交于点，，请你补充一个条件　 　，使．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，相交于点，，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或．
【分析】根据三角形全等的判定结合题意即可求解。
15．（2026八上·兴仁期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是的平分线，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】首先利用垂直平分线性质：P 在 BC 的垂直平分线上，所以 PB = PC，因此 ∠PBC = ∠PCB。
然后利用角平分线性质：BP 平分∠ABC，所以 ∠ABP = ∠CBP。接着建立角度关系：结合以上两点，可得 ∠ABP = ∠CBP = ∠PCB。最后用三角形内角和列方程：在△ABC 中，∠A + ∠ABP + ∠CBP + ∠PCB + ∠ACP = 180°，代入已知角度求解，得到 ∠ABP = 31°。
16．（2026八上·兴仁期末）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为　 　．
【答案】35
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：设，
则由题意可得，
即
故答案为：．
【分析】设，，由题意可得，，进而根据同底数幂的乘法结合题意即可求解。
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2026八上·兴仁期末）（1）分解因式：；
（2）解分式方程：．
【答案】解：（1）；（2）方程两边乘，得，解得，检验：当时，，∴原分式方程的解为．
（1）解：；
（2）解：方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；解分式方程
【解析】【分析】（1）先提取公因式 ，将原式化为 ，即可完成分解。
（2）先确定最简公分母为 ，方程两边同乘该公分母去分母，化为整式方程 。然后解这个整式方程，得到 。最后检验 时，分母 ，确认是原分式方程的解。
18．（2026八上·兴仁期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂
【解析】【分析】先对括号内的部分 进行通分，得到 ，然后将除法转化为乘法，并对分子分母的多项式进行因式分解：，最后进行约分，得到最简式 。
当时，将 代入最简式，计算得到 。
19．（2026八上·兴仁期末）如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∴ED=CE，
∵∠A=∠B=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）解：△CDE是直角三角形，理由如下：证明：由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠B=90°，
∴∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠AED+∠CEB=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∴△DEC为直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质以及直角三角形的判定。
(1)根据得到，再结合已知的和，利用HL判定定理证明两个直角三角形全等；
(2)利用全等三角形的对应角相等得到，结合推出，通过角的等量代换得到，再根据平角的定义求出，据此判定为直角三角形。
20．（2026八上·兴仁期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于轴对称的；
（2）点关于轴对称的点的坐标为________；
（3）是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）
（3）4
【知识点】等腰三角形的判定；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：；
（3）解：如图，
当以为等腰三角形的腰时，可得，，，
当以为等腰三角形的底时，可得，
所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个．
故答案为：．
【分析】（1）先求出△ABC 各顶点关于 x 轴对称的点，即横坐标不变，纵坐标取相反数，再依次连接这些点，得到△A'B'C'。
（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标取相反数，所以点 C (-3，1) 的对称点坐标为 (3，1)。
（3）分 “AB 为腰” 和 “AB 为底” 两种情况讨论：
AB 为腰：分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径画圆，与 x 轴的交点即为 P 点。
AB 为底：作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为 P 点。综合所有情况，共得到 4 个符合条件的点 P。
（1）解：如图所示：
（2）解：点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：；
（3）解：如图，
当以为等腰三角形的腰时，可得，，，
当以为等腰三角形的底时，可得，
所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个．
故答案为：．
21．（2026八上·兴仁期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）．
（1）请用含字母a，b的代数式表示图3的面积．
（2）若，，此时图3的面积是多少平方米？
【答案】（1）解：面积为：
；
（2）解：当，时，原式=，
故此时图3的面积是．
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）求面积表达式把图 3 的不规则图形拆分为左右两个梯形，分别计算它们的面积。将两个梯形面积相加，合并同类项并化简，最终得到用用 a、b 表示的面积公式。
（2）将 a= 2，b=4 代入（1）中得到的面积表达式，计算得出最终面积。
（1）解：面积为：
；
（2）解：当，时，原式=，
故此时图3的面积是．
22．（2026八上·兴仁期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，，点O与坐标原点重合，C是边上一点，连接，P是y轴上一动点．
（1）若是的中线，求的最小值；
（2）若是的角平分线，Q是上一点，求的最小值．
【答案】（1）解：如图1，作点C关于y轴对称的点，连接，与y轴交于点，当点P在位置时，最小．
是的中线，
是边的中点，
∵A，B的坐标分别为，，
∴，，
．
由对称可知，
最小值为；
（2）解：是的角平分线，
点P关于对称的点在上，如图2．
此时，
．
当时，垂足为H，最小，即最小，为的长．
由，得，
解得，
的最小值为．
【知识点】轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；三角形的中线
【解析】【分析】（1）作点C关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为使最小的点P，根据AC是中线，得到，所以对称点到原点的距离也是2，的最小值就是线段的长度，即。
（2）因为AC是角平分线，点P关于AC的对称点在AB上，所以，，当时，这个值最小，最小值就是O到AB的距离OH，利用的面积公式 ，计算得。
（1）解：如图1，作点C关于y轴对称的点，连接，与y轴交于点，当点P在位置时，最小．
是的中线，
是边的中点，
∵A，B的坐标分别为，，
∴，，
．
由对称可知，
最小值为；
（2）解：是的角平分线，
点P关于对称的点在上，如图2．
此时，
．
当时，垂足为H，最小，即最小，为的长．
由，得，
解得，
的最小值为．
23．（2026八上·兴仁期末）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）
（2）解：①根据题意可得：
．
解得：．
经检验：是原方程的解．
，．
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元．
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得：，
解得：．
答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式.
（1）根据表中的信息：利用总费用除以路程可得：，再进行化简可求出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元可以列出分式方程，解方程可求出a的值，再进行检验，据此可求出答案；
②根据燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元 ， 买新能源车的年费用更低 ，可列出不等式，解不等式可求出x的取值范围，进而可求出答案．
（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
（2）解：①根据题意可得：
．
解得：．
经检验：是原方程的解．
，．
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元．
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得：，
解得：．
答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低．
24．（2026八上·兴仁期末）已知的三边长分别为a，b，c．
（1）若，，且c为整数，求的周长的最大值及最小值；
（2）若a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：，，且c为整数，
，即，
，5，6，
当时，周长的最小值；
当时，周长的最大值；
（2）解：是等边三角形．
理由：，
，
，
，，
∴，
是等边三角形。
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则，5 减 2 小于 c 小于 5 加 2，也就是 3 小于 c 小于 7。因为 c 是整数，所以 c 可以取 4、5、6。把 c 的可能值代入，当 c=4 时周长最小，为 5+2+4=11；当 c=6 时周长最大，为 5+2+6=13。
（2）把等式 a2 + 2b2 + c2 = 2ab + 2bc 移项，整理成 (a b)2 + (b c)2 = 0 的形式。两个平方数相加等于 0，说明每个平方数都为 0，即 a b=0 且 b c=0，由此可得 a=b=c，所以这个三角形是等边三角形。
（1）解：，，且c为整数，
，即，
，5，6，
当时，周长的最小值；
当时，周长的最大值；
（2）解：是等边三角形．
理由：，
，
，
，，
∴，
是等边三角形．
25．（2026八上·兴仁期末）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作理解
小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　 　；（填序号）
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线．
求证：平分；
（3）拓展应用
如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为　 　度．
【答案】（1）②
（2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示：
则，
四边形是邻等对补四边形，
，
又，
，
又由题知，
，
，
又，
，
，
平分．
（3），或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形；
③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形；
综上可知，是邻等对补四边形的有②．
（3）解：在中，，
∴，
四边形是邻等对补四边形，
，，
，．
根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得
当时，如图2.1：
结合，可得，
．
当时，如图2.2：
，
，
．
当时，如图2.3：
，
．
当时，如图2.4：
结合，可得，
．
综上可知，大小为或或．
【分析】本题考查新定义“邻等对补四边形”的理解与应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及分类讨论思想。
(1)根据邻等对补四边形的定义，逐一验证每个四边形是否满足“至少一组邻边相等”和“对角互补”两个条件，确定符合条件的四边形；
(2)通过作垂线构造两个直角三角形，利用邻等对补四边形的对角互补推出相等的角，结合用AAS证明三角形全等，得到对应高相等，再用HL证明另两个直角三角形全等，推出角相等，完成角平分线的证明；
(3)先根据邻等对补四边形的对角互补求出和的度数，再分、、、四种情况，结合等腰三角形和全等三角形的性质，分别计算的度数。
（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形；
③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形；
综上可知，是邻等对补四边形的有②．
（2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示：
则，
四边形是邻等对补四边形，
，
又，
，
又由题知，
，
，
又，
，
，
平分．
（3）解：在中，，
∴，
四边形是邻等对补四边形，
，，
，．
根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得
当时，如图2.1：
结合，可得，
．
当时，如图2.2：
，
，
．
当时，如图2.3：
，
．
当时，如图2.4：
结合，可得，
．
综上可知，大小为或或．
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