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2.2 一元二次方程的解法（1）因式分解法—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025八下·柯桥月考）方程（x－2）2=4（x-2）（　　）
A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2
2．（2025八下·温州期中）一元二次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·长兴月考）方程的根是（　　）
A． B． C． D．
4．用因式分解法解一元二次方程，其依据是（　　）
A．若ab=0，则a=0或b=0 B．若a=0或b=0，则ab=0
C．若ab=0，则a=0且b=0 D．若a=0且b=0，则ab=0
5．已知关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ， 则多项式 可因式分解为（　　）
A． B．
C． D．
6．用因式分解法解方程， 正确的是（　　）
A． 或
B． 或
C． 或
D．
7．（2025八下·杭州期中） 已知方程(x+a)(x+b)=0有M个解，方程(ax+1)(bx+1)=0有N个解，其中a≠b，则（　　）
A．M=N-1或M=N+1 B．M=N-1或M=N+2
C．M=N+1 D．M=N-1
8．（2025八下·义乌月考）已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．或 B．或 C． D．或
二、填空题（每空3分，共21分）
9．方程 的解是　 　
10．（2025八下·温州期末）小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：．已知一个根，则另一个根　 　．
11．用符号※定义一种新运算： ※． 则方程 ※ 的解是　 　.
12．（2025八下·义乌月考）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为　 　。
13．（2022八下·嵊州期中）已知方程 ，则 的值为　 　．
14．（2024八下·温州期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则　 　，若，为常数，则的值为　 　．
三、解答题（共4题，共35分）
15．（2025八下·诸暨期末）解方程：
（1）x2+2x=0
（2）x2-4x+4=0
16．（2025八下·萧山期中）解方程.
（1）x2-4x+1=0
（2）5x(x+2)=3(x+2).
17．（2025八下·金东期末） 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第　 　步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
18．（2024八下·东阳期中）【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值；
【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：；
对①式和②式分别乘以和得：；得：；
请根据以上过程算出和的值；
【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x-2)2=4(x-2)，
移项，得(x-2)2-4(x-2)=0，
整理，得(x-2)(x-2-4)=0.
∴x-2=0或x-6=0.
∴x1=2，x2=6.
故答案为：D.
【分析】将方程右边移到左边，整理后提取公因式(x-2)，再利用零乘积定理求解.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2=8x，
移项，得2x2-8x=0，
方程两边同时除以2，得x2-4x=0，
将方程左边分解因式得x(x-4)=0，
∴x=0或x-4=0，
∴x1=0，x2=4.
故答案为：C.
【分析】此方程缺常数项，利用因式分解法求解较为简单；首先移项将方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x(x+2)=0，
∴x=0或x+2=0，
解得x1=0，x2=-2.
故答案为：C.
【分析】根据两个数的乘积等于零，则至少有一个数为零，可将原方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
4．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 因式分解法解一元二次方程的依据是“ 若ab=0，则a=0或b=0 ”
故答案为：A
【分析】根据乘法运算可知：如果ab=0，那么a=0或b=0。
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为3和-4，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4)=0，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4).
故答案为：C.
【分析】根据因式分解法解一元二次方程并结合方程的解可得出多项式因式分解的结果.
6．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
A：两因式积为0，则两因式至少有一个为0，A正确；
B：用因式分解法需要先把原方程化为左边为因式的积，方程右边为0的形式，B错误；
C：用因式分解法需要先把原方程化为左边为因式的积，方程右边为0的形式，C错误；
D：，其中也又可能x=0 ，D错误。
故答案为：A
【分析】因式分解法需要先把原方程化为一般式，再把方程左边的多项式分解因式，把方程化为左边为因式的积，右边为0的形式。两因式积为0，则两因式至少有一个为0，即其中一个为0或两个都为0，这样就可以求出方程的解了。
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x+a)(x+b)=0，
可得x+a=0或x+b=0，即x=-a或x =-b，
∵a≠b，
∴M=2，
当a=0， b≠0时， 方程变为bx+1=0.1解得 此时N=1，
当a≠0， b=0时， 方程变为 ax+1=0， 解得 此时N=1，
当a≠0， b≠0时， 方程变为 ax+1=0或bx+1=0，解得 或 此时N=2，
∴当a=0或b=0时， M =2， N =1，
M = N+1； 当a≠0且b≠0时， M =2， N =2， M = N.
∴M=N或M =N+1.
故答案为：C.
【分析】对于方程(x+a)(x+b)=0， 根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程((ax+1)(bx+1)=0， 同样依据上述原理求解， 但需要分a=0， b=0以及a≠0且b≠0等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系.
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积．
9．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2=6x，
x2-6x=0，
∴x(x-6)=0，
∴x=0或x-6=0，
∴x1=0，x2=6.
故答案为：x1=0，x2=6.
【分析】由于此方程缺常数项，故利用因式分解法求解较为简单；首先移项将方程整理成一般形式，然后方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
10．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个数字为，即x2-a=0，
∵ 一个根 ，
则，
∴原式为x2-9=0，
变形为（x+3）（x-3）=0，
解得x=3或-3，
∴
故答案为：．
【分析】本题可以先假设设这个数字为，然后根据“一个根是3”，计算即可得到a的值，最后利用平方差公式进行因式分解即可求出答案。
11．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
※
(x-2)(x+2)=0
x-2=0或x+2=0
x1=2， x2=-2
故答案为：.
【分析】根据定义的运算方法把※4＝0化为，再解方程即可。
12．【答案】11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得，
或
解得：
当 时， 不能构成三角形，
当 时，三角形的周长为
故答案为： 11.
【分析】先利用因式分解法解方程得到 再利用三角形三边的关系得到三角形第三边长为4，然后计算三角形的周长即可.
13．【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴ 或，
∴ 或（舍去），
∴.
故答案为：3.
【分析】把 看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程，舍去不符合题意的值，即可解答.
14．【答案】-2；16
【知识点】解二元一次方程组；因式分解法解一元二次方程；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：，
方程可变为，
∴或，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；16．
【分析】先变化一元二次方程即可得到，故或，再解方程即可得到，，进而根据得到，；从而结合题意根据非负性得到，解二元一次方程组即可求解。
15．【答案】（1）解：提公因式得x(x+2)=0，
解得x1=0或x2=-2.
（2）解：原方程化为(x-2)2=0，
解得x1=x2=2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先根据因式分解法，提公因式得x(x+2)=0；再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，即可得出答案.
（2）先利用完全平方公式的a2-2ab+b2=(a-b)2的形式化为(x-2)2=0；再根据“一个数的平方等于0，则这个数为0”的原理，即可得出答案.
16．【答案】（1）解：
x1=2+，x2=2-
（2）解：(5x-3)(x+2)=0
x1=-2，x2=
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 （1）配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可 .
17．【答案】（1）一
（2）解：原方程移项得：
分解因式(
即 或
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤可知：嘉嘉是第一步，
故答案为：第一；
【分析】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
(2)根据因式分解法解答即可.
18．【答案】解：【基础感知】∵，
∴，
解得：，，
∵ 一元二次方程的两个实数根为a，b且，
∴，，
∴；
【尝试应用】∵，，
∴，
∵，
∴；
【拓展提升】猜想：，证明如下：
∵a为一元二次方程的两个实数根，
∴，两边都乘以，得：①，
同理可得：②，
，得：，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】【基础感知】先利用因式分解法解一元二次方程得出，，结合题意得出，，代入数值进行计算即可得的值；
【尝试应用】由基础感知得，由，可求出，再由，可求出；
【拓展提升】根据题意得，两边都乘以，得①，同理可得②，再由得出，即可得出答案．
1 / 12.2 一元二次方程的解法（1）因式分解法—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025八下·柯桥月考）方程（x－2）2=4（x-2）（　　）
A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x-2)2=4(x-2)，
移项，得(x-2)2-4(x-2)=0，
整理，得(x-2)(x-2-4)=0.
∴x-2=0或x-6=0.
∴x1=2，x2=6.
故答案为：D.
【分析】将方程右边移到左边，整理后提取公因式(x-2)，再利用零乘积定理求解.
2．（2025八下·温州期中）一元二次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2=8x，
移项，得2x2-8x=0，
方程两边同时除以2，得x2-4x=0，
将方程左边分解因式得x(x-4)=0，
∴x=0或x-4=0，
∴x1=0，x2=4.
故答案为：C.
【分析】此方程缺常数项，利用因式分解法求解较为简单；首先移项将方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
3．（2024八下·长兴月考）方程的根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x(x+2)=0，
∴x=0或x+2=0，
解得x1=0，x2=-2.
故答案为：C.
【分析】根据两个数的乘积等于零，则至少有一个数为零，可将原方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
4．用因式分解法解一元二次方程，其依据是（　　）
A．若ab=0，则a=0或b=0 B．若a=0或b=0，则ab=0
C．若ab=0，则a=0且b=0 D．若a=0且b=0，则ab=0
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 因式分解法解一元二次方程的依据是“ 若ab=0，则a=0或b=0 ”
故答案为：A
【分析】根据乘法运算可知：如果ab=0，那么a=0或b=0。
5．已知关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ， 则多项式 可因式分解为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为3和-4，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4)=0，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4).
故答案为：C.
【分析】根据因式分解法解一元二次方程并结合方程的解可得出多项式因式分解的结果.
6．用因式分解法解方程， 正确的是（　　）
A． 或
B． 或
C． 或
D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
A：两因式积为0，则两因式至少有一个为0，A正确；
B：用因式分解法需要先把原方程化为左边为因式的积，方程右边为0的形式，B错误；
C：用因式分解法需要先把原方程化为左边为因式的积，方程右边为0的形式，C错误；
D：，其中也又可能x=0 ，D错误。
故答案为：A
【分析】因式分解法需要先把原方程化为一般式，再把方程左边的多项式分解因式，把方程化为左边为因式的积，右边为0的形式。两因式积为0，则两因式至少有一个为0，即其中一个为0或两个都为0，这样就可以求出方程的解了。
7．（2025八下·杭州期中） 已知方程(x+a)(x+b)=0有M个解，方程(ax+1)(bx+1)=0有N个解，其中a≠b，则（　　）
A．M=N-1或M=N+1 B．M=N-1或M=N+2
C．M=N+1 D．M=N-1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x+a)(x+b)=0，
可得x+a=0或x+b=0，即x=-a或x =-b，
∵a≠b，
∴M=2，
当a=0， b≠0时， 方程变为bx+1=0.1解得 此时N=1，
当a≠0， b=0时， 方程变为 ax+1=0， 解得 此时N=1，
当a≠0， b≠0时， 方程变为 ax+1=0或bx+1=0，解得 或 此时N=2，
∴当a=0或b=0时， M =2， N =1，
M = N+1； 当a≠0且b≠0时， M =2， N =2， M = N.
∴M=N或M =N+1.
故答案为：C.
【分析】对于方程(x+a)(x+b)=0， 根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程((ax+1)(bx+1)=0， 同样依据上述原理求解， 但需要分a=0， b=0以及a≠0且b≠0等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系.
8．（2025八下·义乌月考）已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积．
二、填空题（每空3分，共21分）
9．方程 的解是　 　
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2=6x，
x2-6x=0，
∴x(x-6)=0，
∴x=0或x-6=0，
∴x1=0，x2=6.
故答案为：x1=0，x2=6.
【分析】由于此方程缺常数项，故利用因式分解法求解较为简单；首先移项将方程整理成一般形式，然后方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
10．（2025八下·温州期末）小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：．已知一个根，则另一个根　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个数字为，即x2-a=0，
∵ 一个根 ，
则，
∴原式为x2-9=0，
变形为（x+3）（x-3）=0，
解得x=3或-3，
∴
故答案为：．
【分析】本题可以先假设设这个数字为，然后根据“一个根是3”，计算即可得到a的值，最后利用平方差公式进行因式分解即可求出答案。
11．用符号※定义一种新运算： ※． 则方程 ※ 的解是　 　.
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
※
(x-2)(x+2)=0
x-2=0或x+2=0
x1=2， x2=-2
故答案为：.
【分析】根据定义的运算方法把※4＝0化为，再解方程即可。
12．（2025八下·义乌月考）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为　 　。
【答案】11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得，
或
解得：
当 时， 不能构成三角形，
当 时，三角形的周长为
故答案为： 11.
【分析】先利用因式分解法解方程得到 再利用三角形三边的关系得到三角形第三边长为4，然后计算三角形的周长即可.
13．（2022八下·嵊州期中）已知方程 ，则 的值为　 　．
【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴ 或，
∴ 或（舍去），
∴.
故答案为：3.
【分析】把 看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程，舍去不符合题意的值，即可解答.
14．（2024八下·温州期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则　 　，若，为常数，则的值为　 　．
【答案】-2；16
【知识点】解二元一次方程组；因式分解法解一元二次方程；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：，
方程可变为，
∴或，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；16．
【分析】先变化一元二次方程即可得到，故或，再解方程即可得到，，进而根据得到，；从而结合题意根据非负性得到，解二元一次方程组即可求解。
三、解答题（共4题，共35分）
15．（2025八下·诸暨期末）解方程：
（1）x2+2x=0
（2）x2-4x+4=0
【答案】（1）解：提公因式得x(x+2)=0，
解得x1=0或x2=-2.
（2）解：原方程化为(x-2)2=0，
解得x1=x2=2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先根据因式分解法，提公因式得x(x+2)=0；再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，即可得出答案.
（2）先利用完全平方公式的a2-2ab+b2=(a-b)2的形式化为(x-2)2=0；再根据“一个数的平方等于0，则这个数为0”的原理，即可得出答案.
16．（2025八下·萧山期中）解方程.
（1）x2-4x+1=0
（2）5x(x+2)=3(x+2).
【答案】（1）解：
x1=2+，x2=2-
（2）解：(5x-3)(x+2)=0
x1=-2，x2=
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 （1）配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可 .
17．（2025八下·金东期末） 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第　 　步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
【答案】（1）一
（2）解：原方程移项得：
分解因式(
即 或
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤可知：嘉嘉是第一步，
故答案为：第一；
【分析】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
(2)根据因式分解法解答即可.
18．（2024八下·东阳期中）【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值；
【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：；
对①式和②式分别乘以和得：；得：；
请根据以上过程算出和的值；
【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明．
【答案】解：【基础感知】∵，
∴，
解得：，，
∵ 一元二次方程的两个实数根为a，b且，
∴，，
∴；
【尝试应用】∵，，
∴，
∵，
∴；
【拓展提升】猜想：，证明如下：
∵a为一元二次方程的两个实数根，
∴，两边都乘以，得：①，
同理可得：②，
，得：，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】【基础感知】先利用因式分解法解一元二次方程得出，，结合题意得出，，代入数值进行计算即可得的值；
【尝试应用】由基础感知得，由，可求出，再由，可求出；
【拓展提升】根据题意得，两边都乘以，得①，同理可得②，再由得出，即可得出答案．
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