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2.2 一元二次方程的解法（2）直接开平方法——浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分）
1．用直接开平方法解下列一元二次方程， 其中无解的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，故此选项不符合题意；
B、∵x2=0，∴x=0，故此选项不符合题意；
C、∵x2+4=0，∴x2=-4，∵x2≥0，∴此方程无解，故此选项符合题意；
D、-x2+3=0，x2=3，∴x=±，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“x2=m（m≥0）”即可利用直接开平方法求解，据此分别求解每一个选项中的方程，即可判断得出答案.
2．（2024八下·百色期中）一元二次方程的根为（　　）
A． B．
C．， D．
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】运用直接开方法解一元二次方程即可．
3．（2025八下·浦江月考）对于方程，下列叙述正确的是（　　）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为或
D．当时，
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当时，根据偶数次幂的非负性，可得方程没有实数根，故A选项错误；
当时，方程有实数根，则，解得，，故C选项正确，B选项错误；
当时，解得，故D选项错误．
故答案为：C．
【分析】分类讨论：①当c＞0时，方程有实数根，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，求解即可判断B、C选项；②当c=0时，方程有实数根，利用直接开平方法将方程降次为一个一元一次方程，求解即可判断D选项；③当c＜0时，根据偶数次幂的非负性，可得方程没有实数根，可判断A选项.
4．老师提出问题： 解方程 . 四位同学给出了以下答案； 小琪： ； 子航： ； 一航： ；萱萱 ， . 你认为答案正确的是（　　）
A．小琪 B．子航 C．一观 D．萱萱
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ x2-8=0，
∴x2=8，
∴ x=±，
∴x1=，x1=- .
故答案为：D.
【分析】直接开平方法即可求解.
5．（初中数学浙教版八下精彩练习2.2一元二次方程的解法（2））一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+6=4，则另一个是（　　）
A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x+6）2=16 ，
∴x+6=4或 x+6=-4 .
故答案为：D.
【分析】将方程两边同时开方，即可解答.
6．（2025八下·杭州期中）形如的方程，它的根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵（x+m）2=n（n≥0），
∴x+m=，
∴x=-m，
故答案为：D．
【分析】根据直接开平方法的步骤和条件进行计算，即可得出答案．
7．（2024八下·苍梧期中）已知方程的解也是方程的一个解，则m的值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】，
解得：，
把代入方程得：
，
解得：，
故选：C．
【分析】
利用直接开平方法先求出方程的解，再把x的值代入方程中， 以此来求解未知数 m 的值。
8．（2024八下·平果期中）下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，即：，
开方，得：，
则计算步骤最先出错的是甲，
故选：A．
【分析】
直接开方得到：4x= (2x+8)。对比题目中给出的选项，发现甲、乙、丙、丁四步中，最先出错的是甲，即在开方的步骤中出现了错误。
二、填空题（每题3分，共21分）
9．（2025八下·龙港期中）关于x的一元二次方程x2=9的解为　 　.
【答案】x1=3； x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2=9，
∴x=
∴x=±3，
∴x1=3，x2=-3.
故答案为：x1=3，x2=-3.
【分析】由于此题缺一次项，故利用平方根定义，直接开平方求解即可.
10．（2024八下·苍梧期中）已知一元二次方程，则它的根为　 　．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：。
【分析】先将常数项25移项到方程的右边，再利用直接开平方法求解．
11．（2024八下·蜀山期中）当　 　时，代数式与的值互为倒数．
【答案】
【知识点】有理数的倒数；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵代数式与的值互为倒数，
∴，
即：，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据互为倒数的两个代数式的积等于，列出方程，解方程即可．
12．（2023八下·上城期中） 关于的一元二次方程的两个根分别是与，则　 　 ．
【答案】2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴m=2，
故答案为：2.
【分析】观察方程，可以直接利于开平方法解方程，该方程的两个根互为相反数，则，即m=2.
13．（1） 若关于 的方程 的两个根分别是 与 ， 则 　 　．
（2） 若关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ， 则方程 的根是　 　．
【答案】（1）1
（2）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得方程的两个和互为相反数，
∴m+1+2m-4=0，
解得：m=1，
故答案为：1；
（2）∵方程可变形为：，
∵ 关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ，
∴2x-1=3或2x-1=7，
解得：x=2或x=4，
故答案为：.
【分析】（1）利用“方程的两个和互为相反数”可得m+1+2m-4=0，再求出m的值即可；
（2）将原方程变形为，再结合“关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ”可得2x-1=3或2x-1=7，最后求出x的值即可.
14．（2024八下·金东期中）对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程的解为　 　．
【答案】2或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当时，则，即，
解得或（舍去）；
当时，则，即，
解得或（舍去）；
综上所述，方程的解为或，
故答案为：2或．
【分析】由题意得：当时，方程为；当时，方程为；分别解方程并舍去不合题意的值即可．
三、解答题（共4题，共35分）
15．（2024八下·长沙期末）我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题．
（1）如果，则________；（直接写出答案）
（2）如果x满足，试求x的值，请写出必要的解答过程．
【答案】（1）
（2）解：原方程整理得：，
则，
解得：或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：（1）如果，则，
故答案为：；
【分析】
（1）利用平方根的定义即可求得答案；
（2）利用平方根的定义直接开平方，再移项即可．
（1）解：如果，则，
故答案为：；
（2）解：原方程整理得：，
则，
解得：或．
16．用直接开平方法解下列方程．
（1）x2=8；
（2）(x-3)2=12．
【答案】（1）解：x2=8，x2=16，x1=4，x2=-4
（2）解：(x-3)2=12，(x-3)2=36，x-3=±6，x1=9，x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将二次项系数化为1，即可直接开平方；
（2）两边同乘3，再直接开平法即可求解。
17．（2024八下·北仑期末）小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶
解方程∶
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）请用适当方法给出正确的解答．
【答案】（1）4
（2）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）小明的解法从第4步开始出现错误，
理由：第4步应为：(x-5)(x-1)=0.
故答案为：4．
（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据0乘以任何数都等于0，1乘以除0以外的任何数都等于任何数的情况，故小明的解法出现了漏解，故从第4步开始出现错误；
（2）用直接开平方法解方程即可．
（1）解：小明的解法从第4步开始出现错误，
∵0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数，
∴还有的情况．
故答案为：4．
（2）
18．（2024八下·义乌月考）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值.
【答案】（1）证明：∵，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：解方程得，，
即，或，，
∵2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，
∴或，
解方程得，（舍去），
解方程得，（舍去）.
即的值为或.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出方程根的判别式的值，结合偶数次幂的非负性即可得出结论；
（2）先利用因式分解法求出两个根，根据勾股定理，考虑斜边直角边的不同情况建立方程求解即可.
1 / 12.2 一元二次方程的解法（2）直接开平方法——浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分）
1．用直接开平方法解下列一元二次方程， 其中无解的方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·百色期中）一元二次方程的根为（　　）
A． B．
C．， D．
3．（2025八下·浦江月考）对于方程，下列叙述正确的是（　　）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为或
D．当时，
4．老师提出问题： 解方程 . 四位同学给出了以下答案； 小琪： ； 子航： ； 一航： ；萱萱 ， . 你认为答案正确的是（　　）
A．小琪 B．子航 C．一观 D．萱萱
5．（初中数学浙教版八下精彩练习2.2一元二次方程的解法（2））一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+6=4，则另一个是（　　）
A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4
6．（2025八下·杭州期中）形如的方程，它的根是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·苍梧期中）已知方程的解也是方程的一个解，则m的值是（　　）
A．2 B． C． D．
8．（2024八下·平果期中）下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（每题3分，共21分）
9．（2025八下·龙港期中）关于x的一元二次方程x2=9的解为　 　.
10．（2024八下·苍梧期中）已知一元二次方程，则它的根为　 　．
11．（2024八下·蜀山期中）当　 　时，代数式与的值互为倒数．
12．（2023八下·上城期中） 关于的一元二次方程的两个根分别是与，则　 　 ．
13．（1） 若关于 的方程 的两个根分别是 与 ， 则 　 　．
（2） 若关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ， 则方程 的根是　 　．
14．（2024八下·金东期中）对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程的解为　 　．
三、解答题（共4题，共35分）
15．（2024八下·长沙期末）我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题．
（1）如果，则________；（直接写出答案）
（2）如果x满足，试求x的值，请写出必要的解答过程．
16．用直接开平方法解下列方程．
（1）x2=8；
（2）(x-3)2=12．
17．（2024八下·北仑期末）小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶
解方程∶
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）请用适当方法给出正确的解答．
18．（2024八下·义乌月考）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，故此选项不符合题意；
B、∵x2=0，∴x=0，故此选项不符合题意；
C、∵x2+4=0，∴x2=-4，∵x2≥0，∴此方程无解，故此选项符合题意；
D、-x2+3=0，x2=3，∴x=±，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“x2=m（m≥0）”即可利用直接开平方法求解，据此分别求解每一个选项中的方程，即可判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】运用直接开方法解一元二次方程即可．
3．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当时，根据偶数次幂的非负性，可得方程没有实数根，故A选项错误；
当时，方程有实数根，则，解得，，故C选项正确，B选项错误；
当时，解得，故D选项错误．
故答案为：C．
【分析】分类讨论：①当c＞0时，方程有实数根，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，求解即可判断B、C选项；②当c=0时，方程有实数根，利用直接开平方法将方程降次为一个一元一次方程，求解即可判断D选项；③当c＜0时，根据偶数次幂的非负性，可得方程没有实数根，可判断A选项.
4．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ x2-8=0，
∴x2=8，
∴ x=±，
∴x1=，x1=- .
故答案为：D.
【分析】直接开平方法即可求解.
5．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x+6）2=16 ，
∴x+6=4或 x+6=-4 .
故答案为：D.
【分析】将方程两边同时开方，即可解答.
6．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵（x+m）2=n（n≥0），
∴x+m=，
∴x=-m，
故答案为：D．
【分析】根据直接开平方法的步骤和条件进行计算，即可得出答案．
7．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】，
解得：，
把代入方程得：
，
解得：，
故选：C．
【分析】
利用直接开平方法先求出方程的解，再把x的值代入方程中， 以此来求解未知数 m 的值。
8．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，即：，
开方，得：，
则计算步骤最先出错的是甲，
故选：A．
【分析】
直接开方得到：4x= (2x+8)。对比题目中给出的选项，发现甲、乙、丙、丁四步中，最先出错的是甲，即在开方的步骤中出现了错误。
9．【答案】x1=3； x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2=9，
∴x=
∴x=±3，
∴x1=3，x2=-3.
故答案为：x1=3，x2=-3.
【分析】由于此题缺一次项，故利用平方根定义，直接开平方求解即可.
10．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：。
【分析】先将常数项25移项到方程的右边，再利用直接开平方法求解．
11．【答案】
【知识点】有理数的倒数；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵代数式与的值互为倒数，
∴，
即：，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据互为倒数的两个代数式的积等于，列出方程，解方程即可．
12．【答案】2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴m=2，
故答案为：2.
【分析】观察方程，可以直接利于开平方法解方程，该方程的两个根互为相反数，则，即m=2.
13．【答案】（1）1
（2）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得方程的两个和互为相反数，
∴m+1+2m-4=0，
解得：m=1，
故答案为：1；
（2）∵方程可变形为：，
∵ 关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ，
∴2x-1=3或2x-1=7，
解得：x=2或x=4，
故答案为：.
【分析】（1）利用“方程的两个和互为相反数”可得m+1+2m-4=0，再求出m的值即可；
（2）将原方程变形为，再结合“关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ”可得2x-1=3或2x-1=7，最后求出x的值即可.
14．【答案】2或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当时，则，即，
解得或（舍去）；
当时，则，即，
解得或（舍去）；
综上所述，方程的解为或，
故答案为：2或．
【分析】由题意得：当时，方程为；当时，方程为；分别解方程并舍去不合题意的值即可．
15．【答案】（1）
（2）解：原方程整理得：，
则，
解得：或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：（1）如果，则，
故答案为：；
【分析】
（1）利用平方根的定义即可求得答案；
（2）利用平方根的定义直接开平方，再移项即可．
（1）解：如果，则，
故答案为：；
（2）解：原方程整理得：，
则，
解得：或．
16．【答案】（1）解：x2=8，x2=16，x1=4，x2=-4
（2）解：(x-3)2=12，(x-3)2=36，x-3=±6，x1=9，x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将二次项系数化为1，即可直接开平方；
（2）两边同乘3，再直接开平法即可求解。
17．【答案】（1）4
（2）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）小明的解法从第4步开始出现错误，
理由：第4步应为：(x-5)(x-1)=0.
故答案为：4．
（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据0乘以任何数都等于0，1乘以除0以外的任何数都等于任何数的情况，故小明的解法出现了漏解，故从第4步开始出现错误；
（2）用直接开平方法解方程即可．
（1）解：小明的解法从第4步开始出现错误，
∵0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数，
∴还有的情况．
故答案为：4．
（2）
18．【答案】（1）证明：∵，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：解方程得，，
即，或，，
∵2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，
∴或，
解方程得，（舍去），
解方程得，（舍去）.
即的值为或.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出方程根的判别式的值，结合偶数次幂的非负性即可得出结论；
（2）先利用因式分解法求出两个根，根据勾股定理，考虑斜边直角边的不同情况建立方程求解即可.
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