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换元法解一元二次方程—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程 5=0有一个根为2025，则方程 1）=-5必有一个根为 （　　）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程 1）=-5 可整理为1）+5=0，与 方程 5=0 可知x+1=2025，
∴x=2024，
故答案为：A.
【分析】对比方程 1）=-5与1）+5=0知x+1=2025，从而得新方程的根.
2．（2025八下·瑞安期中） 已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：已知方程x2+3x-4=0的解为x1=1和x2=4，对于方程(2x-3)2+3(2x-3)-4=0，
设y=2x-3，则方程变为y2+3y-4=0，其解为y1=1和y2=-4，
将y替换回2x-3：1.当y=1时，2x-3=1，解得x=2；
2.当y=-4时，2x-3=-4，解得x=-0.5，
∴方程的解为x1=2和 x2=-0.5，
故答案为：C.
【分析】把(2x+3)看作一个整体，利用换元法解方程即可.
3．（2025八下·南湖期中） 若关于×的一元二次方程a（x-1）2-b=0（a≠0）有一根为2022，则方程ax2+4ax+4a=b必有根为（　　）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ a（x-1）2-b=0（a≠0）有一根为2022，
∴x-1=2022-1=2021，
又∵ ax2+4ax+4a=b ，即a（x+2）2-b=0，
∴x+2=2021，
解得x=2019，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得x-1=2021，则 方程ax2+4ax+4a=b必有根为 x+2=2021，求出x的值即可.
4．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A． B．4 C．或4 D．2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴或，
故选：C．
【分析】设，通过变移，转化关于k的一元二次方程求解，再代回求出待求代数式的值．
5．（2024八下·苍南期末）方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
令，则方程可转化为，
由题意得：，
即，
解得，
故答案为：B．
【分析】结合已知方程的解，设y=2x-1，利用换元法解一元二次方程即可得．
6．已知实数 满足方程 ， 则 的值是（　　）
A．2 B．-2 C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：利用，
∴方程可变形为（m+1）2=9，
∴m+1=±3，
解得：m1=2，m2=-4（舍），
∴
故答案为：A.
【分析】利用换元法可得方程可变形为（m+1）2=9，再利用直接开平方法的计算方法求解一元二次方程即可。
7．已知m，n都是实数，且 =0，则 的值为 （　　）
A．-1 B．3 C．1或3 D．-1或3
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令t=m2+n2，
∵m2+n2≥0，
故t≥0；
则原等式可转化为t（t-2）-3=0，
整理得：t2-2t-3=0，
则（t-3）（t+1）=0
∴t-3=0，t+1=0，
解得：t=3或t=-1（舍去）；
故答案为：B.
【分析】令m2+n2，根据十字相乘法解一元二次方程即可求出t的值.
8．在分式方程=5中，设=y，可得到关于y的整式方程为（　　）
A．y2+5y+5=0 B．y2-5y+5=0 C．y2+5y+1=0 D．y2-5y+1=0
【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： =5
设=y，
∴原方程化为y-=5，
去分母得：y2-5y+1=0.
故答案为：D.
【分析】设=y，则，原方程化为y-=5，再去分母即可.
二、填空题
9．（2025八下·温州期中）已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：y-1=2或y-1=3，
解得y1=3，y2=4.
故答案为：y1=3，y2=4.
【分析】把“y-1”看成一个整体，通过观察题干中的两个方程发现第二个方程中的“y-1”相当于第一个方程中的“x”，然后根据第一个方程给出的x的值，可得y-1=2或y-1=3，求解即可.
10．（2025八下·柯桥月考）若关于x的方程（均为常数）的解是，则关于x的方程的解是　 　.
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 方程的解是，
∴ 方程的解是x-3=-3，x-3=2，
解得，
故答案为：.
【分析】利用换元法得到x-3=-3，x-3=2，求出x的值即可解题.
11．（2024八下·宁海期中）已知，则的值是　 　．
【答案】2
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
故答案为：2．
【分析】设，原方程化为，解一元二次方程即可求解。
12．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
13．（2024八下·义乌月考）若方程（x2﹣1）（x2﹣4）＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k＝　 　．
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x2=y，原方程化为，即y2-5y+（4-k）=0，
设此方程有实根α，β（0＜α＜β），
则原方程的四个实根为±，±，
∵ 它们在数轴上等距排列，-=-（-）
即β=9α，
由根和系数的关系可得 α+β=5，αβ=4-k，
解得k=
且满足△=25+4k-16＞0，
∴k=．
故答案是：．
【分析】先将看成一个整体，设出方程的根，根据对应的四个点等距排列得到β=9α，再根据根与系数的关系求出k即可.
14．（2020八下·温州期末）若关于 的一元二次方程 的解为 ， ，则关于 的一元二次方程 的解为　 　.
【答案】 ，
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令
则方程 可变形为
由题意得：关于t的方程 的解为 ，
即 ，
解得 ，
则关于 的一元二次方程 的解为 ，
故答案为： ， .
【分析】将y+1看着整体，结合两方程的特点可得y+1=1，y+1=2，然后可求出y的值。
三、解答题
15．选择适当的方法解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
【答案】（1）解：(x-5)(x+2)=8，
x2-3x-10=8，
x2-3x-18=0，
(x-6)(x+3)=0，
解得x1=6，x2=-3；
（2）解：x2-2x+1-2x2+2=0，
-x2-2x+3=0，
x2+2x-3=0，
(x-1)(x+3)=0，
解得，x1=1，x2=-3；
（3）解：设x+3=y，
则y2=-2y，即y2+2y=0，与y(y+2)=0，
解得y1=0，y2=-2，
则x+3=0，x+3=-2，
解得x1=-3，x2=-5.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先化简，再利用因式分解法，即可求得；
（3）利用换元法设x+3=y，将原方程化为y2+2y=0，再利用因式分解求得y，即可求得方程的解.
16．为解方程 ， 我们可以将 视为一个整体， 然后设 ，则原方程可化为 ， 解此方程得 ．
当 时， ；
当 时， ．
原方程的根为 ．
运用上述方法解下列方程：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：
（2）解：设x2=t，则原方程可化为t2-2t-3=0，
解得：t1=-1，t2=3，
当t=-1时，x2=-1，无解；
当t=3时，x2=3，∴x=±
∴
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用换元法求解一元二次方程即可；
（2）参照题干中的计算方法，利用换元法求解一元二次方程即可.
17．阅读下列材料：为解方程x4-x2-6=0，可将方程变形为(x2)2-x2-6=0，然后设x2=y，则(x2)2=y2，原方程化为y2-y-6=0①， 解①得y1=-2，y2=3．当y1=-2时，x2=-2无意义，舍去；当y2=3时，x2=3，解得x=±……原方程的解为x1= ，x2= ．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题转化成简单的问题．
（1）利用以上学习到的方法解下列方程：
①(x2-2x)2-5x2+ 10x+6=0；
②3x2+15x+2=2．
（2）如果(m2+n2-1)(m2+n2+2)=4，求m2+n2的值
【答案】（1）解：①(x2-2x)2-5x2+10x+6=0，即(x2-2x)2-5(x2-2x)+6=0，设
y=x2 -2x，则原方程化为y2-5y+6=0，
(y-2)(y -3)=0，y1=2，y2=3，
当y1=2时，x2-2x=2，解得x=1±；
当y2=3时，x2-2x=3，解得x=3或-1，
∴原方程的解为x1=1+ ，x2=1- ，x3=3，x4=-1．
②3x2+15x+ =2，即3(x2+5x+1)+2 -5=0，
设y= ，则原方程化为3y2+2y-5=0，
(3y+5)(y-1)=0，y1= ，y2=1，当y1= 时， = 无意义，舍去；
当y2=1时， =1，即x2+5x=0，解得x1=0，x2=-5，
经检验，x1=0，x2=-5是原方程的解．
（2）解：(m2 +n2-1)(m2+n2+2)=4，
设m2 +n2 =y，则原方程化为(y-1)(y+2)=4，即y2+y-6=0，
(y+3)(y-2)=0，解得y1=-3，y2=2．
∵m2+n2不能是负数，∴m2+n2=2．
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）①设y=x2 -2x，则原方程化为y2-5y+6=0，解出y值，从而得出两个关于x的一元二次方程，分别求解即可；
②设y= ，则原方程化为3y2+2y-5=0，解出y值，从而得出两个关于x的方程，分别解之即可；
（2）设m2 +n2 =y，则原方程化为(y-1)(y+2)=4，解出y值，即可得解.
18．阅读材料：
为解方程 ，我们可以将 看作一个整体，设 ，那么原方程可化为 ，解得 .当 时， ；当 时， ，故原方程的根为
（1）请你仿照上述方法解方程： .
（2）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且 ，则这个直角三角形的斜边长为　 　
【答案】（1）解：设 ，则原方程可化为 ，解得 ， (舍去).当 时， ，
原方程的根为
（2）
【知识点】勾股定理；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(2)设a2+b2=x，
x(x+1)=12，
x2+x-12=0，
(x+4)(x-3)=0，
∴x=3或-4（舍去），
∴a2+b2=3，
∴斜边长==.
故答案为：.
【分析】(1)根据题干的方法，设 ， 把原方程化为一元二次方程求解，结合y>0，求出y值，然后解 即可；
(2)设a2+b2=x，把原方程化为一元二次方程求解，结合x>0，求出x值，然后根据勾股定理求斜边长即可.
1 / 1换元法解一元二次方程—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程 5=0有一个根为2025，则方程 1）=-5必有一个根为 （　　）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
2．（2025八下·瑞安期中） 已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2025八下·南湖期中） 若关于×的一元二次方程a（x-1）2-b=0（a≠0）有一根为2022，则方程ax2+4ax+4a=b必有根为（　　）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
4．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A． B．4 C．或4 D．2
5．（2024八下·苍南期末）方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
6．已知实数 满足方程 ， 则 的值是（　　）
A．2 B．-2 C． D．不能确定
7．已知m，n都是实数，且 =0，则 的值为 （　　）
A．-1 B．3 C．1或3 D．-1或3
8．在分式方程=5中，设=y，可得到关于y的整式方程为（　　）
A．y2+5y+5=0 B．y2-5y+5=0 C．y2+5y+1=0 D．y2-5y+1=0
二、填空题
9．（2025八下·温州期中）已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为　 　．
10．（2025八下·柯桥月考）若关于x的方程（均为常数）的解是，则关于x的方程的解是　 　.
11．（2024八下·宁海期中）已知，则的值是　 　．
12．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是　 　．
13．（2024八下·义乌月考）若方程（x2﹣1）（x2﹣4）＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k＝　 　．
14．（2020八下·温州期末）若关于 的一元二次方程 的解为 ， ，则关于 的一元二次方程 的解为　 　.
三、解答题
15．选择适当的方法解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
16．为解方程 ， 我们可以将 视为一个整体， 然后设 ，则原方程可化为 ， 解此方程得 ．
当 时， ；
当 时， ．
原方程的根为 ．
运用上述方法解下列方程：
（1） ．
（2） ．
17．阅读下列材料：为解方程x4-x2-6=0，可将方程变形为(x2)2-x2-6=0，然后设x2=y，则(x2)2=y2，原方程化为y2-y-6=0①， 解①得y1=-2，y2=3．当y1=-2时，x2=-2无意义，舍去；当y2=3时，x2=3，解得x=±……原方程的解为x1= ，x2= ．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题转化成简单的问题．
（1）利用以上学习到的方法解下列方程：
①(x2-2x)2-5x2+ 10x+6=0；
②3x2+15x+2=2．
（2）如果(m2+n2-1)(m2+n2+2)=4，求m2+n2的值
18．阅读材料：
为解方程 ，我们可以将 看作一个整体，设 ，那么原方程可化为 ，解得 .当 时， ；当 时， ，故原方程的根为
（1）请你仿照上述方法解方程： .
（2）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且 ，则这个直角三角形的斜边长为　 　
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程 1）=-5 可整理为1）+5=0，与 方程 5=0 可知x+1=2025，
∴x=2024，
故答案为：A.
【分析】对比方程 1）=-5与1）+5=0知x+1=2025，从而得新方程的根.
2．【答案】C
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：已知方程x2+3x-4=0的解为x1=1和x2=4，对于方程(2x-3)2+3(2x-3)-4=0，
设y=2x-3，则方程变为y2+3y-4=0，其解为y1=1和y2=-4，
将y替换回2x-3：1.当y=1时，2x-3=1，解得x=2；
2.当y=-4时，2x-3=-4，解得x=-0.5，
∴方程的解为x1=2和 x2=-0.5，
故答案为：C.
【分析】把(2x+3)看作一个整体，利用换元法解方程即可.
3．【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ a（x-1）2-b=0（a≠0）有一根为2022，
∴x-1=2022-1=2021，
又∵ ax2+4ax+4a=b ，即a（x+2）2-b=0，
∴x+2=2021，
解得x=2019，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得x-1=2021，则 方程ax2+4ax+4a=b必有根为 x+2=2021，求出x的值即可.
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴或，
故选：C．
【分析】设，通过变移，转化关于k的一元二次方程求解，再代回求出待求代数式的值．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
令，则方程可转化为，
由题意得：，
即，
解得，
故答案为：B．
【分析】结合已知方程的解，设y=2x-1，利用换元法解一元二次方程即可得．
6．【答案】A
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：利用，
∴方程可变形为（m+1）2=9，
∴m+1=±3，
解得：m1=2，m2=-4（舍），
∴
故答案为：A.
【分析】利用换元法可得方程可变形为（m+1）2=9，再利用直接开平方法的计算方法求解一元二次方程即可。
7．【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令t=m2+n2，
∵m2+n2≥0，
故t≥0；
则原等式可转化为t（t-2）-3=0，
整理得：t2-2t-3=0，
则（t-3）（t+1）=0
∴t-3=0，t+1=0，
解得：t=3或t=-1（舍去）；
故答案为：B.
【分析】令m2+n2，根据十字相乘法解一元二次方程即可求出t的值.
8．【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： =5
设=y，
∴原方程化为y-=5，
去分母得：y2-5y+1=0.
故答案为：D.
【分析】设=y，则，原方程化为y-=5，再去分母即可.
9．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：y-1=2或y-1=3，
解得y1=3，y2=4.
故答案为：y1=3，y2=4.
【分析】把“y-1”看成一个整体，通过观察题干中的两个方程发现第二个方程中的“y-1”相当于第一个方程中的“x”，然后根据第一个方程给出的x的值，可得y-1=2或y-1=3，求解即可.
10．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 方程的解是，
∴ 方程的解是x-3=-3，x-3=2，
解得，
故答案为：.
【分析】利用换元法得到x-3=-3，x-3=2，求出x的值即可解题.
11．【答案】2
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
故答案为：2．
【分析】设，原方程化为，解一元二次方程即可求解。
12．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
13．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x2=y，原方程化为，即y2-5y+（4-k）=0，
设此方程有实根α，β（0＜α＜β），
则原方程的四个实根为±，±，
∵ 它们在数轴上等距排列，-=-（-）
即β=9α，
由根和系数的关系可得 α+β=5，αβ=4-k，
解得k=
且满足△=25+4k-16＞0，
∴k=．
故答案是：．
【分析】先将看成一个整体，设出方程的根，根据对应的四个点等距排列得到β=9α，再根据根与系数的关系求出k即可.
14．【答案】 ，
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令
则方程 可变形为
由题意得：关于t的方程 的解为 ，
即 ，
解得 ，
则关于 的一元二次方程 的解为 ，
故答案为： ， .
【分析】将y+1看着整体，结合两方程的特点可得y+1=1，y+1=2，然后可求出y的值。
15．【答案】（1）解：(x-5)(x+2)=8，
x2-3x-10=8，
x2-3x-18=0，
(x-6)(x+3)=0，
解得x1=6，x2=-3；
（2）解：x2-2x+1-2x2+2=0，
-x2-2x+3=0，
x2+2x-3=0，
(x-1)(x+3)=0，
解得，x1=1，x2=-3；
（3）解：设x+3=y，
则y2=-2y，即y2+2y=0，与y(y+2)=0，
解得y1=0，y2=-2，
则x+3=0，x+3=-2，
解得x1=-3，x2=-5.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先化简，再利用因式分解法，即可求得；
（3）利用换元法设x+3=y，将原方程化为y2+2y=0，再利用因式分解求得y，即可求得方程的解.
16．【答案】（1）解：
（2）解：设x2=t，则原方程可化为t2-2t-3=0，
解得：t1=-1，t2=3，
当t=-1时，x2=-1，无解；
当t=3时，x2=3，∴x=±
∴
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用换元法求解一元二次方程即可；
（2）参照题干中的计算方法，利用换元法求解一元二次方程即可.
17．【答案】（1）解：①(x2-2x)2-5x2+10x+6=0，即(x2-2x)2-5(x2-2x)+6=0，设
y=x2 -2x，则原方程化为y2-5y+6=0，
(y-2)(y -3)=0，y1=2，y2=3，
当y1=2时，x2-2x=2，解得x=1±；
当y2=3时，x2-2x=3，解得x=3或-1，
∴原方程的解为x1=1+ ，x2=1- ，x3=3，x4=-1．
②3x2+15x+ =2，即3(x2+5x+1)+2 -5=0，
设y= ，则原方程化为3y2+2y-5=0，
(3y+5)(y-1)=0，y1= ，y2=1，当y1= 时， = 无意义，舍去；
当y2=1时， =1，即x2+5x=0，解得x1=0，x2=-5，
经检验，x1=0，x2=-5是原方程的解．
（2）解：(m2 +n2-1)(m2+n2+2)=4，
设m2 +n2 =y，则原方程化为(y-1)(y+2)=4，即y2+y-6=0，
(y+3)(y-2)=0，解得y1=-3，y2=2．
∵m2+n2不能是负数，∴m2+n2=2．
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）①设y=x2 -2x，则原方程化为y2-5y+6=0，解出y值，从而得出两个关于x的一元二次方程，分别求解即可；
②设y= ，则原方程化为3y2+2y-5=0，解出y值，从而得出两个关于x的方程，分别解之即可；
（2）设m2 +n2 =y，则原方程化为(y-1)(y+2)=4，解出y值，即可得解.
18．【答案】（1）解：设 ，则原方程可化为 ，解得 ， (舍去).当 时， ，
原方程的根为
（2）
【知识点】勾股定理；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(2)设a2+b2=x，
x(x+1)=12，
x2+x-12=0，
(x+4)(x-3)=0，
∴x=3或-4（舍去），
∴a2+b2=3，
∴斜边长==.
故答案为：.
【分析】(1)根据题干的方法，设 ， 把原方程化为一元二次方程求解，结合y>0，求出y值，然后解 即可；
(2)设a2+b2=x，把原方程化为一元二次方程求解，结合x>0，求出x值，然后根据勾股定理求斜边长即可.
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