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根的判别式及应用—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2023八下·义乌月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B．且 C． D．且
2．（2023八下·瑞安期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
3．（2025八下·山东期末）关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
4．（2025八下·成都期末） 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
5．（2025八下·莲都期末） 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（　　）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
6．（2025八下·新昌期末） 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024八下·西湖月考）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
8．（2022八下·临淄期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．（2025八下·杭州月考）若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根，则c的取值范围是　 　.
10．（2025八下·玉环期末） 已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为　 　．
11．（2025八下·舟山期末） 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
12．（2025八下·浙江期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
13．（2025八下·瑞安期中）已知等腰三角形的一边长为2，它的其他两条边长恰好是关于x的一元二次方程x2-6x+m=0 的两个实数根，则m的值为　 　.
14．（2024八下·诸暨月考）对于一元二次方程，下列说法：
若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有　 　个．（填个数）
三、解答题
15．（2024八下·广饶期末）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值．
16．（2025八下·温州期末）已知一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值．
（2）当时，求证：方程有两个实数根．
17．（2025八下·雨花期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
18．（2025八下·浙江月考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当方程的一个根是1时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
则k的取值范围是且，
故答案为：B．
【分析】利用已知可得到b2-4ac≥0且 k-1≯0，据此可得到关于k的不等式组 ，然后求出不等式组的解集可得到k的取值范围.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ x2+kx+k-1=0，
∴b2-4ac=k2-4（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2，
当k为任意实数时，（k-2）2≥0即b2-4ac≥0，
∴方程有两个实数根.
故答案为：A
【分析】先求出b2-4ac的值，将其转化为完全平方式，再证明b2-4ac≥0，可得到方程有两个实数根.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∵，
∴方程始终有两个不相等的实数根，
故选：A．
【分析】计算根的判别式，根据判断方程根的情况解答即可．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
m+1≠0，解得m≠-1，
=b2 4ac=4-4（m+1）=4-4m-4=-4m＞0，解得m＜0，
综上所述答案为：A.
【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据已知条件需要同时满足：一元二次方程的定义（二次项系数不为 0），根的判别式 ＞0（有两个不相等实数根），综合两个条件求的取值范围 .
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2，
∴ac<0，
∴a≠0.
在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】将题目中的不等式进行化简，得出关于a和c的关系，然后利用根的判别式来判断方程的根的情况.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知ax2-ax+c=0没有实数根，
∴Δ=(-a)2-4ac=a2-4ac=a(a-4c)<0，
∴当a>0时，a-4c<0，
当a<0时，a-4c>0，
故答案为：D.
【分析】一元二次方程没有实数根的条件是判别式Δ<0，通过计算判别式并分析其符号，结合选项中的条件确定正确选项.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若，则方程有一个根为，
∴；故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则：，
∴方程的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
③若是方程的一个根，则，
当时，有，当c=0时不成立，故③错误；
④若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式和方程的解进行判断，①中由， 可得方程有根x=1，于是可得判别式≥0，可判断结论；②根据题意得，结合题意可判断结论；③根据c为一根，可得，分c=0和c≠0两种情况进行讨论，即可判断结论；④根据题意得，变形即可判断结论．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，a×+b×1+c=a+b+c=0，
那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，
故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，
则ac+b+1=0；当c=0，
则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，
由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．
由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根逐项判断即可。
9．【答案】c＞1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由条件可知Δ=(-2)2-4c<0，
解得c>1.
故答案为：c>1.
【分析】根据根的判别式即可求解.
10．【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的方程(k-2)x2-x+1=0(k为常数)有两个实数根，
∴Δ=(-1)2-4(k-2)x1≥0且k-2≠0，
解得且k≠2，
故答案为：且k≠2.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵[x，m]*[x+5，5]=0，
∴x(x+5)-5m=0，即x2+5x-5m=0，
∵关于x的方程[x，m]*[x+5，5]=0有两个不相等的实数根，
∴25+20m>0，
解得，
故答案为：.
【分析】将定义运算展开为二次方程，再根据判别式求解参数范围.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据运算法则，由得：，
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先由新运算的定义化方程为关于x的一元二次方程，再依据一元二次方程根的判别式列关于m的一元一次方程并求解即可，另注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．
13．【答案】9
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当2为腰长时，将x=2代入x2-6x+m=0，
得：22-6×2+m=0，
解得：m=8，
当m=8时，原方程为x2-6x+8-0，
解得：x1=2，x2=4，
∵2+2=4，
∴2，2，4不能组成三角形，
∴m=8舍去；
当2为底边长时，关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，
∴ =(-6)2-4×1×m=0，
解得：m=9，
当m=9时，原方程为x2-6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
∵2，3，3能组成三角形，
∴m=9符合题意，
∴m的值为9.
故答案为：9.
【分析】分2为腰长及2为底边长两种情况，求出m的值.
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：① 若方程有一根， 代入得：a－b+c=0，即b－a－c=0.故①正确，符合题意；
②当x=1时，有a+b+c=0，故此时方程有解，所以，故②正确，符合题意；
③令x-1=y，可变形成.
∵方程 和是同解方程，设的两个根是m，n，
则x-1=m或x-1=n.
∴，或，解得：m=1，n=4.
即方程的两个根为，；故③正确，符合题意；
④∵是方程的一个根， ∴.
当c≠0时， .
当c=0时，不一定成立，故④错误，不符合题意.
故有3个说法正确.
故答案为：3.
【分析】把x=-1代入方程，即可判断结论①；
根据a+b+c=0得方程有根x=1，故判别式≥0，据此可判断②；
令x-1=y，则 和 是同解方程，可得或，如此即可得到方程的两个根，据此判断③；
把x=c代入得，可得c=0或aa+b+c=0，故a+b+c=0不一定成立，据此可判断④.
15．【答案】（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，
，．
方程两个根的绝对值相等，
．
或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；求有理数的绝对值的方法；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程有两个实数根.
（2）根据因式分解法解方程可得，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，
，．
方程两个根的绝对值相等，
．
或．
16．【答案】（1）解：∵ 方程的一个根为2 ，
把代入一元二次方程中，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）把代入方程，变形得到，然后代入求解即可；
（2）将变形得到，然后由判别式b2-4ac≥0即可证明．
（1）把代入，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
17．【答案】（1）证明：，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根
（2）解：，
解得：，，
方程的“友好点”为
（3）解：由题意，∵直线，
∴过定点，∴两个根为，
∴，
∴
∴，即
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）一元二次方程总有两个不相等的实数根，对应，只要证明根的判别式恒大于0即可，而该式化简为4>0，故得证；
（2）解这个一元二次方程得，，根据“友好点”定义得；
（3）将直线变形为，可知它过定点，故方程的两根为，由韦达定理可知，两式相除得4b+3c=0。
18．【答案】（1）解：对于 一元二次方程，
a=1，b=2m+1，c=m，
∴，
∴ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：当方程的一个根是1时，代入可得：
1+2m+1+m=0，
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解答；
（2）把x=1代入方程，即可得m的值.
1 / 1根的判别式及应用—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2023八下·义乌月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
则k的取值范围是且，
故答案为：B．
【分析】利用已知可得到b2-4ac≥0且 k-1≯0，据此可得到关于k的不等式组 ，然后求出不等式组的解集可得到k的取值范围.
2．（2023八下·瑞安期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ x2+kx+k-1=0，
∴b2-4ac=k2-4（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2，
当k为任意实数时，（k-2）2≥0即b2-4ac≥0，
∴方程有两个实数根.
故答案为：A
【分析】先求出b2-4ac的值，将其转化为完全平方式，再证明b2-4ac≥0，可得到方程有两个实数根.
3．（2025八下·山东期末）关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∵，
∴方程始终有两个不相等的实数根，
故选：A．
【分析】计算根的判别式，根据判断方程根的情况解答即可．
4．（2025八下·成都期末） 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
m+1≠0，解得m≠-1，
=b2 4ac=4-4（m+1）=4-4m-4=-4m＞0，解得m＜0，
综上所述答案为：A.
【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据已知条件需要同时满足：一元二次方程的定义（二次项系数不为 0），根的判别式 ＞0（有两个不相等实数根），综合两个条件求的取值范围 .
5．（2025八下·莲都期末） 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（　　）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2，
∴ac<0，
∴a≠0.
在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】将题目中的不等式进行化简，得出关于a和c的关系，然后利用根的判别式来判断方程的根的情况.
6．（2025八下·新昌期末） 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知ax2-ax+c=0没有实数根，
∴Δ=(-a)2-4ac=a2-4ac=a(a-4c)<0，
∴当a>0时，a-4c<0，
当a<0时，a-4c>0，
故答案为：D.
【分析】一元二次方程没有实数根的条件是判别式Δ<0，通过计算判别式并分析其符号，结合选项中的条件确定正确选项.
7．（2024八下·西湖月考）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若，则方程有一个根为，
∴；故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则：，
∴方程的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
③若是方程的一个根，则，
当时，有，当c=0时不成立，故③错误；
④若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式和方程的解进行判断，①中由， 可得方程有根x=1，于是可得判别式≥0，可判断结论；②根据题意得，结合题意可判断结论；③根据c为一根，可得，分c=0和c≠0两种情况进行讨论，即可判断结论；④根据题意得，变形即可判断结论．
8．（2022八下·临淄期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，a×+b×1+c=a+b+c=0，
那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，
故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，
则ac+b+1=0；当c=0，
则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，
由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．
由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根逐项判断即可。
二、填空题
9．（2025八下·杭州月考）若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根，则c的取值范围是　 　.
【答案】c＞1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由条件可知Δ=(-2)2-4c<0，
解得c>1.
故答案为：c>1.
【分析】根据根的判别式即可求解.
10．（2025八下·玉环期末） 已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的方程(k-2)x2-x+1=0(k为常数)有两个实数根，
∴Δ=(-1)2-4(k-2)x1≥0且k-2≠0，
解得且k≠2，
故答案为：且k≠2.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解.
11．（2025八下·舟山期末） 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵[x，m]*[x+5，5]=0，
∴x(x+5)-5m=0，即x2+5x-5m=0，
∵关于x的方程[x，m]*[x+5，5]=0有两个不相等的实数根，
∴25+20m>0，
解得，
故答案为：.
【分析】将定义运算展开为二次方程，再根据判别式求解参数范围.
12．（2025八下·浙江期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据运算法则，由得：，
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先由新运算的定义化方程为关于x的一元二次方程，再依据一元二次方程根的判别式列关于m的一元一次方程并求解即可，另注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．
13．（2025八下·瑞安期中）已知等腰三角形的一边长为2，它的其他两条边长恰好是关于x的一元二次方程x2-6x+m=0 的两个实数根，则m的值为　 　.
【答案】9
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当2为腰长时，将x=2代入x2-6x+m=0，
得：22-6×2+m=0，
解得：m=8，
当m=8时，原方程为x2-6x+8-0，
解得：x1=2，x2=4，
∵2+2=4，
∴2，2，4不能组成三角形，
∴m=8舍去；
当2为底边长时，关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，
∴ =(-6)2-4×1×m=0，
解得：m=9，
当m=9时，原方程为x2-6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
∵2，3，3能组成三角形，
∴m=9符合题意，
∴m的值为9.
故答案为：9.
【分析】分2为腰长及2为底边长两种情况，求出m的值.
14．（2024八下·诸暨月考）对于一元二次方程，下列说法：
若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有　 　个．（填个数）
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：① 若方程有一根， 代入得：a－b+c=0，即b－a－c=0.故①正确，符合题意；
②当x=1时，有a+b+c=0，故此时方程有解，所以，故②正确，符合题意；
③令x-1=y，可变形成.
∵方程 和是同解方程，设的两个根是m，n，
则x-1=m或x-1=n.
∴，或，解得：m=1，n=4.
即方程的两个根为，；故③正确，符合题意；
④∵是方程的一个根， ∴.
当c≠0时， .
当c=0时，不一定成立，故④错误，不符合题意.
故有3个说法正确.
故答案为：3.
【分析】把x=-1代入方程，即可判断结论①；
根据a+b+c=0得方程有根x=1，故判别式≥0，据此可判断②；
令x-1=y，则 和 是同解方程，可得或，如此即可得到方程的两个根，据此判断③；
把x=c代入得，可得c=0或aa+b+c=0，故a+b+c=0不一定成立，据此可判断④.
三、解答题
15．（2024八下·广饶期末）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值．
【答案】（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，
，．
方程两个根的绝对值相等，
．
或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；求有理数的绝对值的方法；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程有两个实数根.
（2）根据因式分解法解方程可得，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，
，．
方程两个根的绝对值相等，
．
或．
16．（2025八下·温州期末）已知一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值．
（2）当时，求证：方程有两个实数根．
【答案】（1）解：∵ 方程的一个根为2 ，
把代入一元二次方程中，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）把代入方程，变形得到，然后代入求解即可；
（2）将变形得到，然后由判别式b2-4ac≥0即可证明．
（1）把代入，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
17．（2025八下·雨花期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
【答案】（1）证明：，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根
（2）解：，
解得：，，
方程的“友好点”为
（3）解：由题意，∵直线，
∴过定点，∴两个根为，
∴，
∴
∴，即
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）一元二次方程总有两个不相等的实数根，对应，只要证明根的判别式恒大于0即可，而该式化简为4>0，故得证；
（2）解这个一元二次方程得，，根据“友好点”定义得；
（3）将直线变形为，可知它过定点，故方程的两根为，由韦达定理可知，两式相除得4b+3c=0。
18．（2025八下·浙江月考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当方程的一个根是1时，求的值．
【答案】（1）解：对于 一元二次方程，
a=1，b=2m+1，c=m，
∴，
∴ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：当方程的一个根是1时，代入可得：
1+2m+1+m=0，
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解答；
（2）把x=1代入方程，即可得m的值.
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