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有理数——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·广东） 某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g， 那么低于标准质量0.02g记作（　　）
A．0.02g B．+0.02g C．0.04g D．+0.04g
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题上已知可知高于标准质量记为正，
∴低于标准质量记为负，
∴低于标准质量0.02g记作-0.02g。
故答案为：A。
【分析】用正负数来表示具有相反意义的两种量，高于标准质量记为正，那么低于标准质量就记为负。
2．－3的相反数是（　　）
A．－3 B． C．－ D．3
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．
【解答】-（-3)=3，
故-3的相反数是3．
故答案为：D．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
3．（2024·广州） 四个数，，，中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．10
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-10|=10，|-1|=1，10＞1＞0，
∴-10＜-1＜0＜10，
∴ 四个数-10，-1，0，10中，最小的数是-10.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可判断得出答案.
4．（2024·深圳）如图， 实数 在数轴上表示如下， 则最小的实数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：数轴上左边的数小于右边的数，即a故选：A.
【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系直接判断即可.
5．（2024·广东）计算的结果是（　　）
A．-2 B．-8 C．2 D．8
【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】按有理数加法法则进行计算即可.
6．（2023·广州）（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-（-2023）=2023.
故答案为：B.
【分析】此题求的是-2023的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案.
7．（2026七上·南山期末）比较大小： 　 　(填“>”“<”或“=”)．
【答案】<
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵有理数中，负数小于正数，
而是负数，是正数，
∴，
故答案为：<
【分析】本题考查有理数的大小比较规则，重点是负数与正数的大小关系。根据有理数大小比较的基本性质，所有负数都小于正数，结合题目中为负数、为正数的特征，可直接得出两者的大小关系。
8．（2026七上·福田期末）计算：
（1）（+7）+（-13）-（-8）
（2）
【答案】（1）解：原式=7-13+8
=2
（2）解：原式=1-10+3
=-6
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；有理数的加法运算律
【解析】【分析】本题考查有理数的混合运算，包括有理数的加减混合运算、乘方运算以及乘法分配律的应用。
(1)按照有理数加减混合运算的法则，减去一个负数等于加上它的相反数，将式子转化为有理数的加法运算，再依次计算；
(2)先计算乘方（负数的偶次幂为正数），再利用乘法分配律将括号内的每一项与相乘，简化计算，最后进行加减运算得出结果。
9．（2026七上·番禺期末）近期，某校校运会盛大开幕，火炬传递仪式在开幕式上顺利举行，全体师生以青春姿态致敬全运精神，本次仪式共安排12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为50米.现以50米为基准，火炬手实际里程超过50米的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值.如下表记录了部分火炬手的里程波动值.
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
里程波动值 2 6 　 1 3 -2 0 -5 　 3 4 1
（1）第7棒火炬手的实际里程为　 　米，第8棒火炬手的实际里程为　 　米.
（2）若第3棒火炬手的实际里程为55米，求第9棒火炬手的实际里程.
【答案】（1）50；45
（2）解：解法一：由题意得第3棒火炬手的里程波动值为5.
∵2+6+5+1+3-2+0-5+3+4+1
=2-2+5-5+1+1+6+3+3+4
=18（米）
∴0﹣18=-18（米）
∴50-18=32（米）
答：第9棒火炬手的实际里程为32米.
解法二：全程长为12×50=600 （米） .
其余火炬手已跑52+56+55+51+53+48+50+45+53+54+51=568（米）.
第9棒火炬手的实际里程为600-568=32（米）.
答：第9棒火炬手的实际里程为32米.
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
第7棒火炬手的实际里程为50+0=50米
第8棒火炬手的实际里程为50-5=45米
故答案为：50；45
【分析】（1）根据正负数表示具有相反意义的量，结合有理数的加减即可求出答案.
（2）根据题意，结合有理数的加减即可求出答案.
10．（2024七上·广东期中）已知，互为相反数，和互为倒数，的绝对值为，求．
【答案】解：∵，互为相反数，
∴，
∵和互为倒数，
∴，
∵的绝对值为，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】有理数的倒数；有理数混合运算法则（含乘方）；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
先利用定义和性质得出，，，再代入求值即可解答．
二、能力题
11．（2025·广州）若，反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函数的图象在第二、四象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
12．（2021七上·龙门期中）有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（　　）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的乘方法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：①；故①不符合题意；
②；故②不符合题意；
③；故③符合题意；
④；故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用有理数的加法法则，有理数的除法法则，乘方法则计算求解即可。
13．（2021·巴中）下列各式的值最小的是（　　）
A．20 B．|﹣2| C．2﹣1 D．﹣（﹣2）
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；零指数幂；负整数指数幂；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：20=1，|-2|=2，2-1= ，-（-2）=2，
∵ ＜1＜2，
∴最小的是2-1.
故答案为：C.
【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质可得20=1，2-1=，由绝对值的性质可得|-2|，根据去括号法则可得-(-2)，然后根据有理数的大小比较方法进行比较即可.
14．（2021·广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且 ，若 ，则点A表示的数为（　　）
A．-3 B．0 C．3 D．
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵
∴ ， 两点对应的数互为相反数，
∴可设 表示的数为 ，则 表示的数为 ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴点 表示的数为-3，
故答案为：A．
【分析】先求出 ， 两点对应的数互为相反数，再求出 ，最后求解即可。
15．（2024九上·天河月考）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则　 　．
【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；数轴上两点之间的距离；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出抛物线的解析式，后令，列求出x值解答即可．
16．（2022·柳州）如果水位升高 时水位变化记作 ，那么水位下降 时水位变化记作　 　．
【答案】
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意，水位上升为正，下降为负，
水位下降 记作 ．
故答案为：-2m.
【分析】正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，若规定水位上升为正，则水位下降为负，据此解答.
17．（2026七上·广州期末）计算：
（1）3×（-4）-（-28）÷7；
（2）
【答案】（1）解：原式=-12+4=-8；
（2）解：原式=-4+4-8+6=-2.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）首先进行乘除，再进行加减即可；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可。
18．（2019七上·龙湖期末）计算： .
【答案】解：原式=﹣1+6﹣9=﹣4
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数的运算法则计算即可。
19．（2025七上·揭阳月考）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
三、拓展题
20．（2025七上·深圳月考）根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示.
①A点表示的数是　 　；AB之间的距离是　 　；
②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是　 　；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合.
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　cm？
②图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　；
（3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为-37，
根据琪琪的想法，完成一下问题：
①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为 ▲ ，
②求奶奶现在多少岁了.
【答案】（1）-2；4；-2
（2）8；14；22
（3）解：①119；
②妙妙和奶奶的年龄差为：[119-（-3）]÷3=52（岁），
∴奶奶现在的年龄：119-52=67（岁）
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型；数轴的图形运动问题
【解析】【解答】（1）据数轴知，A表示的数是-2，B表示的数是2，
∴AB=2-(-2)=4，
将 点B向左平移4个单位 ，则2-4=-2，
此时 该点表示的数是 -2.
故答案为：①-2；4；②-2.
（2）①设 点A所表示的数是 a， 点B所表示的数是 b，木棒长为 （b-a） cm，
则b+（b-a）=30，6+（b-a）=a，
∴a=14，b=22，
∴x=b-a=8 cm，
故答案为：①8；②14；22.
【分析】（1）根据有理数在数轴上的表示方法及数轴相关知识点完成作答.
（2）根据题意列出方程组求解得a、b，从而确定木棒的长度.
（3）根据（2）的结论知：119与（-37）得差除以3即为两人的年龄差，再根据年龄差计算奶奶的年龄.完成作答.
21．（2024七上·天河期末）先阅读两则材料，然后解决问题：
材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解：
令①，
则②，
得：，
即．
材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；．
【解决问题】
（1）填空：______；______；
（2）已知，且，求的值；
（3）设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值．
【答案】（1）
（2）解：，且，
，
；
（3）解：，
，
，
，
线段的长为4，
，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，M的值为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；数轴上两点之间的距离；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）解：，，
故答案为：；
【分析】
本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键；
（1）根据题设中新定义的运算法则，直接列出算式，进行计算求值，即可得到答案；
（2）根据题意，先判断y的范围，结合题设中新定义，列出算式，进行化简，整体代入求值，即可得到答案；
（3）根据非负性，求得，结合新定义，得到，求出a的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，列式求得，分类讨论，列式求解，即可得到答案.
（1）解：，，
故答案为：；
（2）解：，且，
，
；
（3）解：，
，
，
，
线段的长为4，
，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，M的值为．
22．（2026七上·南山期末）“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程， “归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论．
（1）【探究】
数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对1+2+3+4+…+n的结果进行探究．具体操作如图：
分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下：直观发现： 小正方形的数量和依次为1×2， 2×3， 3×4， 4×5， …因此空白部分的小正方形的数量和依次为
请你归纳总结： 1+2+3+4+5+…+n=　 　；
（2）【迁移】
数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图：
①连续奇数的和
请你归纳总结： 1+3+5+7+…+(2n-1)= ▲ ；
②连续偶数的和
请你在网格中画出第④个图，并归纳总结： 2+4+6+8+…+2n= ▲ ；
（3）【应用】
利用以上结论，计算(101+103+105+…+199)+(202+204+206+…+300)的值．
【答案】（1）
（2）①n2
②如图：
n(n+1)
（3）解：
．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）①由图片知：
第1个图案所代表的算式为：，
第 2 个图案所代表的算式为：；
第3个图案所代表的算式为：；
第4个图案所代表的算式为：；
；
∴第个图案所代表的算式为： ；
故答案为：；
②第④个图，如图：
由图片知：
第1个图案所代表的算式为：，
第 2 个图案所代表的算式为：；
第3个图案所代表的算式为：；
第4个图案所代表的算式为：；
；
∴第个图案所代表的算式为：；
故答案为：；
【分析】本题考查图形变化与数字规律的归纳，以及利用规律进行有理数混合运算，核心是“数形结合”和“归纳推理”思想。
(1)根据图形组成的新正方形数量与空白部分小正方形数量的关系，空白部分数量即为连续自然数的和，归纳出的规律；
(2)①观察连续奇数和的图形，发现图形是边长为项数的正方形，正方形面积即为奇数和，归纳出规律；
②先根据前面的图形规律画出第④个图，再观察连续偶数和的结果与项数的关系，归纳出规律；
(3)将所求式子转化为“1到199的连续奇数和减去1到99的连续奇数和”加上“2到300的连续偶数和减去2到200的连续偶数和”，再利用前面归纳的规律分别计算各部分，最后求和得到结果。
23．（2026七上·南山期末）定义：若数轴上有两个点位于一点两侧，且到该点的距离相等，则称这两个点是关于该点的“联盟点”．
（1）【初步感知】
①在数轴上，若点B表示的数是5，点M表示的数是3，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则点A表示的数是　 　；
②在数轴上，若点A表示的数是a，点B表示的数是b，点M表示的数是m，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则a，b，m满足的数量关系是　 　；
（2）【问题探究】
如图1，点O为原点，点M表示的数是3，如果点C所表示的数是c(c<-3)，点C关于O点的“联盟点”是点D，点C关于点M的“联盟点”是点E，求线段DE的长度；
（3）【拓展延伸】
如图2，点F表示的数是1，点P， Q分别从数轴上表示的数是3和—2的点出发向右匀速运动，点P的速度是1个单位长度/秒，点Q的速度是k个单位长度/秒，设运动时间为t秒．点F关于点P的联盟点为点G，点G关于点Q的联盟点为点 H，是否存在一个k值，使得FH为定值．若存在，请求出k的值．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1；a+b=2m
（2）解：因为 点C 关于O 点的“联盟点”是D，
所以点D表示的数为-c，
因为点C关于点M的“联盟点”是E，
所以点E所表示的数为 6-c，
所以DE=6-c-(-c)=6，
所以线段DE 的长度为6 ；
（3）解：存在，理由如下：
根据题意得：点P 表示的数为3+t，点Q 表示的数为-2+kt，
因为 点 F关于点 P 的联盟点为点 G，
所以 点G表示的数为5+2t，
因为 点 G 关于点Q的联盟点为点 H，
所以 点 H 表示的数为(2k-2)t-9，
所以
因为 DF为定值，所以2k-2=0
解得：k=1
所以 当k=1时，DF为定值．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）①设点A表示的数为x，点B表示的数是5，点M表示的数是3，
∴点在点的右边，
∴点在点的左边，
根据题意可得，
解得，
故点A表示的数为1，
故答案是：1；
②根据题意可得点是的中点，
故，
化简得．
故答案为：
【分析】本题考查数轴上的“联盟点”定义、中点性质、数轴上点的坐标计算以及动点问题，核心是理解“联盟点”本质是两点关于某点对称（该点为两点中点）。
(1) ①根据联盟点定义，点是、中点，利用中点坐标公式列方程求出点表示的数；
②由中点坐标公式，中点等于两点坐标和的一半，推导、、的数量关系；
(2) 根据联盟点定义，原点是、中点，得出表示的数为，点是、中点，得出表示的数为，再计算两点间距离；
(3) 先表示出运动秒后、的坐标，再根据联盟点定义求出、的坐标，进而表示出的长度，若为定值，则含的项系数为0，据此求出的值。
1 / 1有理数——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·广东） 某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g， 那么低于标准质量0.02g记作（　　）
A．0.02g B．+0.02g C．0.04g D．+0.04g
2．－3的相反数是（　　）
A．－3 B． C．－ D．3
3．（2024·广州） 四个数，，，中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．10
4．（2024·深圳）如图， 实数 在数轴上表示如下， 则最小的实数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·广东）计算的结果是（　　）
A．-2 B．-8 C．2 D．8
6．（2023·广州）（　　）
A． B． C． D．
7．（2026七上·南山期末）比较大小： 　 　(填“>”“<”或“=”)．
8．（2026七上·福田期末）计算：
（1）（+7）+（-13）-（-8）
（2）
9．（2026七上·番禺期末）近期，某校校运会盛大开幕，火炬传递仪式在开幕式上顺利举行，全体师生以青春姿态致敬全运精神，本次仪式共安排12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为50米.现以50米为基准，火炬手实际里程超过50米的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值.如下表记录了部分火炬手的里程波动值.
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
里程波动值 2 6 　 1 3 -2 0 -5 　 3 4 1
（1）第7棒火炬手的实际里程为　 　米，第8棒火炬手的实际里程为　 　米.
（2）若第3棒火炬手的实际里程为55米，求第9棒火炬手的实际里程.
10．（2024七上·广东期中）已知，互为相反数，和互为倒数，的绝对值为，求．
二、能力题
11．（2025·广州）若，反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
12．（2021七上·龙门期中）有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（　　）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．（2021·巴中）下列各式的值最小的是（　　）
A．20 B．|﹣2| C．2﹣1 D．﹣（﹣2）
14．（2021·广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且 ，若 ，则点A表示的数为（　　）
A．-3 B．0 C．3 D．
15．（2024九上·天河月考）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则　 　．
16．（2022·柳州）如果水位升高 时水位变化记作 ，那么水位下降 时水位变化记作　 　．
17．（2026七上·广州期末）计算：
（1）3×（-4）-（-28）÷7；
（2）
18．（2019七上·龙湖期末）计算： .
19．（2025七上·揭阳月考）计算：．
三、拓展题
20．（2025七上·深圳月考）根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示.
①A点表示的数是　 　；AB之间的距离是　 　；
②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是　 　；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合.
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　cm？
②图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　；
（3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为-37，
根据琪琪的想法，完成一下问题：
①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为 ▲ ，
②求奶奶现在多少岁了.
21．（2024七上·天河期末）先阅读两则材料，然后解决问题：
材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解：
令①，
则②，
得：，
即．
材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；．
【解决问题】
（1）填空：______；______；
（2）已知，且，求的值；
（3）设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值．
22．（2026七上·南山期末）“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程， “归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论．
（1）【探究】
数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对1+2+3+4+…+n的结果进行探究．具体操作如图：
分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下：直观发现： 小正方形的数量和依次为1×2， 2×3， 3×4， 4×5， …因此空白部分的小正方形的数量和依次为
请你归纳总结： 1+2+3+4+5+…+n=　 　；
（2）【迁移】
数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图：
①连续奇数的和
请你归纳总结： 1+3+5+7+…+(2n-1)= ▲ ；
②连续偶数的和
请你在网格中画出第④个图，并归纳总结： 2+4+6+8+…+2n= ▲ ；
（3）【应用】
利用以上结论，计算(101+103+105+…+199)+(202+204+206+…+300)的值．
23．（2026七上·南山期末）定义：若数轴上有两个点位于一点两侧，且到该点的距离相等，则称这两个点是关于该点的“联盟点”．
（1）【初步感知】
①在数轴上，若点B表示的数是5，点M表示的数是3，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则点A表示的数是　 　；
②在数轴上，若点A表示的数是a，点B表示的数是b，点M表示的数是m，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则a，b，m满足的数量关系是　 　；
（2）【问题探究】
如图1，点O为原点，点M表示的数是3，如果点C所表示的数是c(c<-3)，点C关于O点的“联盟点”是点D，点C关于点M的“联盟点”是点E，求线段DE的长度；
（3）【拓展延伸】
如图2，点F表示的数是1，点P， Q分别从数轴上表示的数是3和—2的点出发向右匀速运动，点P的速度是1个单位长度/秒，点Q的速度是k个单位长度/秒，设运动时间为t秒．点F关于点P的联盟点为点G，点G关于点Q的联盟点为点 H，是否存在一个k值，使得FH为定值．若存在，请求出k的值．若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题上已知可知高于标准质量记为正，
∴低于标准质量记为负，
∴低于标准质量0.02g记作-0.02g。
故答案为：A。
【分析】用正负数来表示具有相反意义的两种量，高于标准质量记为正，那么低于标准质量就记为负。
2．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．
【解答】-（-3)=3，
故-3的相反数是3．
故答案为：D．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
3．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-10|=10，|-1|=1，10＞1＞0，
∴-10＜-1＜0＜10，
∴ 四个数-10，-1，0，10中，最小的数是-10.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：数轴上左边的数小于右边的数，即a故选：A.
【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系直接判断即可.
5．【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】按有理数加法法则进行计算即可.
6．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-（-2023）=2023.
故答案为：B.
【分析】此题求的是-2023的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案.
7．【答案】<
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵有理数中，负数小于正数，
而是负数，是正数，
∴，
故答案为：<
【分析】本题考查有理数的大小比较规则，重点是负数与正数的大小关系。根据有理数大小比较的基本性质，所有负数都小于正数，结合题目中为负数、为正数的特征，可直接得出两者的大小关系。
8．【答案】（1）解：原式=7-13+8
=2
（2）解：原式=1-10+3
=-6
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；有理数的加法运算律
【解析】【分析】本题考查有理数的混合运算，包括有理数的加减混合运算、乘方运算以及乘法分配律的应用。
(1)按照有理数加减混合运算的法则，减去一个负数等于加上它的相反数，将式子转化为有理数的加法运算，再依次计算；
(2)先计算乘方（负数的偶次幂为正数），再利用乘法分配律将括号内的每一项与相乘，简化计算，最后进行加减运算得出结果。
9．【答案】（1）50；45
（2）解：解法一：由题意得第3棒火炬手的里程波动值为5.
∵2+6+5+1+3-2+0-5+3+4+1
=2-2+5-5+1+1+6+3+3+4
=18（米）
∴0﹣18=-18（米）
∴50-18=32（米）
答：第9棒火炬手的实际里程为32米.
解法二：全程长为12×50=600 （米） .
其余火炬手已跑52+56+55+51+53+48+50+45+53+54+51=568（米）.
第9棒火炬手的实际里程为600-568=32（米）.
答：第9棒火炬手的实际里程为32米.
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
第7棒火炬手的实际里程为50+0=50米
第8棒火炬手的实际里程为50-5=45米
故答案为：50；45
【分析】（1）根据正负数表示具有相反意义的量，结合有理数的加减即可求出答案.
（2）根据题意，结合有理数的加减即可求出答案.
10．【答案】解：∵，互为相反数，
∴，
∵和互为倒数，
∴，
∵的绝对值为，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】有理数的倒数；有理数混合运算法则（含乘方）；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
先利用定义和性质得出，，，再代入求值即可解答．
11．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函数的图象在第二、四象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的乘方法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：①；故①不符合题意；
②；故②不符合题意；
③；故③符合题意；
④；故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用有理数的加法法则，有理数的除法法则，乘方法则计算求解即可。
13．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；零指数幂；负整数指数幂；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：20=1，|-2|=2，2-1= ，-（-2）=2，
∵ ＜1＜2，
∴最小的是2-1.
故答案为：C.
【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质可得20=1，2-1=，由绝对值的性质可得|-2|，根据去括号法则可得-(-2)，然后根据有理数的大小比较方法进行比较即可.
14．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵
∴ ， 两点对应的数互为相反数，
∴可设 表示的数为 ，则 表示的数为 ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴点 表示的数为-3，
故答案为：A．
【分析】先求出 ， 两点对应的数互为相反数，再求出 ，最后求解即可。
15．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；数轴上两点之间的距离；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出抛物线的解析式，后令，列求出x值解答即可．
16．【答案】
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意，水位上升为正，下降为负，
水位下降 记作 ．
故答案为：-2m.
【分析】正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，若规定水位上升为正，则水位下降为负，据此解答.
17．【答案】（1）解：原式=-12+4=-8；
（2）解：原式=-4+4-8+6=-2.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）首先进行乘除，再进行加减即可；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可。
18．【答案】解：原式=﹣1+6﹣9=﹣4
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数的运算法则计算即可。
19．【答案】解：
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
20．【答案】（1）-2；4；-2
（2）8；14；22
（3）解：①119；
②妙妙和奶奶的年龄差为：[119-（-3）]÷3=52（岁），
∴奶奶现在的年龄：119-52=67（岁）
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型；数轴的图形运动问题
【解析】【解答】（1）据数轴知，A表示的数是-2，B表示的数是2，
∴AB=2-(-2)=4，
将 点B向左平移4个单位 ，则2-4=-2，
此时 该点表示的数是 -2.
故答案为：①-2；4；②-2.
（2）①设 点A所表示的数是 a， 点B所表示的数是 b，木棒长为 （b-a） cm，
则b+（b-a）=30，6+（b-a）=a，
∴a=14，b=22，
∴x=b-a=8 cm，
故答案为：①8；②14；22.
【分析】（1）根据有理数在数轴上的表示方法及数轴相关知识点完成作答.
（2）根据题意列出方程组求解得a、b，从而确定木棒的长度.
（3）根据（2）的结论知：119与（-37）得差除以3即为两人的年龄差，再根据年龄差计算奶奶的年龄.完成作答.
21．【答案】（1）
（2）解：，且，
，
；
（3）解：，
，
，
，
线段的长为4，
，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，M的值为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；数轴上两点之间的距离；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）解：，，
故答案为：；
【分析】
本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键；
（1）根据题设中新定义的运算法则，直接列出算式，进行计算求值，即可得到答案；
（2）根据题意，先判断y的范围，结合题设中新定义，列出算式，进行化简，整体代入求值，即可得到答案；
（3）根据非负性，求得，结合新定义，得到，求出a的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，列式求得，分类讨论，列式求解，即可得到答案.
（1）解：，，
故答案为：；
（2）解：，且，
，
；
（3）解：，
，
，
，
线段的长为4，
，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，M的值为．
22．【答案】（1）
（2）①n2
②如图：
n(n+1)
（3）解：
．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）①由图片知：
第1个图案所代表的算式为：，
第 2 个图案所代表的算式为：；
第3个图案所代表的算式为：；
第4个图案所代表的算式为：；
；
∴第个图案所代表的算式为： ；
故答案为：；
②第④个图，如图：
由图片知：
第1个图案所代表的算式为：，
第 2 个图案所代表的算式为：；
第3个图案所代表的算式为：；
第4个图案所代表的算式为：；
；
∴第个图案所代表的算式为：；
故答案为：；
【分析】本题考查图形变化与数字规律的归纳，以及利用规律进行有理数混合运算，核心是“数形结合”和“归纳推理”思想。
(1)根据图形组成的新正方形数量与空白部分小正方形数量的关系，空白部分数量即为连续自然数的和，归纳出的规律；
(2)①观察连续奇数和的图形，发现图形是边长为项数的正方形，正方形面积即为奇数和，归纳出规律；
②先根据前面的图形规律画出第④个图，再观察连续偶数和的结果与项数的关系，归纳出规律；
(3)将所求式子转化为“1到199的连续奇数和减去1到99的连续奇数和”加上“2到300的连续偶数和减去2到200的连续偶数和”，再利用前面归纳的规律分别计算各部分，最后求和得到结果。
23．【答案】（1）1；a+b=2m
（2）解：因为 点C 关于O 点的“联盟点”是D，
所以点D表示的数为-c，
因为点C关于点M的“联盟点”是E，
所以点E所表示的数为 6-c，
所以DE=6-c-(-c)=6，
所以线段DE 的长度为6 ；
（3）解：存在，理由如下：
根据题意得：点P 表示的数为3+t，点Q 表示的数为-2+kt，
因为 点 F关于点 P 的联盟点为点 G，
所以 点G表示的数为5+2t，
因为 点 G 关于点Q的联盟点为点 H，
所以 点 H 表示的数为(2k-2)t-9，
所以
因为 DF为定值，所以2k-2=0
解得：k=1
所以 当k=1时，DF为定值．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）①设点A表示的数为x，点B表示的数是5，点M表示的数是3，
∴点在点的右边，
∴点在点的左边，
根据题意可得，
解得，
故点A表示的数为1，
故答案是：1；
②根据题意可得点是的中点，
故，
化简得．
故答案为：
【分析】本题考查数轴上的“联盟点”定义、中点性质、数轴上点的坐标计算以及动点问题，核心是理解“联盟点”本质是两点关于某点对称（该点为两点中点）。
(1) ①根据联盟点定义，点是、中点，利用中点坐标公式列方程求出点表示的数；
②由中点坐标公式，中点等于两点坐标和的一半，推导、、的数量关系；
(2) 根据联盟点定义，原点是、中点，得出表示的数为，点是、中点，得出表示的数为，再计算两点间距离；
(3) 先表示出运动秒后、的坐标，再根据联盟点定义求出、的坐标，进而表示出的长度，若为定值，则含的项系数为0，据此求出的值。
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