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无理数——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·广东）计算 的结果是（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：=
故答案为：B .
【分析】根据二次根式乘法法则来运算 即可。
2．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
3．（2022·南京）估计12的算术平方根介于（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜12＜16，
∴，
即.
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根就越大可得，从而可得答案.
4．（2022·仙桃）在1，－2，0，这四个数中，最大的数是（　　）
A．1 B．－2 C．0 D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是.
故答案为：D.
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
5．（2021·广安）16的平方根是（　　）
A． ±4 B．4 C．±8 D．8
【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：16的平方根是±4.
故答案为：A.
【分析】根据平方根的定义“如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根”可求解.
6．（2021·泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
B、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
C、 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
D、 ， ， 与3 是同类二次根式，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】将每个二次根式化为最简二次根式，被开方数相同的即为同类二次根式，据此逐项解答即可.
7．（2020八上·中宁期中）化简： 　 　.
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：2.
【分析】根据立方根的定义：一个数x3=a，则这个数就是a的立方根计算即可得答案.
8．（2025·广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：且
故答案为：且
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可求出答案.
9．（2025·深圳） 计算：
【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别化简二次根式，去绝对值、求出零次幂和2025次方，再计算加减法即可得结果.
10．（2020·盐城）计算： .
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；零指数幂
【解析】【分析】根据乘方，二次根式和零指数幂的运算法则化简，然后再计算即可.
11．（2017·深圳）计算 ．
【答案】解：原式=2--2×+1+2.
=3.
【知识点】实数的运算；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据二次根式，负指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值等性质计算即可得出答案.
二、能力题
12．（2025·罗湖模拟）如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】B
【知识点】无理数的估值；勾股定理；不等式的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示，
∴左起第一个直角三角形的斜边长为，
第二个直角三角形的斜边长为，
第三个直角三角形的斜边长为，
第四个直角三角形的斜边长为，
，
∴第九个直角三角形的斜边长为，
∴这个图形的周长（实线部分）为，
∵，，
∴，即，
∴，
∴最接近的是13，
故答案为：B ．
【分析】根据勾股定理算出前几个直角三角形斜边得长得出规律第n个直角三角形的斜边长为，据此得到第九个直角三角形的斜边长，进而得到该图形周长，根据无理数的估算求出的范围，进而根据不等式性质求出+10的范围，即可判断得出答案.
13．（2024·广东）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　）
A．2 B．5 C．10 D．20
【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设四个完全相同的正方形边长为a，
依题意得：，解得，
∵a>0，
∴a=5，
∴正方形的边长为5.
故答案为：B.
【分析】根据题意可以设元列方程解之即可.
14．（2023·广州）已知关于的方程有两个实数根，则的化简结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，即（2-2k）2-4（k2-1）≥0，
解得k≤1，
∴k-1≤0，2-k≥0，
∴.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，然后判断出k-1与2-k的正负，进而根据及绝对值的性质化简即可即可.
15．（2022·雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得，
∴解集在数轴上表示如图，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数可得x-2≥0，求出x的范围，然后根据解集在数轴上的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，进行判断.
16．（2020八上·四川月考）估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵42<21<52
∴4< <5
故答案为：C．
【分析】先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．
17．（2021·北京）已知 ．若 为整数且 ，则 的值为（　　）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】根据，可以得到，即可求出n的值。
18．（2021·广东）设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值是（　　）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴的整数部分a=2，小数部分b=
∴
故答案为：A．
【分析】考查无理数的估算、整数部分与小数部分，先估算出无理数的范围，确定整数部分，再用无理数减去整数部分，得到小数部分，最后再计算表达式的数值。
19．（2021·重庆）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和 不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A，B作出判断；利用二次根式的除法和乘法运算，可对C，D作出判断.
20．（2019七下·白城期中）的平方根是 　 　．
【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
21．（2022·荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是　 　.
【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， .
∴ ，
故答案为：2.
【分析】先估算出，再根据不等式的性质得，从而确定a、b的值，然后代入式子计算即可.
22．（2018·广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =　 　
【答案】2
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知：
0∴a-2<0，
∴原式=a+
=a+2-a，
=2.
故答案为：2.
【分析】从数轴可知023．（2025八上·福田期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；实数的绝对值；求有理数的绝对值的方法；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
（1）先化简绝对值，计算乘方，开方运算，，再计算二次根数的加减法，解答即可．
（2）先化简：，再运算乘除，最后运算加减法，解答即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
24．（2025八上·惠阳月考）已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2，
∴，解得：，
∵c是正数且算术平方根等于本身
∴或0，
∴，，或0．
（2）解：当，，时，则，
所以的平方根为；
当，，时，则，所以的平方根为．
综上，当时，平方根为；当时，平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，以及代数式求值，核心是理解各类根的定义并运用定义建立方程。
(1)根据立方根的定义，若一个数的立方根是m，则这个数是，因此；根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是n，则这个数是，因此，联立这两个方程可求解a和b的值；再根据算术平方根等于本身的数是0和1，确定c的可能值。
(2)将a、b、c的不同取值组合分别代入代数式，计算出结果后，根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出代数式的平方根。
（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2，
∴，解得：，
∵c是正数且算术平方根等于本身
∴或0，
∴，，或0．
（2）解：当，，时，则，所以的平方根为；
当，，时，则，所以的平方根为．
综上，当时，平方根为；当时，平方根为．
三、拓展题
25．（2025八上·清远月考）若实数的立方根为2，且实数，，满足
（1）求的值；
（2）若，，是的三边，试判断三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）∵实数的立方根为2，
∴
代入得
∴，
∴，
∴
（2）∵，，
根据勾股定理逆定理，
∴是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）本题考察立方根的定义、算术平方根和平方的非负性应用，立方根的定义为若x3=b，则x是b的立方根；算术平方根和平方数均具有非负性，即结果大于等于0。解题时先由立方根定义得b=8，代入等式得，根据非负性性质列出方程组求出a=15、c=17，再代入代数式计算即可；
（2）本题考察勾股定理的逆定理应用，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时计算a、b、c的平方，152+82=289=172，满足逆定理条件，因此△ABC是直角三角形。
（1）∵实数的立方根为2，
∴
代入得
∴，
∴，
∴
（2）∵，，
根据勾股定理逆定理，
∴是直角三角形
26．（2025八上·南山期中）小明在解决问题：已知求的值.
他是这样分析与解的：
∴
∴.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）　 　，　 　.
（2）化简：
（3）若请按照小明的方法求出的值.
【答案】（1）；
（2）原式：=
=4
（3）∴
∴
∴
∴原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：，；
【分析】（1）根据题目的例子进行计算，进而化简即可求解；
（2）根据小明的分析过程结合得到，进而即可求解。
27．（2025八上·深圳期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
（2）已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．
【答案】（1）证明：∵
∴2，8，这三个数是和谐组合，
最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（2）解：分三种情况：①当4≤a≤25时，
，得a=0(舍去)，
②当a<4时， ，得a=1 ，经检验符合题意，
③当a>25时， ，解得a=100 ，经检验符合题意.
综上所述，a的值为1或100.
【知识点】求算术平方根；分类讨论
【解析】【分析】
(1)根据定义分别计算2和8；2和18；18和8的算术平方根，得到的结果都是整数，解答即可；
（2）由于a不清楚大小，因而对a分三种情况根据定义分别计算，然后取舍得到符合条件的答案，解答即可.
28．（2024八上·揭西月考）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
（1）的小数部分是______，的整数部分是____；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．
【答案】（1），
（2）解：，
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
（3）解：，
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】
（1）
解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，.
【分析】
（1）由题意，先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，然后可估算出的范围，再根据不等式的性质即可求解；
（2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可求解；
（3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可．
（1）解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，；
（2），
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
（3），
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
1 / 1无理数——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·广东）计算 的结果是（　　）
A．3 B．6 C． D．
2．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
3．（2022·南京）估计12的算术平方根介于（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（2022·仙桃）在1，－2，0，这四个数中，最大的数是（　　）
A．1 B．－2 C．0 D．
5．（2021·广安）16的平方根是（　　）
A． ±4 B．4 C．±8 D．8
6．（2021·泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
7．（2020八上·中宁期中）化简： 　 　.
8．（2025·广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
9．（2025·深圳） 计算：
10．（2020·盐城）计算： .
11．（2017·深圳）计算 ．
二、能力题
12．（2025·罗湖模拟）如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
13．（2024·广东）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　）
A．2 B．5 C．10 D．20
14．（2023·广州）已知关于的方程有两个实数根，则的化简结果是（　　）
A． B． C． D．
15．（2022·雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
16．（2020八上·四川月考）估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
17．（2021·北京）已知 ．若 为整数且 ，则 的值为（　　）
A．43 B．44 C．45 D．46
18．（2021·广东）设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值是（　　）
A．6 B． C．12 D．
19．（2021·重庆）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
20．（2019七下·白城期中）的平方根是 　 　．
21．（2022·荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是　 　.
22．（2018·广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =　 　
23．（2025八上·福田期中）计算：
（1）
（2）
24．（2025八上·惠阳月考）已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
三、拓展题
25．（2025八上·清远月考）若实数的立方根为2，且实数，，满足
（1）求的值；
（2）若，，是的三边，试判断三角形的形状，并说明理由．
26．（2025八上·南山期中）小明在解决问题：已知求的值.
他是这样分析与解的：
∴
∴.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）　 　，　 　.
（2）化简：
（3）若请按照小明的方法求出的值.
27．（2025八上·深圳期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
（2）已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．
28．（2024八上·揭西月考）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
（1）的小数部分是______，的整数部分是____；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：=
故答案为：B .
【分析】根据二次根式乘法法则来运算 即可。
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
3．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜12＜16，
∴，
即.
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根就越大可得，从而可得答案.
4．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是.
故答案为：D.
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：16的平方根是±4.
故答案为：A.
【分析】根据平方根的定义“如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根”可求解.
6．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
B、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
C、 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
D、 ， ， 与3 是同类二次根式，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】将每个二次根式化为最简二次根式，被开方数相同的即为同类二次根式，据此逐项解答即可.
7．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：2.
【分析】根据立方根的定义：一个数x3=a，则这个数就是a的立方根计算即可得答案.
8．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：且
故答案为：且
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可求出答案.
9．【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别化简二次根式，去绝对值、求出零次幂和2025次方，再计算加减法即可得结果.
10．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；零指数幂
【解析】【分析】根据乘方，二次根式和零指数幂的运算法则化简，然后再计算即可.
11．【答案】解：原式=2--2×+1+2.
=3.
【知识点】实数的运算；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据二次根式，负指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值等性质计算即可得出答案.
12．【答案】B
【知识点】无理数的估值；勾股定理；不等式的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示，
∴左起第一个直角三角形的斜边长为，
第二个直角三角形的斜边长为，
第三个直角三角形的斜边长为，
第四个直角三角形的斜边长为，
，
∴第九个直角三角形的斜边长为，
∴这个图形的周长（实线部分）为，
∵，，
∴，即，
∴，
∴最接近的是13，
故答案为：B ．
【分析】根据勾股定理算出前几个直角三角形斜边得长得出规律第n个直角三角形的斜边长为，据此得到第九个直角三角形的斜边长，进而得到该图形周长，根据无理数的估算求出的范围，进而根据不等式性质求出+10的范围，即可判断得出答案.
13．【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设四个完全相同的正方形边长为a，
依题意得：，解得，
∵a>0，
∴a=5，
∴正方形的边长为5.
故答案为：B.
【分析】根据题意可以设元列方程解之即可.
14．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，即（2-2k）2-4（k2-1）≥0，
解得k≤1，
∴k-1≤0，2-k≥0，
∴.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，然后判断出k-1与2-k的正负，进而根据及绝对值的性质化简即可即可.
15．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得，
∴解集在数轴上表示如图，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数可得x-2≥0，求出x的范围，然后根据解集在数轴上的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，进行判断.
16．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵42<21<52
∴4< <5
故答案为：C．
【分析】先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．
17．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】根据，可以得到，即可求出n的值。
18．【答案】A
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴的整数部分a=2，小数部分b=
∴
故答案为：A．
【分析】考查无理数的估算、整数部分与小数部分，先估算出无理数的范围，确定整数部分，再用无理数减去整数部分，得到小数部分，最后再计算表达式的数值。
19．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和 不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A，B作出判断；利用二次根式的除法和乘法运算，可对C，D作出判断.
20．【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
21．【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， .
∴ ，
故答案为：2.
【分析】先估算出，再根据不等式的性质得，从而确定a、b的值，然后代入式子计算即可.
22．【答案】2
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知：
0∴a-2<0，
∴原式=a+
=a+2-a，
=2.
故答案为：2.
【分析】从数轴可知023．【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；实数的绝对值；求有理数的绝对值的方法；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
（1）先化简绝对值，计算乘方，开方运算，，再计算二次根数的加减法，解答即可．
（2）先化简：，再运算乘除，最后运算加减法，解答即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
24．【答案】（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2，
∴，解得：，
∵c是正数且算术平方根等于本身
∴或0，
∴，，或0．
（2）解：当，，时，则，
所以的平方根为；
当，，时，则，所以的平方根为．
综上，当时，平方根为；当时，平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，以及代数式求值，核心是理解各类根的定义并运用定义建立方程。
(1)根据立方根的定义，若一个数的立方根是m，则这个数是，因此；根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是n，则这个数是，因此，联立这两个方程可求解a和b的值；再根据算术平方根等于本身的数是0和1，确定c的可能值。
(2)将a、b、c的不同取值组合分别代入代数式，计算出结果后，根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出代数式的平方根。
（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2，
∴，解得：，
∵c是正数且算术平方根等于本身
∴或0，
∴，，或0．
（2）解：当，，时，则，所以的平方根为；
当，，时，则，所以的平方根为．
综上，当时，平方根为；当时，平方根为．
25．【答案】（1）∵实数的立方根为2，
∴
代入得
∴，
∴，
∴
（2）∵，，
根据勾股定理逆定理，
∴是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）本题考察立方根的定义、算术平方根和平方的非负性应用，立方根的定义为若x3=b，则x是b的立方根；算术平方根和平方数均具有非负性，即结果大于等于0。解题时先由立方根定义得b=8，代入等式得，根据非负性性质列出方程组求出a=15、c=17，再代入代数式计算即可；
（2）本题考察勾股定理的逆定理应用，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时计算a、b、c的平方，152+82=289=172，满足逆定理条件，因此△ABC是直角三角形。
（1）∵实数的立方根为2，
∴
代入得
∴，
∴，
∴
（2）∵，，
根据勾股定理逆定理，
∴是直角三角形
26．【答案】（1）；
（2）原式：=
=4
（3）∴
∴
∴
∴原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：，；
【分析】（1）根据题目的例子进行计算，进而化简即可求解；
（2）根据小明的分析过程结合得到，进而即可求解。
27．【答案】（1）证明：∵
∴2，8，这三个数是和谐组合，
最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（2）解：分三种情况：①当4≤a≤25时，
，得a=0(舍去)，
②当a<4时， ，得a=1 ，经检验符合题意，
③当a>25时， ，解得a=100 ，经检验符合题意.
综上所述，a的值为1或100.
【知识点】求算术平方根；分类讨论
【解析】【分析】
(1)根据定义分别计算2和8；2和18；18和8的算术平方根，得到的结果都是整数，解答即可；
（2）由于a不清楚大小，因而对a分三种情况根据定义分别计算，然后取舍得到符合条件的答案，解答即可.
28．【答案】（1），
（2）解：，
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
（3）解：，
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】
（1）
解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，.
【分析】
（1）由题意，先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，然后可估算出的范围，再根据不等式的性质即可求解；
（2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可求解；
（3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可．
（1）解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，；
（2），
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
（3），
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
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